2021上海市各区中考数学一模压轴题图文解析.pdf

2021年上海市各区中考数学一模压轴题图文解析目录第24、25题图文解析例2021年上海市宝山区中考一模第24、25题/2例2021年上海市崇明县中考一模第24、25题/6例2021年上海市奉贤区中考一模第24、25题/9例2021年上海市虹口区中考一模第24、25题/12例2021年上海市黄浦区中考一模第24、25题/16例2021年上海市嘉定区中考一模第24、25题/20例2021年上海市金山区中考一模第24、25题/23例2021年上海市静安区中考一模第24、25题/26例2021年上海市闵行区中考一模第24、25题/30例2021年上海市浦东新区中考一模第24、25题/33例2021年上海市普陀区中考一模第24、25题/36例2021年上海市青浦区中考一模第24、25题/40例2021年上海市松江区中考一模第24、25题/43例2021年上海市徐汇区中考一模第24、25题/44例2021年上海市杨浦区中考一模第24、25题/49例2021年上海市长宁区中考一模第24、25题/53第18题图文解析例2021年上海市宝山区中考一模第18题/57例2021年上海市崇明县中考一模第18题/58例2021年上海市奉贤区中考一模第18题/59例2021年上海市虹口区中考一模第18题/60例2021年上海市黄浦区中考一模第18题/61例2021年上海市嘉定区中考一模第18题/62例2021年上海市金山区中考一模第18题/63例2021年上海市静安区中考一模第18题/64例2021年上海市闵行区中考一模第18题/65例2021年上海市浦东新区中考一模第18题/66例2021年上海市普陀区中考一模第18题/67例2021年上海市青浦区中考一模第18题/68例2021年上海市松江区中考一模第18题/69例2021年上海市徐汇区中考一模第18题/70例2021年上海市杨浦区中考一模第18题/71例2021年上海市长宁区中考一模第18题/72例 2021年上海市宝山区中考一模第24题如图1,已知抛物线=4/+云wo)经过A(4,0)、3(1,3)两点，抛物线的对称轴 与x轴交于点C,点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD.(1)求该抛物线的表达式以及对称轴；(2)点E在线段8C上，当NCO=N08时，求点E的坐标；(3)点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平 行四边形时，求这个平行四边形的面积.|y图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山一模24”，拖动点M在抛物线的对称轴上一点，可以 体验到，三个点N都可以落在抛物线上，其中点M、M关于对称轴对称.满分解答(1)因为抛物线与轴交于0、A(4,0)两点，设=以(%4).代入点 8(1,3),得 3=5a.3 7 3 19解得所以y=：%(%4)=1x2 一与X.对称轴是直线=2.(2)如图2,点次一 1,3)关于对称轴=2的对称点为0(5,3).由 C(2,0)、3(1,3)、7)(5,3),可得 3CO 是等腰直角三角形，BC=DC=372.由 8(1,3),可得 ta nN08D=3.当NCED=N08。时，ta nNCE0=ta nNO8r=3.所以 C=0.所以瓜C两点间的水平距离、竖直距离都是1.所以反1,1).(3)如图3,已知0、A(4,0)两点是确定的，0A=4.设M(2,小).过 O4M的上顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点N.将M(6,m)代入y-4),得加=：x6x2=7?144此时 Q AM的面积为9，平行四边形OAMM的面积为(如图4所示)._ 144如图4所示，平行四边形。的面积也为-丁.3 3 12将 由2,用)代入y=-4),得根=g x 2 x(-2)=-.74 4R此时 Q AM的面积为个，平行四边形OMAM的面积为1(如图5所示).3例 2021年上海市宝山区中考一模第25题如图 1,在 RtZV15C 中，ZACB=90,AC=3C,点。、后在边43 上，NOCE=45,过点A作A3的垂线交CE的延长线于点M,联结MD(1)求证：CE?=BEDE；(2)当 AC=3,AO=28时，求 DE 的长；(3)过点M作射线8的垂线，垂足为点尸.设f=%,ta n/FMO=y,求y关于工的函数关系式，并写出定义域.图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山一模25”，拖动点石在A3边上运动，可以体验到，EDC、CD4、可始终保持两两相似.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”，可以 体验到，点C是BG的中点，O8C与 CGM始终保持相似.满分解答(1)如图 2,在 RtZVIBC 中，ACBC,所以NA=N3=45.所以NB=NDCE.又因为/DEC=/CEB,所以所以笠=.所以CE2=BEDE.BE CE(2)如图 3,在 RtZA5C 中，AC=3C=3,所以 A3=30.又因为4D=28D,所以AD=2及，BD=母.由NC0E=NAQ C,ZDCE=ZA=45,得AEDCsCDA.根据相似三角形的传递性，得石C3s CD4.所以殷=g g.所以毁=义.解得叵.AC AD 3 2V2 4所以 DE=BE-BD=-V2=述.4 4图2图34(3)如图4,延长MA交3C的延长线于点G,那么 48G是等腰直角三角形.所以 NG=N3=45,BC=G C.又因为Nl+N2=45,N3+N2=45,所以N3=N1.所以 OBCs2XcgM.所以匹=吧.CM G C等量代换，得=DC=mx,CMm.CM G C BC在等腰直角三角形MRS中，CM=m,所以 EM=FC=Y-2m.df在 RtZMED 中，y=ta nZFMD=FM6m-xmt=-=1 2.x.V2m2定义域OV%立.如图5,当点。与点3重合时，x=0,CE/AC,点M不存在.2如图6,当点E与点A重合时，=好=也，点M与点A重合，4不存在.BC 25例 2021年上海市崇明区中考一模第24题如图1,已知对称轴为直线=1的抛物线y=a f+o%+3与轴交于A、3两点，与 y轴交于点C,其中点4的坐标为(1,0).(1)求点B的坐标及抛物线的表达式；(2)记抛物线的顶点为P,对称轴与线段BC的交点为Q,将线段尸。绕点。按顺时针方向旋转120,请判断旋转后点P 的对应点P是否还在抛物线上，并说明理由；(3)在入轴上是否存在点M,使 MOC与a BC尸相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M的坐标(不必 书写求解过程).动感体验请打开几何画板文件名“21崇明一模24”，可以体验到，点P也在抛物线上，XBCP 是直角三角形.满分解答(1)点4(1,0)关于直线1=1的对称点5的坐标为(3,0).由=。%2+加+3,得。(0,3).设抛物线的交点式为y=a(%-l)(%+3),代入点C(0,3),得3=-3,解得 q=-1.所以 y=(%1)(%+3)=-x2%+3.(2)由 y=-x2%+3=(%+1)?+4,得 P(1,4).设对称轴X=-1与1轴交于点N,那么ON=1,QN=BN=2.所以0(1,2).过点尸向对称轴作垂线，垂足为H.在 Rta PQ H 中，PQ=PQ=2,/PQH=60,所以 Q H=1,PH=V3.所以 P(T+6,1).当=-1+6=时，=一(x+1)2+4=3+4=1.所以点尸也在这条抛物线上.(3)由 3(3,0)、C(0,3)P(1,4),可得尸如=2,BC2=iS,3产=20.所以8尸=。2+8。2.所以 pg。是直角三角形，ZBCP=90.所以些=g=.如果 MOC与 BCP相似，那么里=,或=LBC 屈 3 OM 3 0c 3所以符合条件的点M有4个:(9,0),(-9,0),(1,0),(-1,0).图2图36例 2021年上海市崇明区中考一模第25题如图 1,在 RtZV15C 中，ZABC=90,AC=6,3c=8.点。为斜边 A3 的中点，ED-LAB,交边3c于点点尸为射线AC上的动点，点。为边3C上的动点，且运动过程中，始终保持(1)求证：ADPs/Xeoq(2)设BQ=y,求y关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；(3)联结尸。，交线段3于点?当尸。尸为等腰三角形时，求线段A尸的长.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21崇明一模25”，拖动点。在3C边上运动，观察左图，可以 体验到，AO尸与互。始终保持相似.观察右图，可以体验到，APDF与ABDQ始终保 持相似.在 8D。中，点。和点8各有一次机会落在对边的垂直平分线上，点。没有机会 落在对边的垂直平分线上.满分解答(1)如图2,根据同角的余角相等，得NA=N1.如图3,因为尸所以N2+N3=90.又因为N4+N3=90,根据同角的余角相等，得N2=N4.所以 AOPs互)q.图2 图33(2)如图 2,在 RtZxABC 中，AC=6,3c=8,所以 A3=10,ta nB=-.4i 3 15 25在 中，BDAD=-AB=5,ta n3=,所以。石=一，BE=.2 4 4 4如图3,由 EDQsa a dp,得丝=丝=生=丝=3.AP PD AD BD 4所以丝=9.解得0=2%.%4 495 3 2s所以丫=8。=3一七。=丁一7%.定义域是7（3）如图 4,在 Rta POQ 中，ta nNDPQ=E=:.所以NOPQ=N8又因为N4+N3=90,N4+N5=90,所以N3=N5.所以APDFsABD。.所以当甲为等腰三角形时，8D。也为等腰三角形.分三种情况讨论等腰三角形BDQ.75 3 5如图5,当时，y=5.所以彳-%=5.解得X=.1 4 1 4如图 6,当 Q O=Q 3 时，-BD-BQ.所以,*5=二丁.75 3?5所以8y=25.解方程8（4-士工）=25,得了=上.4 4 6如图7,当 00=03 时，BQ=BD.所以 g xy=1x5=4.7S 3 7所以y=8.解方程2-亡=8,得（舍去）.4 4 3图6 图78例 2021年上海市奉贤区中考一模第24题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-；%2+b%+c与x轴正半轴交于点A(4,0),与y轴交于点8(0,2),点。在该抛物线上且在第一象限.(1)求该抛物线的表达式；(2)将该抛物线向下平移机个单位，使得点C落在 线段43上的点。处，当40=33。时，求机的值；(3).联结3C,当NC84=2N3AO时，求点C的 坐标.动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤一模24”，可以体验到，射线与8A关于直线y=2 对称.满分解答(1)设抛物线的表达式为y=-4)(%-%2)，代入点8。2)，得2=2芍.1 13解得 2=-1 所以 y=(X 4)(%+1)=x2+万+2.(2)如图2,设直线CD与轴交于点及,AEAD 由=3,OE BD所以OE=Q 4=1.4明4当=1 时，=_；(%-4)(%+1)=3.所以 C(l,3).,DE BO 2nr_一t j-AE AO 4-,得de=Lae=3.所以所以m=33=3.2 2 2 2 2 2(3)在 RtZSAO3 中，OA=4,OB=2,所以 ta nN34O=.2如图3,过点3作直线/X轴，作射线区4关于直线/的对称射线，这条射线与抛物线 的交点就是点C,符合NCBA=2NA4O.H 1 a作 C_ L/于”，那么 ta nNCBH=.设 0(%,x2+-X+2).BH 2 2 2X2 H-x+2-2 解方程上V解得-2.所以0(2,3).9例 2021年上海市奉贤区中考一模第25题已知。O的直径AB=4,点P为弧AB上一点，联结尸A、PO,点C为劣弧AP上一点(点。不与点A、P重合)，联结3C交尸A、PO于点。、E.7(1)如图1,当c o sNC5O=时，求BC的长；8(2)当点。为劣弧AP的中点，且灰)尸与 AOP相似时，求NA8C的度数；(3).当AZ)=2Q P,且 BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤一模25”，拖动点尸在弧上运动，可以体验到，点 E始终为PO的中点，BO有两个时刻可以成为直角三角形.满分解答(1)如图2,联结AC.根据直径所对的圆周角是直角，可得NACB=90.7 7 7 7在 Rt/SABC 中，由 c o sNC8O=,WBC=-BA=-x 4=-.BA 8 8 8 2(2)如图 3,设NABC=a.因为点C为劣弧4P的中点，所以NP3C=N48C=a.所以 NPOA=2NP8A=4a.如果互。与 AOP相似，那么NPQ E=NPOA=4a.在 RCPDB 中，a+4a=90.解得 a=18.(3)如图4,过点P作A8的平行线交3C的延长线于点由”=任=2,得PMAB=2.PM PD2所以PM=O艮 所以石是PO的中点，OE=1.如图 5,联结 Q O.设 S尸)E=Sz so)E=m，那么 S尸)0=2/72.因为 4Z)=2PQ,所以&Ao=2Sz p00=4/w.所以 S必0=6/72,S 四边形AOE=52.所以 S 四边形AOE=:Sa E4O.10PMP分两种情况讨论直角三角形BEO.如图6,当N3。石=90时，那么等腰直角三角形MO的面积为2.止匕时 S四边形 S用O=一6 3如图7,当N3EO=90时，由OE=4O3,可知NA3C=30.2此时BE垂直平分PO,/XPBO是边长为2的等边三角形.所以 S必0=S pbo=V3 止匕时 S四边形aoed=S幺0=6 6图6 图711例 2021年上海市虹口区中考一模第24题如图1,在平面直角坐标系中，已知点A(-1,O)、3(3,0)、C(0,3),抛物线经过4、B两点.(1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；(2)在(1)题的条件下，点P为该抛物线上一点，且 位于第三象限，当NP3C=NAC3时，求点P的坐标；(3)如果抛物线=加+版+c的顶点。位于 3OC 内，求。的取值范围.动感体验请打开几何画板文件名“21虹口一模24”，拖动点O在线段上运动，观察度量值,可以体验到，。的取值范围是一0.5Va V0.满分解答(1)因为抛物线与光轴交于A(-1,0)、8(3,0)两点,设y=以%+1)(%3).代入点，得3=-3q.解得。=-1.所以 y=a(x-l)(x3)a:2+2x+3.(2)如图 2,在 RtZXCOB 中，OB=OC=3,所以NOCB=NO8C=45.nA i在 RtZVIOC 中，。4=1,所以 ta nNACO=.0C 3作 PHJ_ x 轴于 H.设尸(%,一(%+1)(%3).当/PBC=ZACB 时，/PBH=ZACO.所以 ta n ta n NACO=3解方程殳上达0=_l,得=一.所以 3-x 3 3 3 9(3)如图3所示，抛物线y=a(%+l)(%3)的对称轴是=1,对称轴与线段8C的交点 为M(l,2),与轴的交点为N(l,0).抛物线的顶点。在 BOC内，也就是说点。在线段MN上(不包括M、N两点).将点 M(l,2)代入 y=a(%+l)(%3),得 2=-4a.解得 a=-将点 M L。)代入=1(%+D(%3),得 0=4”.解得。=0.所以。的取值范围是a0.212例 2021年上海市虹口区中考一模第25题如图 1,在 A5C 中，ZABC=90,AB=3,BC=4,过点 A 作射线 AM/3C,点、D、石是射线4M上的两点(点。不与点4重合，点E在点。右侧)，联结30、3E分别交边 AC于点足 G,NDBE=/C.(1)当AD=1时，求的长；(2)设4。=%,FG=y,求y关于的函数关系式，并写出的取值范围；(3)联结。G并延长交边3C于点H,如果 03是等腰三角形，请直接写出的 长.请打开几何画板文件名“21虹口一模25”，拖动点。在射线AM上运动，可以体验至 Aa X 所G和尸C3两两相似.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”，拖动点。运动,可以体验到，8DG是形状不变的直角三角形.观察 8DH,可以体验到，每一个顶点都 可以落在对边的垂直平分线上.满分解答(1)在 RtZVWO 中，43=3,AD=l,所以 30=厢.如图2,由 AO/3C,W=-.所以殷=*.所以 3/=BF BC 4 BF 4 5 5图2 图3(2)在 RtZVIBC 中，AB=3,3c=4,所以 4c=5.如图 2,在 RtABD 中，AB=3,AO=x,所以 BD=G+9.由 AD/BC,得生=竺 才 BF-CFAD BC匚、1 BD x+4所以=-BF 4AC x+4CF 4X4所以 包32,CF=-AC-%+4 x+4 x+4 x+4如图3,已知N03E=NC,N3R7是公共角，所以FBGsFCB.13FB FC 由、2*g、16(%+9)20所以=.mlU FB=FC FG.所以二-一-y.FG FB(x+4)2 x+4整理，得y=4(+9)=竺注.定义域是0%4.5(%+4)5 a:+20(3)如图 4,在 AED 和 BFG 中，ZFADZFBG,/AFD=/BFG,所以 AEDsABFG.mi、FA FB 所以=FD FG又因为所，所以（如图5所示）.所以/立G=/FAB为定值.4所以 3OG是直角三角形，ta nN3OG=ta nNB4C=.3在 中，设 OG=3m,BG=4m,BD=5m,/BDG=a.图5图4分三种情况讨论等腰三角形DBH.如图 6,当 HB=HD 时，ZHBD=/HDB=a.3 g所以 NADB=/HBD=a.此时在 RtAABP 中，A0=t AB=3.4 4如图 7,当 DB=DH=5m 时,HG=2m,BH=2AD=2x.,AD DG 3m 3,曰 3 由=一，得-=-.HC HG 2m 2 4 2%23 解得 AD=x=.2如图8,当BH=BD=5加时,G是。H的中点.所以“。=4。=尤所以 BD=BH=4-x.在RtABD中，由勾股定理，得2+32=(41%了.7 解得 4。=%=.8图6图7图814【解法二】第一步，证明 33Hsa g反如图 9,因为/DBH=/DBG+/G BH,ZAG B=ZC+ZG BH,/G BH=/C,所以/DBH=NAG B.再证明 N8DH=NBAG,所以ADBHsAAG B.因此当 08”是等腰三角形时，AAGB也是等腰三角形.第二步，用含的式子表示AG的长.由 AD/BC,曰 AF AD得=CF BCX4所以第=后图9所以5x%+4后r、i,_,_ 5x 4a：2+36 4/+25%+36(4%+9)(%+4)4%+9所以 AG=AF-FG=-+-=-=-=-%+4 5%+20 5(%+4)5(%+4)5第三步，分三种情况讨论等腰三角形43G.4r+Q 3在 ABG 中，A3=3,AG=,c o s/A=.5 54r 4.Q a如图10,当AG=A3时，解方程士士=3,得%=士.5 2如图11,当BA=8G时，-AG-AB.解方程如土2=x3,得=2.2 5 2 5 5 4如图12,当GA=G3时，-AB=-AG.解方程，x3=x把土2,得x=Z.2 5 2 5 5 815例 2021年上海市黄浦区中考一模第24题如图1,在平面直角坐标系中直线y=%+4与1轴、y轴分别交于点A、3,点C是线段 03的中点.(1)求直线AC的表达式；(2)若抛物线y=o?+法+，经过点c,且其顶点位于线段上(不含端点0、A).用含。的代数式表示。，并写出,的取值范围；设该抛物线与直线y=%+4在第一象限内的交点为。，试问：03。与4c能否 学生？如果能，请求出此时抛物线的表达式；如果不能，请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“21黄浦一模24”，拖动抛物线的顶点M在线段上运动,可以体验到，抛物线可以同时经过C、O两点.满分解答(1)由 y=%+4,得 A(-4,0),3(0,4).所以。(0,2).设直线AC的表达式为旷=区+小 代入&-4,0)、C(0,2)两点，得-4k+=0,n=2.解得=；,=2.所以直线AC的表达式为y=；%+l.(2)若抛物线经过点c,且其顶点位于线段。4上(不含端点0、A).将点 C(0,2)代入 y=a x：2+b x+c,得 c=2.所以 y=a%2+b%+2.因为抛物线的顶点在轴上，所以=/8a=0.所以。=8因为抛物线的顶点在线段OA上(不含端点。、A),所以一4-&V0.2ah 4 1所以一4V-0.所以-4V-始终保持全等，MCN与 ECN始终保持全等.观察右图可以体 验到，PQ C与始终保持相似，PCQ与 NCM始终保持相似.满分解答(1)如图2,联结AC交8D于点O.因为 AC=AC,ABAD,所以 所以NACB=NACD=NBCO.2又因为NMCN=1 N3CD 所以NMCN=N4C3.2在 RtZABC 中，AB=4,BC=3,所以 AC=5.AR 4所以 sin ZM CN=sin ZACB=.AC 5(2)如图3,延长AD至E,使得因为 C8=CD,/ABC=/ADC=/CDE=90,所以 BCMZ/SOCE.所以 CM=CE,/BCM=ZDCE.因为NMCN=-/BCD,所以 N6CM+NNCO=-/BCD.2 2等量代换，得/DCE+/NCD=L/BCD.所以NM CN=NECN.2所以4M CN义AECN.所以/CNM=ZCNE.当ON=3C时，NC。是等腰直角三角形，此时NCNM=NCNE=45(如图4所示).18AANA图2图3图4(3)如图5,因为CB=CD,所以AC垂直平分3D所以NCOQ=NC3M=90.因为NMCN=NAC8,所以N0CQ=N8CM.所以 OCQs2Xb cM.所以且=y=cosNACB=3.“CM CB 5如图 6,因为Nl+NC4O=90,N2+NC4O=90,所以Nl=N2=N3CD2等量代换，得/1=/M CN.如图 7,因为N1=NMCM/PQC=/NQD,所以/CPQ=NDNQ=/CNM.又因为NPCQ=NNCM,所以APCQsnCM.所以2=丝=3,是定值.M N CM 5所以在点M、N的运动过程中，线段比丝的值不发生变化.M N图5图719例 2021年上海市嘉定区中考一模第24题如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(1,2)、8(1,6)、C(l,4),如果抛物线+法+3恰好经过这三点之中的两个点.(1)试推断抛物线经过点A、B、C之中的哪两个 点？简述理由；(2)求常数。与b的值；(3)将抛物线y=a f+A%+3先沿与 y 轴平行的方 向向下平移2个单位长度，再沿与1轴平行的方向向右 平移个单位长度，如果所得到的新抛物线经过 点C(l,4),设这个新抛物线的顶点是试探究 48D 的形状.图1动感体验请打开几何画板文件名“21嘉定一模24”，拖动点。在1轴上运动，可以体验到，当 平移后的抛物线经过点。时，A3。是等腰直角三角形.满分解答(1)抛物线经过点A、8两点.理由如下：因为8C/y轴，所以抛物线不可能同时经过8、C两点.因为直线AC的解析式为y=%+3,与y轴的交点为(0,3).抛物线与y轴的交点也为(0,3).一条直线与抛物线不可能有3个交点，所以抛物线不可能同时经过A、C两点.(2)将两点A(1,2)、5(1,6)分别代入=加+笈+3,得。+3=2,a+b+3=6.解得 a=l,b=2.(3)原抛物线为y=f+2x+3=a+l)2+2,顶点为A(1,2).平移后的新抛物线的顶点为。(一1+八0),解析式为y=%2+2x+3=(%+lr)2.代入点C(l,4),得4=(2if.解得/=4,或，=0(舍去).所以 0(3,0).由 4(一1,2)、3(1,6)、0(3,0),得 4炉=20,AD2=20,51)2=40.所以所以 A8O是等腰直角三角形，/BAD=90,AB=AD.20例 2021年上海市嘉定区中考一模第25题在矩形A8CO中，AB=6,AD=8,点E在CD边上，ta nNAD=1.点E是线段A 2上一点，联结BR CF.(1)如图1,如果ta nNC3尸=?,求线段AF的长；4(2)如果2,如果C/=43C,2求证：ZCFE=ZDAE；求线段所的长.图1 图2满分解答(1)如图3,联结30、FD.在 RtAPBC 中，ta n ZBC=-=-=BC 8 4已知ta n/C3/=二，所以3、F、。三点共线.4在 RtZXAOE 中，A=8,tanZEAD=,所以项)=4.所以 AE=4班.AD 21.nnr 4b AF AB 6 3#匚1、AF 3 匚匚i、i 3 12/r由 A8DC,但-,所以-.VX AF AE yJ5.EF ED 4 2 AE 5 5 5【解法二】如图4,作于M.由 ADUFM J/BC,得/CBF=/M FB,/EAD=/M FA.3 I在 AB/中，由 ta n/M F3=,tanZM FA=-,设/M=4m,BM=3m,AM=2m.4 26由 AB5m6,得加=一.5所以=2扁=yV5.图3图421(2)如图5,延长4E交3C的延长线于点G.由 AO8G,得生=匹=3=2,ZG ZDAE.所以 CG=LaD=4.CG CE 2已知CF=-3C=4,所以CG=C?所以NG=NCF 2等量代换，得/CFE=/DAE.如图6,作CH_ LFG于H,那么C”垂直平分/G.在 RtZXECG 中，ta nNG=，CG=4,所以 CE=2,EG=2亚.2在 Rta CHG 中，ta n/G=，所以 c o s NG=2.所以“G=CG=W.2 5 5 5所以/G=2HG=S且.所以 EF=FG-EG=-2d=庄.5 5 5A D 一22例 2021年上海市金山区中考一模第24题在平面直角坐标系中，直线y=-3x+2与直线y=%-3相交于点A,抛物线 4 2法一1经过点a.八y(1)求点A的坐标；(2)若抛物线=?+阮一1向上平移两个单位后，经过点(1,-2),求抛物线=以2+。%1 的表达式；-1-1-1 _I-1 1(3)若抛物线 y=a，%2+Z/%+c(VO)与=以2+笈-1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P与点尸，当Sopp=3时，求抛物线=0?+区-1的表达式.图1动感体验请打开几何画板文件名“21金山一模24”，拖动y轴上表示实数。的点运动，可以体验到，抛物线始终经过点A,对称轴不变.满分解答3。y=x+2,r 4(1)解方程组 4 得 一 所以点A的坐标为(4,一1).1 二 y=l-3，(2)如图2,将点(1,一2)向下平移两个单位，得到点(1,一4).将A(4,1)、(1,-4)两点分别代入y=G?十代一1,得16+4/?-1=-1,a+b-=-4.解得 a=l,b=-4.所以 y=f4%1.(3)先将点 A(4,-1)代入 1,得 16。+4匕一1=-1.所以=4a.所以y=a%24a%1,对称轴是直线=2.1 3如图 3,由 Sopf=尸Px 2=3,得 PP=3.所以 3(2,).2 2将点 P(2,Q)代入 y=以24a x 1,得5=4。8。1.角军得 所以y=8 8 223例 2021年上海市金山区中考一模第25题定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图1中，ZA=-ZO.2已知：如图2,AC是。的一条弦，点。在。上(与A、C不重合)，联结0c交射3线40于点石，联结03,OO的半径为5.ta n/OAC=.4(1)求弦AC的长；(2)当点石在线段OA上时，若 OO石与 AEC相似，求NQ C4的正切值;(3)当O石=1时，求点A与点。之间的距离(直接写出答案).图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21金山一模25”，拖动右图中点E在射线A0上运动，可以体 验到，与a c E厂始终保持相似，0石=1存在两种情况.满分解答(1)如图3,作OH,AC于”.3 4在 RtAOH 中，0A=5,tanZOAC=-,所以 c o s/O4C=,OH=3,A”=4.4 5所以 AC=2AH=8.图3 图4 图5(2)如图4,一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，得NC=L/O.2若 OQ E与 AEC相似，那么只存在NC=NO一种情况，所以。O/AC.如图5,作CM，。交延长线于点所以四边形0HCM是矩形.所以 0M=C=AH=4,CM=0H=3.在 RtZDCM 中，DM=DO+OM=9,CM=3,所以 ta n/DCA=型=之=.DM 9 3(3)如图6,延长A。交。于点R联结CR联结0C.24因为。4=OC,所以NA=N1.因为OC=O尸，所以/=/2.所以Nl+N2=90.由勾股定理，得CF=dAF2-AC2=由如图7,由已知，得NO=L/4OC,ZF=-ZAOC,等量代换，得/D=/F.2 2An Af1又因为NAEO=NCER 所以AAEDsCEF.所以=.所以CEAQ=C尸AE.CF CE如图8、9,作EGJ_ AC于G.分两种情况讨论点A与点。之间的距离.如图8,点E在线段A。上.在 RtZXAEG 中，AEAO-OE=4,cosZOAC=-,所以 AG=3,EG=.5 5 5在 RtZXCEG 中，EG=,GC=AC-AG=,所以 C=.5 5 5代入CE-AD=CFAE,得A。=6x 4.解得AO=2班.如图9,点E在线段AO的延长线上.4 94 IR在 RtZxAEG 中，AE=AO+OE6,c o sNOAC=，所以 AG=，EG=.5 5 5在 RtZXCEG 中，EG=,GC=AC-AG=,所以5 5 5代入 CEAO=C尸AE,得 2 AD=6x 6.解得 石.5 2925例 2021年上海市静安区中考一模第24题如图1,在平面直角坐标系中，直线y=+m 0)与轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a%2+b%+4(。/0)经过点A,且与y轴交于点C,ZOCA ZOAB.(1)求直线A8的表达式；(2)如果点。在线段A3的延长线上，且4)=AC,求经过点。的抛物线y=a f+公+4的表达式；(3)如果抛物线)=以2+版+4的对称轴与线段A3、4c分别相交于点石、F,且石尸=1,求此抛物线的顶点坐标.图1满分解答(1)如图 1,由 y=g%+m,得 A(2m,0),B(0,m).所以2黑二合2由丁=加+云+4,得C(0,4).所以OC=4.由 ta nN0CA=ta nN0A8=L 得竺=也 2 OC 4-.解得m=1.2所以直线AB的表达式为y=-；%+1.(2)如图 2,设。+2已知 42,。)，0(0,4),由 3=心得(-2)2+得+1)2=22+42.解得=-2,或=6(点。在BA的延长线上，舍去).所以。(一 2,2).将A(2,0)、。(一2,2)两点分别代入丁=2+区+4,得4q+2。+4=0,4。28+4=2.解得4=-，b-.所以y=-3/-L+4.4 2 4 2(3)如图3,直线AC的表达式为y=-2%+4,直线45的表达式为y=+1.设 F(x,2x+4),1(%,；%+1).i 4由石尸=1,得(2%+4)(-+1)=1.解得=.2 3264 9点A(2,0)关于对称轴 对称的点为(,0)4代入点C(0,4),得4=-a.解得。=3.32所以 y=3(%_)(%2)=3%2_ 8x+4.,2设抛物线为y=a(x-)(x-2).图2图327例 2021年上海市静安区中考一模第25题已知/M AN是锐角，点B、C在边4M上，点。在边AN上,ZEBD=/M AN,且CE/BD,3 sinZMA7V=-,A8=5,AC=9.5(1)如图1,当C与边AN相交于点E时，求证：DF CEBC BE；(2)当点后在边4V上时，求AO的长；(3)当点石在NM4N外部时，设AQ=%,5CE的面积是y,求y与之间的函数解 析式，并写出定义域.动感体验请打开几何画板文件名“21静安一模18”，拖动点。在射线3N上运动，可以体验到,点有两次机会落在边AN上.观察左侧图像可以体验到，y随的增大先增大，后减小.满分解答An nF(1)如图 2,因为 CEIIBD,所以=，/E=ZEBD=/M AN,ZABD=/BCE.AB BC所以所以42=殁.AB ECn/7 FR等量代换，得丝=丝.所以DF-CE=BC-BE.BC EC(2)如图 3,因为NCB=NA,/ECB=/ACE,所以 ECg s/viCE.#匚、CB CE 1rx、4 CE 曰 所以-=-所以-=-.角牛侍CE6.CE CA CE 9又因为CE/8D,所以些=竺.所以吧=3.解得 CE AC 6 9 3如图4,作BH_LAE于H.3 在 中，sin/M AN=,AB=5,所以 A”=4,BH=3.528在中，BD=,BH=3,由勾股定理，得DH=叵.3 3当点。在点/左侧时，AZ)=4-.当点。在点H右侧时，AP=4+.3 3图3 图4(3)如图 4,在 中，BH=3,DH=4-x,所以 3=，9+(4-%)=Jx-8x+25 1 3=-AD-BH=x.2 2Saabd如图 2,由ABDs/ECB,16 _ 16 3 _ 24xf 一8%+25,ABD%2一8%+25 2X x2-8x+25 定义域是4-叵 c/相似时，求工的值.动感体验请打开几何画板文件名“21闵行一模25”，拖动点石在43边上运动，观察度量值，可 以体验到，NG3E和N3EG都可以与NOEH相等.满分解答(1)如图 2,由NA3C=N0E=9O,得NADE=NCDF.又因为/AD=Nb C。，所以(2)如图 2,由(1)知，CF2AE=2x.Or2.+-?整理，得y=f上.定义域是OV%V1.(3)如图 4,在 BGE和中，/BEG=/DHE.在 1/中，ta n/OEH=2为定值.以NDEH为分类标准，分两种情况讨论:延长3G交。于点P.如图 5,如果NDEH=/G BE=NBPC,那么在 RtZXPBC 中，PC=-.2 231于是任CHEG AB 2 r r K|=7=4.所以 HG CP j_X2 y=4.所以 y=2 ；%.2a 2/+2/日 2x?+2 1 3结合y=-,得-=2%.解得=一.2x+l 2x+l 4 2如图6,如果/DEH=NBG E,哪么BPHED,四边形3切尸是平行四边形.所以 CP=AE=%.,AE EG AB x田 ，CH HG CP 2-y7所以/=4 2y.x代入y=巴士，得入=42（2厂+2）.整理，得%3+5%2-8%=0.2%+1 2%+1因为W0,所以2+5%8=0.解得%=-5+,或%=-5病（舍去）.4 432例 2021年上海市浦东新区中考一模第24题二次函数(a WO)的图像经过点A(2,4)、3(5,0)杈和 0(0,0).,(1)求二次函数的解析式；|(2)联结AO,过点8作8C_ LA。于点C,与该二次函数图像的.对称轴交于点尸，联结4尸，求NBA尸的余切值；|(3)在(2)的条件下，点M在经过点A且与轴垂直的直线上，|当 AMO与a ABP相似时，求点M的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“21浦东一模24”，可以体验到，点P是AAOB的重心，ASP 是等腰三角形.满分解答(1)如图2,因为抛物线与入轴交于0(0,0)、3(5,0)两点，设=(%5).9?7 in代入点 A(2,4),得 4=-6a.解得。=一一.所以 y=-5)=-x2+一%.3 3 3 3(2)如图3,联结OP.作轴于”.由 A(2,4)、仅5,0)、0(0,0),可得 8A=8O=5.如果3CJ_ AO,那么3c垂直平分40.所以N3AP=N1.又因为N1=N2,N2=N3,所以NBA尸=N3.所以 c o tNBAP=c o tN3=2.AH 2(3)第一步，转化.如图3,由NA4P=N2=N4,可知 A8P是等腰三角形.当 AMO与AAB尸相似时，AMO也是等腰三角形.第二步，如图4,当点M在点A下方时，NOAM=N3=N4.因此分两种情况:如果OM=OA,那么M、4两点关于入轴对称.此时颂2,-4).如果设由不二加。?，得(4根产=22+2.3 3解得加=.止匕时M(2二)2 233例 2021年上海市浦东新区中考一模第25