历年(2017)高中数学竞赛试题汇总.pdf

微信公众号：数学竞赛的那些事儿目录2017年全国初中数学联合竞赛试题.52017年全国初中数学联合竞赛试题解析.82017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题.162017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解析.182017年上海市高三数学竞赛试题.232017年上海市高三数学竞赛试题解析.242017年高中数学联赛（天津市）预赛试题.322017年高中数学联赛（天津市）预赛试题解析.332017年全国高中数学联赛（山西省）预赛试题.372017年全国高中数学联赛（山西省）预赛试题解析.382017年全国高中数学联赛（甘肃赛区）预赛试题.412017年全国高中数学联赛（甘肃赛区）预赛试题解析.432017年全国高中数学联赛（四川省）预赛试题.472017年全国高中数学联赛（四川省）预赛试题解析.492017年全国高中数学联赛（安徽省）预赛试题.532017年全国高中数学联赛（安徽省）预赛试题解析.542017年全国高中数学联赛（湖北省）预赛试题（高一年级）.582017年全国高中数学联赛（湖北省）预赛试题解析（高一年级）.592017年全国高中数学联赛（湖北省）预赛试题（高二年级）.622017年全国高中数学联赛（湖北省）预赛试题解析（高二年级）.632017年全国高中数学联赛（湖南省）试题.662017年全国高中数学联赛（湖南省）试题解析.682017年全国高中数学联赛（江苏赛区）初赛试题.732017年全国高中数学联赛（江苏赛区）初赛试题解析.742017年全国高中数学联赛（浙江省）试题.772017年全国高中数学联赛（浙江省）试题解析.782017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试题.832017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试题解析.852017年全国高中数学联赛（广东赛区）选拔赛试卷.922017年全国高中数学联赛（广东赛区）选拔赛试卷解析.93 第五届“学数学”数学奥林匹克邀请赛试题（一试）.98 第五届“学数学”数学奥林匹克邀请赛试题解析（一试）.99 第五届“学数学”数学奥林匹克邀请赛试题（二试）.104第五届“学数学”数学奥林匹克邀请赛试题解析（二试）.1052017年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）.1092微信公众号：数学竞赛的那些事儿2017年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）.1102017年全国高中数学联合竞赛一试试题解析（A卷）.1112017年全国高中数学联合竞赛加试试题解析（A卷）.1142017年全国高中数学联合竞赛一试试题（B卷）.1172017年全国高中数学联合竞赛一试试题解析（B卷）.1182017年协作体数学奥林匹克夏令营O水平考试试题（福建福州一中）.1222017年协作体数学奥林匹克夏令营O水平考试试题解析（福建福州一中）.1242017年协作体数学奥林匹克夏令营A水平考试试题（福建福州一中）.1302017年协作体数学奥林匹克夏令营A水平考试试题解析（福建福州一中）.131 第八届陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题.134 第八届陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题解析.135 第13届中国北方数学奥林匹克试题（基础班）.141 第13届中国北方数学奥林匹克试题解析（基础班）.142 第13届中国北方数学奥林匹克试题（提高班）.145第13届中国北方数学奥林匹克试题解析（提高班）.1462017年中国西部数学邀请赛试题.1502017年中国西部数学邀请赛试题解析.151 第十四届中国东南地区数学奥林匹克试题（高一年级）.156 第十四届中国东南地区数学奥林匹克试题解析（高一年级）.158 第十四届中国东南地区数学奥林匹克试题（高二年级）.163 第十四届中国东南地区数学奥林匹克试题解析（高二年级）.165 第十六届中国女子数学奥林匹克试题.171 第十六届中国女子数学奥林匹克试题解析.173 第三十三届全国中学生数学冬令营（。八70）试题.179 第三十三届全国中学生数学冬令营（CMO）试题解析.180 第58届国际数学奥林匹克试题.185 第58届国际数学奥林匹克试题解析.186 北京大学中学生数学奖 个人能力挑战赛试题.191北京大学中学生数学奖 个人能力挑战赛试题解析.1922017年北大金秋营试题.1942017年北大金秋营试题解析.1952017年清华大学金秋营试题.2002017年清华大学金秋营试题解析.201中学生标准学术能力诊断性测试2017年11月测试试题（数学理科卷）.205中学生标准学术能力诊断性测试2017年11月测试试题解析（数学理科卷）.209中学生标准学术能力诊断性测试2017年11月测试试题（数学文科卷）.2163微信公众号：数学竞赛的那些事儿中学生标准学术能力诊断性测试2017年11月测试试题解析（数学文科卷）.2192017年欧洲女子数学奥林匹克竞赛（EGMO）.2242017年欧洲女子数学奥林匹克竞赛解析（EGMO）.2252017年美国数学邀请赛试题.2292017年美国数学邀请赛试题解析.230 第九届罗马尼亚大师杯数学邀请赛试题.235 第九届罗马尼亚大师杯数学邀请赛试题解析.236 第九届全国大学生数学竞赛预赛（数学类）试题.243 第九届全国大学生数学竞赛预赛（数学类）试题解析.244 第九届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）试题.249 第九届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）试题解析.250请允许小数君代表“傻子俱乐部”近10万热爱数学、热爱数学竞赛的“小傻子”们对下方这些 可敬、可爱的人们说一声感谢中等数学期刊、学数学杂志，数学新星网、爱尖子、平行线教育，苏淳、李伟固、李建泉、李宝毅、宋强，李胜宏、毕相琨、瞿振华、邹瑾、王广廷、李朝晖、殷琦涛、朱兆和，罗炜、曹珏赞，金磊，李潜、丁力煌，付云皓、孙孟越、杨泓味、刘泗声、谭健翔、金及凯，十分感谢您们的大力支持和无私帮助！4微信公众号：数学竞赛的那些事儿2017年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。第一试，选择题和填空题只设分和分两档；第二试各题，请按照本评 分标准规定的评分档次给分。如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照 本评分标准划分的档次，给予相应的分数。第一试（A）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）Q 1.1.已知实数满足2a+13，+3c=90,3a+96+c=72,贝D:-12.已知 ABC的三边长分别是有以下三个结论：（1）以，为边长的三角形一定存在；（2）以为边长的三角形一定存在；（3）以|a-6|+l,|6-c|+l,|c-a|+1为边长的三角形一定存在。其中正确结论的个数为（）0X:0 B:1 C:2 D:33.若正整数。也c满足aSbg c且abc=2（a+b+c）,则称（a,b,c）为好数组，那么，好数组的个数为（）。X:1 B:2 C:3。：44.设O是四边形48。的对角线的交点，若/8AD+乙4。8=180。，且80=3,40=4,5.设工是以6。为直径的圆上一点，于点。，点E在线段。上，点尸在直的延长线上，满足=已知8。=15,8歹=6,8。=3,则=（）。4:43 B:2/13 C:2VzH D:2%/151 1 1 16.对于正整数Z?”设厮是最接近，的整数，则-1-1-F H-=（）。二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7.使得等式v/l HH/T+a=近成立的实数a的值为。8.如图，平行四边形48CD中，乙48。=72。，于点 AF交BD于点、E,若DE=2AB,则/力EO=19.设皿口是正整数，且m n,若9与9的末两位数字相同，则m n的最小值为10.若实数）用满足橘+熄+3第=1,则/+犷的最小值为5微信公众号：数学竞赛的那些事儿第二试（A）（本题满分20分）已知实数x,y满足2+g=3,-F-=三，求於+y5的值。T-I-。遇 2-I-Q1）x-y2 x2+y 2二（本题满分25分）如图，/XABC中，AB AC,ABAC=45,E是/8月。的外角平分线与 ABC的外接圆 的交点，点F在AB上且EELAB,已知4F=1,BP=5,求力的面积。三（本题满分25分）求所有的正整数对（a,b）,使得/=49 x 3b+8。6微信公众号：数学竞赛的那些事儿第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1.已知二次函数V=a/2+版+c(c#0)的图像与轴有唯一交点，则二次函数g=+匕3/+的图像与2轴的交点个数为()0X:0 B:1 C:2。：不确定3b-4-c2.已知实数a,b,c满足2a+136+3c=90.3a+9b+c=72,则一2=()。q+2bX:2 B:1 C:0。：-13.若正整数a,b,c满足q s b s c且而c=2(a+b+c),则称(a,4c)为好数组，那么，好数组的个数为()。A:1 B:2 C:3 D:44.已知正整数q也c满足a?66 3c+9=0,6a+/+c=0,则(+庐+二()0A:424 B:430 C:441 D:460设O是四边形460。的对角线4。出。的交点，若/BAD+乙4CB=180,且5,AB-6,则=(J5.)03,AD=4,AC=X:竺 96.设4是以8。为直径的圆上一点，4D_L8C于点。，点E在线段。上，点?在CF的延长线上，满足/84F=ACAE,已知BO=15,BF=6,RD=3,则4E=()。A:4/3 B:2VzB C:2/14 D:2y15二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7.使得等式/1+yTVa=再成立的实数a的值为 o8.如图。设O是锐角三角形48。的外心，QE分别为线段3Go4的中点,AACB=OED/ABC=54OED 则 NOE。=。9.设?72/是正整数，且mn,若9n7与9的末两位数字相同，则m 九的最小值为。10.若实数满足23+夕3+3/沙=1,则/+货的最小值为。第二试(B)一(本题满分20分)已知实数a,b,c满足a S b S c,a+6+c=16,a2+/+c?+=128,求c的值。二(本题满分25分)求所有的正整数m,使得221 +1是完全平方数。三(本题满分25分)如图，O为四边形ABCD内一点，/LOAD=Z OCB,OALOD,OBLOC.求证：AB2+CD2=AD2+BC2O7微信公众号：数学竞赛的那些事儿2017年全国初中数学联合竞赛试题及解析说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。第一试，选择题和填空题只设分和分两档；第二试各题，请按照本评 分标准规定的评分档次给分。如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照 本评分标准划分的档次，给予相应的分数。第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)Q 7 I1.已知实数Q,b,c满足2a+136+3c=90,3a+泌+c=72,贝|吧一=()0a+2bA:2 B:1 C:0 D:-1答案：Bo解析：已知等式可变形为2(a+26)+3(36+c)=90,3(a+26)+(3b+c)=72解得a+2b=18,3b+c=18,所以也工=1。q+2b2.已知 ABC的三边长分别是a,b,c,有以下三个结论：(1)以，为边长的三角形一定存在；(2)以。2,庐42为边长的三角形一定存在；(3)以|a-6|+l,|6-c|+l,|c-a|+1为边长的三角形一定存在。其中正确结论的个数为()04:0 B:1 C:2 D:3答案：Co解析：不妨设a 2匕2 c,则有匕+c a。(1)因为b+c a,所以b+c+2，后q,即(、/W)?(丫0)即，+遂，万，故以aA,5为边长 的三角形一定存在；(2)以a=2,b=3,c=4为边长可以构成三角形，但以a?=4,62=9,c2=16为边长的三角形不存在；(3)因为a 2匕2 c,所以|ci 一 6|+1 a 6+1,|6 一 c|+1 b-c+1,|c-o|+1(i-c+1故三条边中|ca|+l大于或等于其余两边，而(|(1 “+1)+(|b c|+1)=(a b+l)+(b c+1)=q c+1+1 a c+1=|c q+1故以|a 4+1,b c+1,|c a+1为边长的三角形一定存在。3.若正整数满足Wc且abc=2(a+b+c),则称(a,b,c)为好数组，那么，好数组的个数为()。A:1 B:2 C:3 D:4答案：Co解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+6+c)S 6c,所以就与6。显然，a只能为1或2;5若a=2,由曲二2可得6=2或3,6=2时，可得c=4,匕=3时可得,=(不是整数)；若a=l,则be=2(1+b+c),于是可得(b 2)(c 2)=6,可求得(a,b,c)=(1,3,8)或 1,4,5。综合可知：共有三个好数组，分别为(2,2,4),(1,3,8)和(1,4,5)。4.设O是四边形460。的对角线4。田。的交点，若NBAD+乙=180,且8。=3,AD=4,AC=5,力B=6,则()08微信公众号：数学竞赛的那些事儿-I答案：Ao薛析；Rb蚱BE I AD,交4。的延长线于点E,则/力BE=180-ABAD=AACB,所以 AB。4E8,所以7元=万元，所以AB EB，5EB=AB-BC 6x 3AC18 y再由8E 力。，得黑 UJdAD 4BE 18/510V5.设4是以5。为直径的圆上一点，AZ XLBC于点。，ACAE,已知8。=15,8/=6,8。=3,则4E=(点石在线段。上，点少在。6的延长线上，满足/B4F)oA:4y/3B:2713C:2714D:2x/15,10 4T5答案：Bo葡析；如。图，因为/84F=/C4E,所以/BAF+ABAE=/CAE+/BAE即/FAE=/8AC=90。，又因为故AD*2=DE-DF=DB-DC m /n 2(m 产 n (m+i)2 m2 m+n m2+m+22 2 2 4 4于是可知：对确定的正整数机，当正整数满足m2 m+1 n m2+m时，7n是最接近，的整数，即厮=772,所以，使得厮=772的正整数72的个数为2m。注意到 132+13=182 200 142+14=210,因此，的，。2一，。200中，有2个1,4个2,6个3,8个4,26个13,18个14。所以1 1 1 1c 1,1c l c c 1 r c 1 191-1-1-F H-=2 +4 x +6 x +26 x +18 x=Qi a-2 Q3 Q200 12 3 13 14 7而所以DF=BF+BD=6+3=9,DC=BC BD=15 3=12AD2=OE 9=3 12所以AD=6,DE=4,从而AE=V AD2+DE2V 62+42=27131 1 1 16.对于正整数?2,设厮是最接近的整数，则-1-1-F H-=Q1。2。3。200)o 191“：T 答案：4C:193解析：对于任意自然数七(k+；)2=/+k+；不是整数，所以，对于正整数外 设?72是最接近，后的整数，则x/n；一定不是整数,I 1m y/n 13竽7(易知：当m N 1时,19微信公众号：数学竞赛的那些事儿二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7.使得等式+a=y/a成立的实数a的值为。答案：80解析：由所给等式可得（1+，E）3=q2。令%=+a,则1 2 0,且0=2 1,于是有（1+/）3=（/2 1）2,整理后因式分解得名（23）3+1）2=0,解得：41=0,g=3,3=1（舍去），所以a=1或a=8o验证可知：a=1是原方程的增根，a=8是原方程的根。所以a=8。8.如图，平行四边形48C。中，乙48。=72。，于点 AF交BD于点、E,若DE=2AB,则/力EO=1答案：66%*_ d解析：取。E的中点“，在7?力 4DE中，有4A7=EM=g o E=4B,/I设NAEO=a,则Na“E=180 2a,/aBM=a 18,又/4BA7=N4八78,所以 180。2a=a 18。，解得a=66。B F c9.设加亦是正整数，且mn,若97n与9n的末两位数字相同，则加一n的最小值为。答案：10。解析：由题意知，9皿-9八=9（旷一1）是100的倍数，所以9m一0 1是100的倍数，所以旷。的末两位数字是01,显然，机一n是偶数，设m n=2力G是正整数），则9加一门=92t=81%计算可知：8/的末两位数字是61,8N的末两位数字是41,8的末两位数字是21,8W末两位数字是01。所以力的最小值为5,从而可得m 九的最小值为10。10.若实数满足23+y3+3/y=1,则7+犷的最小值为。答案：-0 解析：囱为0=砂+/+31g-1=(2+y)3 _|_(_1)3 372g 31/+Sx y=(x+y-1)(2?+yY-(2+g)(-1)+(-1)2-3x yx+y-1)=(x+y-l)(x2+y2-x y+x+y+1)=+v i)(2-y)2+(+I)?+(V+I)2所以=y=1或+g=1。若i=y=1,则/+/=2。若+y=1,则x2+y2=(x+产+(一 y)2=-1+Q y)2 -当且仅当力=y=时等号成立,所以，2+g 2的最小值为:。第二试（A）（本题满分20分）已知实数x,y满足;r+y=3,-z+.=求M+短的值。T-I-。遇-I-QI）x+y2 x2+y 22(/+y+x2+y2)=x3+y3+x2y2+x y设阴/=t,则x2+y2=x+g)2 2x y=9-21x3+y：i=(+y)(x+y)2-Sx y=3(9-3t)10微信公众号：数学竞赛的那些事儿代入上式可得2(3+9-2t)=3(9-3t)+i2+i解得力=1或%=3o.10分当力=3时，x y=3,又1+9=3,故x,y是一元二次方程机2 一 3机+3=0的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意。.15分当1=1时，x y=1,又+g=3,故x,y是一元二次方程62 一 3加+1=0的两实数根，符合题意，此时x5+y5=(x2+/陋+四一(/十请/=(9-2t)3(9-3切-3t2=123.20分二(本题满分25分)如图，ABC中,的交点，点F在AB上且EFLAB,AB AC,ABAC=45,E是/氏4。的外角平分线与石。的外接圆 已知4尸=1,8尸=5,求48。的面积。解：在FB上取点D,使歹。=AF,连接ED并延长，交力的外接圆于点G,由EF_L4D,AF=FD,知力E0是等腰三角形，所以AAED=180-2AEAD=ABAC.10分所以诡=万口，所以公，所以4C=BG。.15分又/BGE=ABAE=AADE=乙BDG,所以BG=BD,所以力。=8。=5-1=4。.20分48。的AB边上的高h=AC s in 45=鼻。1 1所以，4的面积S=-AB./i=-x 6 x 2/2=6弧。.25分三(本题满分25分)求所有的正整数对(a,b),使得/=49 x 3+8。解：显然，49x 3+8为奇数，所以a为奇数。又因为03=49x 3+8 N49x3+853,所以q 5。.5分由 3=49 x 3。+8 可得-8=49 x 3 即(a-2)(a2+2a+4)=72 x 36o.10 分设(a 2,o 2+2a+4)=d,贝ij d为奇数，注意到a?+2(i+4=(a 2)(a+4)+12所以d|12,所以d=l或3。.15分若d=l,贝1有 一 或一 均无正整数解。.20分a2+2a+4=36 a2+2a+4=72 a 2=3x72 a 2=3i若d=3,则有 或，解得a=11,6=3。a2+2a+4=36-1 a2+2a+4=3 x 72所以，满足条件的正整数对只有一个，为(11,3)。.25分11微信公众号：数学竞赛的那些事儿第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1.已知二次函数y=a/+M+c(c#0)的图像与z轴有唯一交点，则二次函数g=a?/+匕3+的图像与2轴 的交点个数为()04:0 B:1 C:2 D:不确定答案：Co解析：因为二次函数y=a/+be+c的图像与/轴有唯一交点，所以=庐一4ac=0,所以接=4加#0。故二次函数g=+/_|_声的判别式1 12 (63)2 4c i3c3=心(4ac)3=胪(62)3=b6 016 16 16所以，二次函数=a3x2+b3x+的图像与z轴有两个交点。Q 1 2.已知实数q,c满足2a+13b+3c=90,3a+9b+c=72,则加十？=()0a+2b4:2 B:1 C:0 D:-1答案：Bo解析：已知等式可变形为2(a+26)+3(35+c)=90,3(a+26)+(36+c)=72解得a+26=18,36+c=18,所以殁=1。a+2b3.若正整数Q,4C满足且abc=2(a+，+c),则称(a,仇c)为好数组，那么，好数组的个数为()。A:1 B:2 C:3 D:4答案：Co解析：若(a,b,c)为好数组，ab c=2(a+6+c)n,若9171与9n的末两位数字相同，则7n n的最小值为 o答案：10。解析：由题意知，9m-9n=9n-(9m-n-1)是100的倍数，所以州一。-1是100的倍数，所以9小一口的末两位数字 是01,显然，机一n是偶数，设加一口=21G是正整数)，则9皿一=92=81%计算可知：8/的末两位数字是61,8W的末两位数字是41,8的末两位数字是21,8W末两位数字是01。所以力的最小值为5,从而可得加一九的最小值为10。10.若实数2用满足23+y3+3/y=1,则/2+)2的最小值为_。答案：|o解析：因为0=x3+y3+3x y 1=(/+y)3+(l)3 372g _ 32+3第=(2+g-1)依+.)2 (%+g)(-1)+(-1)2-3x y(x+沙-1)=(x+y-+y2-x y+x+y 1)=2+v i)(%-yy+(+I)2+(V+i)2所以 i=y=1 或1+y=1。若=y=1,则+犷=2。若力+w=1,则I 1 1/+/=-(X+y)2+(2一 g)2=-1+Q g)2 -当且仅当力=y=g时等号成立，所以，/+犷的最小值为:。第二试(B)1一(本题满分20分)已知实数a,b,c满足a工 S c,a+匕+c=16,a?+/+/+%而c=128,求c的值。解：设。+匕=/，而二g,依题意有x2 2y+(16 a?)2+:g(16 x)=128整理得(一 8)2=(4-8)O所以4=8或g=8(%_ 8)。.10分(1)若1=8,则a+6=8,此时c=8；(2)若沙=8(2 8),即而=8(a+b 8),贝ij(a 8)(6 8)=0,所以a=8或b=8；当a=8时，结合a S 6二c可得a+6+c 2 24,与a+6+c=16矛盾；当b 8时，结合a b 1时，设22加-1 一 2恒+1=浸（n为正整数）。注意到故可得（2小1 _）2+（2加T）2=打2,.0分所以22m-2=n2-（2-t-1产=（n+2m-1-l）（n-2m-1+1）.15分设/2171-1+l,y=n+2ml 1,则力r q/=22皿-2,所以x,y均为2的方幕。.20分又g i=2型2被4除余数为2,所以，只可能=2=2%故2 x 2加=2?2,解得加=3。综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3。.25分三（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，AOAD=Z OCB,OALOD,OBLOC.求证：AB2+CD2=AD2+BC2o证明：由题设条件可知N49O=NBOC=90。，又JAD=4OCB,所以40。COB,.5分OD AO,-OC AOOB=CO9从而砺二亚 又.10分AAOC=AAOB+ABOC=AAOB+AAOD=ADOB所以50。OOB,所以NO4C=NO0B,.15分设AC和BD交于点P,则NAP O=NAOO=90。，所以ACLOB。.20分所以AB2+CD2=(AP2+FB2)+(PJD2+P C2)=(AP2+P P2)+(P B2+P C2)=AD2+BC225分15微信公众号：数学竞赛的那些事儿2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题1.集合a=2,0,1,78=引2 2 6 4一2/4,则集合8的所有元素之积为（）。4:36 B:54 C:72 D:1082.已知锐角45。的顶点4到它的垂心与外心的距离相等，则t an（当竺）=（）。4:B:C:1 D:/33 23.将正奇数的集合1,3,5,7,从小到大按第九组2n-1个数进行分组:1,3,5,7,9,11,13,15,17）,数2017位于第次组中，则k为（）。4:31 B:32 C:33 D:344.已知/(%)=/5+的川+/+。蕤+。5,且当 7n=1,2,3,4时，/(6)=2017m,则/(10)-/(-5)=()0A:71655 B:75156 C:75615 D:765155.如图，平面直角坐标系/一 O y中，A,B是函数y 且40=48,则等腰直角 OAB的面积等于（）0工在第/象限的图象上两点，满足/046=90。X4:-()o则a的取值范围是,1A:a -7二、填空题B:若存在实数粗，使得关于2的方程/（2）=机有四个不同的实根,1a 6Cz a5D:a47.用团表示不超过力的最大整数，设5=泡+制+”，求”闻的值8.确定(2017x 2017,2017*2017 a2017 x 20 17演六百 x 2017嗝3屈)强的值9.已知 4BC的边力8=，为厘米，8。=，蚤厘米，CM=，自厘米，求 4BC的面积10.设函数/Q）=/+1+力）的最大值为，最小值为N,试确定M+N的值,11.设4是数集1,2,2017的九元子集，且4中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系,确定n的最大值 o16微信公众号：数学竞赛的那些事儿12.如图，以长为4厘米的线段工5的中点0为圆心、2厘米为半径画圆，交45的中垂线于点E和F.再分别以4、5为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线工E于点C,交射线6石于点D 再以石为圆心OE为半径画圆弧比，求 这4条实曲线弧连接成的“卵形 AFBCDA的面积.(圆周率用汗表示，不取近似值)o213.已知/(%)=i oi+50。求1)+/(2)+/(100)的值-。.L J.UU4-I-UUUU14.如图，在锐角 ABC中，AC=BC=10,。是边45上一点，力。的内切圆和的与边相切的旁切圆的半径都等于2,求43的长_o17微信公众号：数学竞赛的那些事儿2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题与解析一、选择题1.集合4=2,0,1,76=幻22一24,%一2q力,则集合5的所有元素之积为()0A:36 B:54 C:72 D:108答案：4解析：由力2 2 6 4,可得力2=4,2,3,9,即4=2,土，通,3,又因为1 204,所以2#2,C#3,故二一2，土，2,土，&一3因此，集合8=2,y/2,V?,3,所以，集合5的所有元素的乘积等于(一2)(0)(血)(一通)(通)(一3)=3602.已知锐角 AB。的顶点4到它的垂心与外心的距离相等，则t an(当竺)=()。4:B:C:1。：通3 2答案：Ao薛析；作。锐角48。的外接圆，这个圆的圆心0在形内，高4D,CE相交于点锐 角力石。的垂心也在形内。连接30交于K,3K为。的直径，连接4K,CK。因为4。，。石是力的高，NKA5NKCB是直径5K上的圆周角,所以/KAB=AKCB=90%于是KA。及KC力。，因此AKCH是平行四边形。1所以 K。=AH=AO=-BKO1在直角 KCB中，由KC=BK,得NBKC=60。，所以/氏4。=ABKC=60%(ABAC_ _0_古攵t an I-I t an 30 -。2 J 33.将正奇数的集合1,3,5,7，从小到大按第九组2n-1个数进行分组:1,3,5,7,9,11,13,15,17),数2017位于第k组中，则人为()0A：31 B：32 C：33 D：34答案：Bo解析：数2017是数列诙=2n 1的第1009项，设2017位于第次组，则1+3+5+(2k 1)工1009,且1+3+5+(2k-3)1009即k是不等式组 一 的正整数解，解得k=32,所以2017在第32组中。I(f c-l)2 10094.已知/()=产+的4 十 02/3+03/+q/十05,且当机=1,2,3,4时，/(m)=2017m,则f(10)-5)=()0A:71655 B:75156 C:75615 D:76515答案：Co解析：因为当加=1,2,3,4时，/(m)=2017m,所以1,2,3,4是方程/(上)一2017%=0的四个实根，由于5次多 项式/(*)-2017$有5个根,设第5个根为p,则/(2)20171=(2一1)(2)(2 3)(/4)(2p)即f(x)=(x l)(x 2)(*3)(1 4)(x p)+201718微信公众号：数学竞赛的那些事儿所以/(10)=9 x 8 x 7 x 6(10-p)+2017 x 10,/(-5)=-6 x 7 x 8 x 9(5+p)-2107 x 5因此/(10)-/(-5)=15 x(9 x 8x 7x 6+2017)=75615。5.如图，平面直角坐标系 O 沙中，4,8是函数g=1在第/象限的图象上两点，满足/O4B=90。x且49=4则等腰直角 OAB的面积等于()04：12 答案：Do 解析：依题意,B4AOAB=90且40=AB,AAOB=AABO=45%过点4做g轴垂线交g轴于点。，过点6做9轴平行线，交直 线C4于点D易见 004*/DAB01 1 1设点4(a,)，则点石(qH,a)o a a a因为点、B在函数=的图象上，所以(aH)(a)=1,x aJ a/即3-a2=1。az因此S&ABC=g =TG+*)=Tj O*+4=等吏 TI/I a则a的取值范围是()0解析：要使方程/(%)=加有四个不同的实根，必须使得沙=机的图像与9=/(%)的图像有4个不同的交点。而直线与g=罔的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以9=m与函数y=x,x q的图像的交点分别都是2个。而存在实数机，使y=7几与y=围,1S a的图像有两个交点，需要a0,此时0 a顶点的纵坐标为.-,所以，要g=m与y=/一 4a+2a,%a的图像有两人-卜/力 4 x 2a (4a)2 个父点，需要m -o4因此沙=机的图像与9=/(力)的图像有4个不同的交点需要满足：0 m 4x 2a (4c i)2解得二、填空题7.用团表示不超过的最大整数，设5=，1+”可+%/用+.+%/第,求V司的值 o答案：24。解析：因为了二1,2,3 22,所以1二因此，!=，=仆=1,共3个1;同理，224,5,6,7,832,因此，根=述=通=祈=四=2,共5个2;又32 s 9,10,11,12,13,14,15 42,因此6=标=出=3,共7 个3;依次类推，/16=/17=v 3=/24=4,共9个4;/25=/26=-=/34=/35=5,共 11 个5;19微信公众号：数学竞赛的那些事儿 y36=/37=.=x/47=/48=6,共 13 个6;=/50=.=/62=/63=7,共 15 个7;/64=/65=一=V 79=/80=8,共 17 个8;V 8 1=/82=-=/98=/99=9,共 19 个9。S=(%/1+/2+商+(4+佝+画+V 7+%/8)+(沟+%/99)=1x 3+2x 5+3x 7+4x 9+5x11+6x13+7x15+8x17+9x19=615因为242=576 615=S 625=252,即24 用 25,所以，=24。8.确定(20171。=-”x 2017l o842oi7 x 2017x 20171obi62017 x 20 1 7*；2017K 的值 0 答案：8o 解析：原式=(20171020172 x 20171020174 x 2017l og2178 x 2017l og201716 x 2017l og 21732)=(2x 4x 8x 16 义 32)卷=(21 x 22 x 23 x 24 x 25a9.已知 ABC的边=，两厘米，6。=，记厘米，。力=，可厘米，求力的面积,答案：9.5平方厘米。解析：注意到13=32+22,29=52+22,34=52+32,作边长为5厘米的正方“MNP,分成25个1平方厘米的正方形网格，如图。根据勾股定理，可知，AB=，四厘米，BC=6?厘米，。力=，可厘米，因 此 ABC的面积可求，48。的面积=5x 5-|x 3x 5-1x 2x 5-|x 2x 3=9.5(平方厘米)一”10.设函数/(/)=(”+1)+?(了+1+乃 的最大值为最小值为N,试确定M+N的值_xz+1答案：2。2.t+l n(，2+1|2)解析：由已知得/(n)=1+a:2+1In(，22+1+/)+侬，(一产+1+(-/)=In(y/(-a;)2+1-(x)(y/(x)2+1+(-?)l n(a;)2+1 (I)?)=In 1=0所以l n(,(*)2+1+(2)=l n(，/2+1+,),因此，In(，/2+1+是奇函数。2x+l n(x/2+i+/)进而可判定，函数g(x)=为奇函数。x2+1则9侬)的最大值Mi和最小值Ni满足AA+M=0。因为M=i+l,N=Ni+l,所以M+N=2。11.设4是数集1,2,2017的几元子集，且4中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定九的最大值 O答案：504o解析：在数集1,2,2017中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集2,4,2016 共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020,所以集合力=1010,1012,1014,，2016中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，4中恰有504个元 素。事实上504是九的最大值。因为若从1009,1011,，2017中任取一个奇数，会与4中的与它相邻的偶数互质；若从1,2,3,，1008中任 取一数，则它的2倍在4中，存在整除关系。20微信公众号：数学竞赛的那些事儿12.如图，以长为4厘米的线段工5的中点0为圆心、2厘米为半径画圆，交45的中垂线于点E和F.再分别以4、5为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线工E于点C,交射线6石于点D 再以石为圆心OE为半径画圆弧比，求这4条实曲线弧连接成的“卵形 AFBCDA的面积.(圆周率用汗表示，不取近似值)o答案：(12 4核加4平方厘米。解析：半圆(0,2)的面积=7T X 22=2%0因为力O=OB=2,所以48=AC=BD=4,AE=BE=2,ED=EC=4 26；又 4AEB=ACED=9Q,AEAB=ZEBA=45,因此，扇形R4。的面积=扇形4CF的面积=3汗x 4?=2汗，4E8的面积=1x 4 x 2=4,8 2直角扇形的面积二1tt(4-22)2=6汗一 4 2tf,卵形工厂60D4的面积=半圆(0,2)的面积+扇形54。的面积+扇形工。6的面积一4上石的面积+直角扇形的面积=2万+2 x 2万一4+6五一4，开=(12-4x/2)tt-4(平方厘米)已知/=-2。；：+5000,求/+/+川。)的值-答案：101。解析：设g(力)=x2 100+5000,则5(100 一)=(100-)2-100(100-2)+5000=1002-200/+/_ 1002+1002+5000=x2-100 力+5000 g(力)即g(k)=g(100-k),所以/(k)+/(100-k)=焉+倡瑞=/等空=In n 2又 f(50)=-1./(100)-=2,八)502-100 x 50+5000 八)1002-100 x 100+5000所以/+/+/(100)=(/+/(99)+(/+/(98)+(/(50)+/(100)=2x49+1+2=101。14.如图，在锐角 ABC中，AC=BC=10,。是边45上一点，力。的内切圆和的与边相切的旁切圆的半径都等于2,求43的长 o答案：4/5o21微信公众号：数学竞赛的那些事儿解析：线段45被两圆与45的切点及点。分成四段，由于两圆半径相等，再根据切 线长定