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Ch07 间接平差__例题
例7.1.1 平差原理
在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角L1、L2的平差值【最或然值】作为参数、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式
称为观测方程
可得
称为误差方程

为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 ，则上式可写成如下形式：
称为误差方程
，，
也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾， 、 、可有多组解，为此引入最小二乘原则： 可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求： ，设观测值为等精度独立观测，则有：

按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得

=>

（2）×2-(1)=>
=>
=>
，
代入误差方程式，得到观测值的平差值【最或然值】

例7.1.2 水准网
如图所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： = +1.003m， = +0.501m， = +0.503m， = +0.505m； =1km， =2km， =2km， =1km。已知 =11.000m， =11.500m， =12.008m，试用间接平差法求 及 点的高程平差值。

图
解：（1）按题意知必要观测数 =2，选取 、 两点高程 、 为参数，取未知参数的近似值为 、 ，令2km观测为单位权观测，则 。
（2）根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下

代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有

可得 、 和 矩阵如下
、 、
（3）依据最小二乘原理，由误差方程系数 和自由项 组成法方程 得

解算法方程，求出参数

（4）计算参数的平差值 ；

（5）由误差方程计算 ，求出观测量平差值 ；

例7.2.1 导线网平差

如图4-7所示，A、B、C为已知点，P1、P2是待定点。同精度观测了六个角度、、…、，测角中误差为±2.5″，测量了四条边长、、、，观测结果及其中误差见表4-2。起算数据见表4-1。试按间接平差法求待定点P1及P2的坐标平差值。

表4-1
点名
x(m)
Y(m)
S(m)
坐标方位角（°′″）
A
B
C
D
3143.237
4609.361
4157.197
3822.911
5260.334
5025.696
8853.254
9795.726

1484.781

1000.000

350 54 27.0

109 31 44.9

表4-2
角度
边长
编号
观测值
（°′″）
编号
观测值
（°′″）
编号
观测值s
（m）
中误差
(cm)
1
2
3
4
44 05 44.8
93 10 43.1
42 43 27.2
201 48 51.2
5
6

201 57 34.0
168 01 45.2

7
8
9
10
2185.070
1522.853
1500.017
1009.021
±3.3
±2.3
±2.2
±1.5

解：
本题，即有10个误差方程，其中有6个角度误差方程，4个边长误差方程。必要观测数。现取待定点坐标平差值为参数，即
① 计算待定点近似坐标
各点近似坐标按坐标增量计算，结果见表4-3。
表4-3
点名
观测角

°′″
坐标方位角

°′″
观测边长

近似坐标

A
B
P1

D
C
P2

93 10 43.1

168 01 45.2

350 54 27.0

77 43 43.9

109 31 44.9

301 29 59.7

1522.853

1009.021

3143.237
4609.361
4933.025

3822.911
4157.197
4684.408

5260.334
5025.696
6513.756

9795.726
8853.254
7792.921

② 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角和近似边长（见表4-4）。
表4-4
方向
近似坐标方位角
近似边长（m）
AP1
BP1
P1 P2
P2C
35 00 15.4
77 43 43.9
99 32 27.8
121 29 59.7
2185.042
1522.853
1499.913
1009.021
③ 计算坐标方位角改正数方程的系数。计算时、、均以m为单位，而、因其数值较小，采用cm为单位。有关系数值的计算见表4-5、表4-6。
表4-5
方向

的系数（秒/cm）

AP1
BP1
P1 P2
P2C
1253.422
1488.060
1479.165
860.333
1789.788
323.664
-248.617
-527.211
477×104
232×104
225×104
102×104
-0.542
-1.323
1.356

0.774
0.288
0.228

-1.356
1.740

-0.228
1.066

表4-6
方向

边长误差方程系数

AP1
BP1
P1 P2
P2C
1789.788
323.664
-248.617
-527.211
1253.422
1488.060
1479.165
860.333
2185.042
1522.853
1499.913
1009.021
0.8191
0.2125
0.1658

0.5736
0.9772
-0.9862

-0.1658
0.5225

0.9862
-0.8526

表4-7

角
1
2
3
4
5
6
-0.542
1.323
-0.781
2.679
-1.356

0.774
-0.288
-0.486
-0.060
-0.228

-1.356
3.096
-1.740

-0.228
1.294
-1.066
-3.6
0
-1.3
7.3
2.1
0
1
1
1
1
1
1
边
7
8
9
10
0.8191
0.2125
0.1658

0.5736
0.9772
-0.9862

-0.1658
0.5225

0.9862
-0.8526
2.8
0
10.4
0
0.57
1.18
1.29
2.78

④ 法方程的组成和解算
由表4-7取得误差方程的系数项、常数项，组成法方程的系数项、常数项，可得法方程为

系数阵的逆阵为

由算得参数改正数：
（cm）
⑤ 平差值计算
坐标平差值
观测值的平差值
根据公式得各改正数为

从而得平差值为，如下表4-8
表4-8
编号
观测值
平差值
角
1
44 05 44.8
44 05 44.5
2
93 10 43.1
93 10 47.3
3
42 43 27.2
42 43 28.3
4
201 48 51.2
201 48 49.9
5
201 57 34.0
201 57 32.7
6
168 01 45.2
168 01 42.6
边
7
2185.070
2185.042
8
1522.853
1522.825
9
1500.017
1499.981
10
1009.021
1009.002

例7.3.1 水准网
—P125 例题7-6
在图7-11中，A、B为已知水准点，高程为、，设为无误差，各观测的路线长度分别为
　　　km，　km，
km，　km，
试求P1和P2点平差高程的协因数。
解：平差的参数选取P1和P2点高程，设为和，按图组成误差方程为 图 7-11

定权时令C＝4，即以4 km观测高差为单位权观测值，因观测值相互独立，故，相关协因数，由此得法方程为

因为，故有

平差后P1、P2点高程的协因数分别为
，　　，
与的协因数则为