陕西省宝鸡市金台区2014-2015学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析).doc

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陕西省宝鸡市金台区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理 科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设已求出一条直线回归方程为，则变量x增加一个单位时（）
A． y平均增加1.5个单位 B． y平均减少1.5个单位
C． y平均增加2个单位 D． y平均减少2个单位

2．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
相关系数r 0.98 0.80 0.50 0.25

A． 模型1 B． 模型2 C． 模型3 D． 模型4

3．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）
A． 12种 B． 10种 C． 9种 D． 8种

4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）
A． =1.23x+4 B． =1.23x﹣0.08 C． =1.23x+0.8 D． =1.23x+0.08

5．（5分）等于（）
A． B． C． D．

6．（5分）展开式中第2项的系数为（）
A． 1 B． 6 C． ﹣6 D． 15

7．（5分）现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为（）
A． 232种 B． 252种 C． 256种 D． 472种

8．（5分）设ξ～B（18，p），又E（ξ）=9，则p的值为（）
A． B． C． D．

9．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）
A． 0.8 B． 0.75 C． 0.6 D． 0.45

10．（5分）有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（）
A． n B． C． D．

11．（5分）二项式（x﹣1）n的奇数项二项式系数和是64，则n等于（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

12．（5分）据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案．
方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30000元．
方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．
以下说法正确的是（）
A． 方案一的平均损失比方案二的平均损失大
B． 方案二的平均损失比方案一的平均损失大
C． 方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大
D． 方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（x﹣2）5的展开式为 x﹣2）5=．

14．（5分）=．

15．（5分）某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有种排法．

16．（5分）设（2x﹣1）5的展开式中第k项的系数最大，则k=．

三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（17分）（1）5名同学排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
（2）“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数（如632），那么比666小的三位渐降数共有多少个？

18．（17分）某校2014-2015学年高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，
（1）请列出X的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．

19．（18分）在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．
（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

20．（18分）应试教育下的2015届高三学生身体素质堪忧，教育部门对某市100名2015届高三学生的课外体育锻炼时间进行调查．他们的课外体育锻炼时间及相应的频数如下表：
运动时间
（单位：小时）
总人数 10 18 22 25 20 5
将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表：
课外体育不达标 课外体育达标 合计
男
女 10 55
合计
（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“课外体育达标”与性别有关？
附：，其中n=a+b+c+d．
参考数据 当Χ2≤2.706时，无充分证据判定变量A，B有关联，可以认为两变量无关联；
当Χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当Χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当Χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．

陕西省宝鸡市金台区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设已求出一条直线回归方程为，则变量x增加一个单位时（）
A． y平均增加1.5个单位 B． y平均减少1.5个单位
C． y平均增加2个单位 D． y平均减少2个单位

考点： 线性回归方程．
专题： 概率与统计．
分析： 根据直线回归方程是，得出y随变量x的变化而变化的情况．
解答： 解：根据直线回归方程，
得变量x增加1个单位时，y平均增加﹣1.5个单位，
即y平均减少1.5个单位．
故选：B．
点评： 本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目．

2．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
相关系数r 0.98 0.80 0.50 0.25

A． 模型1 B． 模型2 C． 模型3 D． 模型4

考点： 相关系数．
专题： 概率与统计．
分析： 根据相关系数的性质，r最大，则其拟合效果最好，进行判断即可．
解答： 解：线性回归分析中，相关系数为r，
|r|越接近于1，相关程度越大；
|r|越小，相关程度越小，
∵模型1的相关系数r最大，∴模拟效果最好，
故选：A
点评： 本题主要考查线性回归系数的性质，在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小．

3．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）
A． 12种 B． 10种 C． 9种 D． 8种

考点： 排列、组合及简单计数问题．
专题： 计算题．
分析： 将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果
解答： 解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；
第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；
第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12种
故选 A
点评： 本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题

4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）
A． =1.23x+4 B． =1.23x﹣0.08 C． =1.23x+0.8 D． =1.23x+0.08

考点： 线性回归方程．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．
解答： 解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），
∴5=1.23×4+a
∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D．
点评： 本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

5．（5分）等于（）
A． B． C． D．

考点： 组合及组合数公式．
专题： 计算题；排列组合．
分析： 利用组合数公式=+，进行化简即可．
解答： 解：根据组合数公式=+得，
++=（+）+
=+
=．
故选：B．
点评： 本题考查了组合数公式=+的逆用问题，是基础题目．

6．（5分）展开式中第2项的系数为（）
A． 1 B． 6 C． ﹣6 D． 15

考点： 二项式系数的性质．
专题： 计算题；二项式定理．
分析： 利用二项式定理的展开式的通项公式，得出展开式中第2项的系数是什么．
解答： 解：展开式中第2项为
T1+1=••x=6•=，
∴该项的系数为6．
故选：B．
点评： 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应熟记二项式定理的展开式通项公式，是基础题目．

7．（5分）现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为（）
A． 232种 B． 252种 C． 256种 D． 472种

考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．
解答： 解：由题意，不考虑特殊情况，共有C163=560种取法，其中其中每一种卡片各取三张，有4C43=16种取法，
两张红色卡片，共有C42C121=72种取法，
故所求的取法共有560﹣16﹣72=472种．
故选：D．
点评： 本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．

8．（5分）设ξ～B（18，p），又E（ξ）=9，则p的值为（）
A． B． C． D．

考点： 二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据ξ～B（18，p），E（ξ）=9，直接利用Eξ的公式即可得到p的值．
解答： 解：∵ξ～B（18，p），E（ξ）=9，
∴18p=9，
∴p=，
故选：A．
点评： 本题考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，直接利用公式，属于基础题．

9．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）
A． 0.8 B． 0.75 C． 0.6 D． 0.45

考点： 相互独立事件的概率乘法公式．
专题： 概率与统计．
分析： 设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
解答： 解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．

10．（5分）有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（）
A． n B． C． D．

考点： 超几何分布；离散型随机变量的期望与方差．
专题： 计算题．
分析： 先由超几何分布的意义，确定本题中抽到次品数服从超几何分布，再由超几何分布的性质：若随机变量X～H（n，M，N），则其数学期望为，计算抽到的次品数的数学期望值即可
解答： 解：设抽到的次品数为X，
则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X服从超几何分布
即X～H（n，M，N），
∴抽到的次品数的数学期望值EX=
故选C
点评： 本题考查了离散型随机变量的特殊分布列及其性质，超几何分布的意义及其数学期望的求法

11．（5分）二项式（x﹣1）n的奇数项二项式系数和是64，则n等于（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

考点： 二项式系数的性质．
专题： 计算题；二项式定理．
分析： 根据二项式（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，由此求出n的值．
解答： 解：二项式（a+b）n的展开式中，
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
∴2n﹣1=64，
∴n=7．
故选：C．
点评： 本题考查了二项式定理的展开式各项系数特征的应用问题，是基础题目．

12．（5分）据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案．
方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30000元．
方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．
以下说法正确的是（）
A． 方案一的平均损失比方案二的平均损失大
B． 方案二的平均损失比方案一的平均损失大
C． 方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大
D． 方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算

考点： 概率的意义．
专题： 概率与统计．
分析： 根据概率的意义分别求出两种方案的平均值进行比较即可．
解答： 解：用Xi表示方案i（i=1，2）的损失，
则E（X1）=30000×0.05+4000×0.2+4000=1500+800+4000=6300．
E（X2）=30000×0.05+15000×0.2=1500+3000=4500．
综上可知：采用方案1的平均损失最大，
故选：A
点评： 本题主要考查概率的意义，根据条件求出两种方案的平均损失程度是解决本题的关键．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（x﹣2）5的展开式为 x﹣2）5=x5﹣10x4+40x3﹣80x2+80x﹣32．

考点： 二项式系数的性质．
专题： 计算题；二项式定理．
分析： 按照二项式定理的展开式进行计算、化简即可．
解答： 解：（x﹣2）5=•x5+•x4•（﹣2）+•x3•（﹣2）2+•x2•（﹣2）3+•x•（﹣2）4+•（﹣2）5
=x5﹣10x4+40x3﹣80x2+80x﹣32．
故答案为：x5﹣10x4+40x3﹣80x2+80x﹣32．
点评： 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了计算能力，是基础题目．

14．（5分）=2n．

考点： 二项式定理．
专题： 二项式定理．
分析： 根据 +++…+=（1+1）n，可得结论．
解答： 解：+++…+=（1+1）n=2n，
故答案为：2n．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．

15．（5分）某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有14种排法．

考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 分两类，若第一节排数学，若第一节不排数学，根据分类计数原理即可得到答案．
解答： 解：若第一节排数学，有A33=6种方法，
若第一节不排数学，第一节有2种排法，最后一节有2种排法，中间两节任意排，2×2×2=8种方法，
根据分类计数原理，共有6+8=14种，
故答案为：14．
点评： 本题主要考查排列组合的计算问题，根据特殊元素的满足的条件，利用分类讨论是解决本题的关键．

16．（5分）设（2x﹣1）5的展开式中第k项的系数最大，则k=2．

考点： 二项式系数的性质．
专题： 二项式定理．
分析： 由题意可得最大值时，k只能取偶数0、2、4，分别计算对应的系数，比较大小即可．
解答： 解：由题意可得二项展开式为Tk+1=（2x）5﹣k（﹣1）k，
系数最大只能在k=0、2、4中选取，
当k=0时，可得系数为25=32；
当k=2时，可得系数为•23=80；
当k=4时，可得系数为•2=10；
∴当系数取最大值80时，k=2
故答案为：2
点评： 本题考查二项式系数，属基础题．

三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（17分）（1）5名同学排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
（2）“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数（如632），那么比666小的三位渐降数共有多少个？

考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： （1）利用间接法，先排没有限制的，再排除甲、乙两人相邻的；
（2）需要分类讨论，百位是6，5，4，3，2，根据加法原理可得答案．
解答： 解：（1）五名同学排成一排有种排法，
其中甲、乙两人相邻有种排法，
所以甲、乙两人不相邻的排法有120﹣48=72种排法．
（2）百位是6，十位是5比666小的渐降数有654，653，652，651，650共5个，
百位是6，十位是4比666小的渐降数有643，642，641，640共4个，
百位是6，十位是3比666小的渐降数有632，631，630共3个，
百位是6，十位是2比666小的渐降数有621，620共2个，
百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，
所以百位是6比666小的渐降数有1+2+3+4+5=15个，
同理：百位是5比666小的渐降数有1+2+3+4=10个，
百位是4比666小的渐降数有1+2+3=6个，
百位是3比666小的渐降数有1+2=3个，
百位是2比666小的渐降数有1个，
所以比666小的三位渐降数共有15+10+6+3+1=35个．
点评： 本题考查排列、组合的应用，关键是理解“渐降数”的含义，属于中档题

18．（17分）某校2014-2015学年高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，
（1）请列出X的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．

考点： 超几何分布；离散型随机变量及其分布列．
专题： 计算题．
分析： （1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．
（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．
解答： 解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，
随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．
．
∴所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
（2）由分布列可知至少选3名男生，
即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=．
点评： 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．

19．（18分）在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．
（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
专题： 概率与统计．
分析： （1）设事件A1表示甲选22题，A2表示甲选23题，A3表示甲选24题，B1表示乙选22题，B2表示乙选23题，B3表示乙选24题，则甲、乙两人选做同一题事件为A1B1+A2B2+A3B3，根据独立事件概率乘法公式，可得答案．
（2）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．结合5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，可计算出ξ的分布列及数学期望
解答： 解：（1）设事件A1表示甲选22题，A2表示甲选23题，A3表示甲选24题，
B1表示乙选22题，B2表示乙选23题，B3表示乙选24题，
则甲、乙两人选做同一题事件为A1B1+A2B2+A3B3，
且A1与B1，A2与B2，A3与B3相互独立，
所以…（4分）
（2）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
且5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，
∴，k=0，1，2，3，4，5
∴分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
∴…（12分）
点评： 此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．

20．（18分）应试教育下的2015届高三学生身体素质堪忧，教育部门对某市100名2015届高三学生的课外体育锻炼时间进行调查．他们的课外体育锻炼时间及相应的频数如下表：
运动时间
（单位：小时）
总人数 10 18 22 25 20 5
将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表：
课外体育不达标 课外体育达标 合计
男
女 10 55
合计
（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“课外体育达标”与性别有关？
附：，其中n=a+b+c+d．
参考数据 当Χ2≤2.706时，无充分证据判定变量A，B有关联，可以认为两变量无关联；
当Χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当Χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当Χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．

考点： 独立性检验的应用．
专题： 应用题；概率与统计．
分析： （1）由所给频数表知，在抽取的100人中，“课外体育达标”的学生有25人，从而可得2×2列联表；
（2）根据公式计算相关指数Χ2的观测值，比较临界值的大小，可判断按95%的可靠性要求，能否认为“课外体育达标”与性别有关．
解答： 解：（1）由所给频数表知，在抽取的100人中，“课外体育达标”的学生有25人，从而2×2列联表如下：
课外体育不达标 课外体育达标 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
（10分）
（2）（17分）（式子列对，计算错误扣3分）
因此没有95%的把握认为“课外体育达标”与性别有关．（18分）
点评： 本题考查了列联表及利用列联表进行独立性检验的思想方法，熟练掌握独立性检验的思想方法是解题的关键．

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