初中数学竞赛教程初一教师版.doc

初 中 数 学 竞 赛 教 程
第1讲 用字母表示数
在初中代数中指出：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或一个字母，象-1,0，a，x也是代数式。
上述定义中的“数”，是我们学过的数或指定的数，其中的“字母”，必须是用来“表示数的字母”，一般英语书上的字母不是代数式，因为在使用的场合没约定它代表数。
“用运算符号连接”，一般指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，当然也可以是按一定意义规定的运算。

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第2讲 图形关系的代数表示
有些数量关系表现为图形中的数量关系，如果能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相结合，抽象与直观相结合，对培养数学能力是非常重要的。
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第3讲由代数式展开的推理
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作为代数式基本功的训练，要学习一些利用代数式的运算展开的推理。
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第4讲 有理数的运算
有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到：
1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。
2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法的分配律也成立。
3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7=（-3）+（-7）。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷7=（-5）。

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第5讲 有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
（一）括号的使用　　
　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
1 计算：

（2）
　　 分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

　　注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．
2 计算下式的值：
　　211×555+445×789+555×789+211×445．
　　分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
　　解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
　　　　 　=211×(555+445)+(445+555)×789
　　　　 　=211×1000+1000×789
　　　　 　=1000×(211+789)
　　　　 　=1 000 000．
　　说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．
　　3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．
　　分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．
　　解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．
　　下面需对n的奇偶性进行讨论：
　　当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有：s=（-1）*n/2
　　当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有

　　4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
　　分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．
　　所以，所求最小非负数是1．
　　说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
　　（二）．用字母表示数
　　我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4
=1002-22．
　　这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
　　于是我们得到了一个重要的计算公式
(a+b)(a-b)=a2-b2 ①
　　这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．
　　5 计算 3001×2999的值．
　　解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．
　　6 计算 103×97×10 009的值．
　　解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．
　　7 计算：

　　　分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得
n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，
　　即原式分母的值是1，所以原式=24 690．
　　8 计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
　　分析 式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．
　　解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)
　　 　　　=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
　　　　　 =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……
　　　　 　=(232-1)(232+1)
　　　　　 =264-1．
　 9 计算：

　　分析 在前面的例题中，应用过公式
(a+b)(a-b)=a2-b2．
　　这个公式也可以反着使用，即
a2-b2=(a+b)(a-b)．
　　本题就是一个例子．

　　通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．
　 10 计算：　

我们用一个字母表示它以简化计算．

　　（三）．观察算式找规律
　　例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
　　分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为
　　90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)
　　　　+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)
　　　　+2+5+(-2)
　　=1800-1=1799，
　　平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
　　例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
　　分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．
　　解 用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+…+1997+1999． ①
　　再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+…+3+1． ②
　　将①，②两式左右分别相加，得
　　2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)
　　　=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)
　　　=2000×500．
　　从而有 S=500 000．
　　说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．
　　13 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
　　分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
　　解 设
S=1+5+52+…+599+5100， ①
　　所以
5S=5+52+53+…+5100+5101． ②
　　②—①得
4S=5101-1，

　　说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．
　　14 计算：

　　分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．
　　解 由于

　　所以

　　说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．　

第6讲 对称式
一.定义
1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,　y,　z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.
例如：　代数式x+y，　xy，　x3+y3+z3－3xyz,　　x5+y5+xy, 　 ，.　都是对称式.
　　其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.
2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,　y,　z循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.
例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b),　
2x2y+2y2z+2z2x,　，（xy+yz+zx）(，
.
都是轮换式.
显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.
二.性质
1. 含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.
2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.
例如：在含x,　y,　z的齐二次对称多项式中，
如果含有x2项，则必同时有y2,　z2两项；如含有xy项，则必同时有yz,　zx两项，且它们的系数，都分别相等.　故可以表示为：
　m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m,　n是常数.
3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.
例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b一项,　必有同型式b－c和
　c－a两项.
4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.
例如：∵x+y, xy都是对称式，
∴x+y＋xy，　（x+y）xy，　等也都是对称式.
∵xy+yz+zx和都是轮换式，
∴＋xy+yz+z，　（）（xy+yz+z）. 也都是轮换式..
1.计算：（xy+yz+zx）(－xyz(.
分析：∵（xy+yz+zx）(是关于x,y,z的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy分别乘以，，连同它的同型式一齐写下.
解：原式＝（）＋（z+x＋y）+(y+z+x)－()
　　　　　＝2x+2y+2z.
2、已知：a+b+c=0, 　abc≠0.
　求代数式　的值

　分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的
同型式.
解：∵＝＝，
∴＝－－－＝　－＝0.
3、计算：（a+b+c）3
分析：展开式是含字母　a,　b,　c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用
待定系数法.
4、解：设（a+b+c）3＝m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.
（m,　n,　p是待定系数）
　 令　a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得　m=1；
令　a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得　2m+2n=8；
令　a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.
解方程组　　得
∴（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.

第7讲 绝对值
  绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．
　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即

　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
　　结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．
　　1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；
　　(4)若｜a｜=b，则a=b；
　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；
　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．
　　解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．
　　(3)对．
　　(4)不对．当a≥0时成立．
　　(5)不对．当b＞0时成立．
　　(6)不对．当a＋b＞0时成立．
　　2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

　　解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．
　　再根据绝对值的概念，得
｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．
　　于是有
　　原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
　　 3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
　　分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
　　解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)
　　　　　 =｜3+｜3+x｜｜
　　　　　 =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)
　　　　　 =｜-x｜=-x．

　　解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．
　　(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；
　　(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；
　　(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；
　　(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．

　　说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．
　　5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
　　解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．
　　(1)当y=2时，x+y=-1；
　　(2)当y=-2时，x+y=-5．
　　所以x+y的值为-1或-5．
　　6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
　　解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是
　　 　 　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1， ①
　　或
　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②
　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，
　　所以
｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．

　　解 依相反数的意义有
｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．
　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即

　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得
2y=2002， y=1001，
　　所以

　　8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
　　分析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们

为三个部分(如图1－2所示)，即

　　这样我们就可以分类讨论化简了．

　　　　　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；

　　　　　　原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；

　　　　　 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
　　即

　　说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
　　9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
　　分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
　　解 有三个分界点：-3，1，-1．
　　(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．
　　(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．
　　(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．
　　(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．
　　综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．
　　10 设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．
　　分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
　　解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
　　因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：

　　所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．
　　11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
　　分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有
｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．
　　 故x应满足的条件是

　　此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．
　第8讲  求代数式的值
用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．
　　1 求下列代数式的值：

　　分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．

　　　　　　　　=0-4a3b2-a2b-5
　　　　　　　　=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5
　　　　　　　　=-16+2-5=-19．
　　(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2z[3x2y-(xyz-5x2z)]
　　　　　 =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)
　　　　 　=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)
　　　　　 =2xyz-2x2z
　　　　　 =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)
　　　　 　=12+6=18．
　　说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．
　　2 已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．
　　分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．
　　解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简
　　a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3
　 　　　 　=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3
　 　　　 　=-1．
　　说明 这是用代入消元法消去a化简求值的．
　　解法2 因为a-b=-1，所以
　　 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab
　　　　=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab
　　　　=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2
　　　　=-(-1)2=-1．
　　说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以
　　原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3
　　　　 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3
　　　　 =(-1)3=-1．
　　说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．
　　解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，
　　即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，
　　所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，　　即 a3-b3+3ab=-1．
　　说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．
　　解法 5
　　a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab
　　　　　　=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab
　　　　　　=(-1)3+3ab(-1)+3ab
　　　　　　=-1．
　　说明 这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a-b)2=a2-2ab+b2；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ；
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

　　解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以

　　解 因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．
　　将a，c代入所求代数式，化简得

　　解 因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有

　　由(2)得y+1=3，所以y=2．
　　下面先化简所求代数式，然后再代入求值．

　　　　=x2y+5m2x+10xy2
　　　　=52×2+0+10×5×22=250
　　 6 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．
　　分析 此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．
　　解 14a-2b=2(7a-b)
　　 　　　 =2[(4a+3a)+(-3b+2b)]
　　　　　　=2[(4a-3b)+(3a+2b)]
　　　　　　=2(7+19)=52．

　　｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．
　　分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，

据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．

　　原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)
　　　　 =-1-2+3+4+5=9．
　　说明 实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．
　　8 若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？
　　分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．

x=3k，y=4k，z=7k．
　　因为2x-y+z=18，　　所以2×3k-4k+7k=18，
　　所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．
　　例9 已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．
　　分析 本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．
　　解 设x+y=m，xy=n．
　　原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)
　　　 　=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n
　　　 　=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2
　　　 　=(n+1)2-2m(n+1)+m2
　　　 　=(n+1-m)2
　　　 　=(11×11+1-22)2
　　　 　=(121+1-22)2
　　　 　=1002=10000．
　　说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．

第9讲  一元一次方程
方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．
用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．
如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．
只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．
解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．
一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：

　　(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
　　(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．
1 解方程

　　解法1 从里到外逐级去括号．去小括号得

　　去中括号得

　　去大括号得

　　解法2 按照分配律由外及里去括号．去大括号得

化简为

　　去中括号得

　　去小括号得

　 2 已知下面两个方程3(x+2)=5x，①
4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②
有相同的解，试求a的值．
分析 本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．
　　解 由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有
4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，
7(a-3)-3(a-3)=18-12，

　　3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．
　　解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有
2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，

　　4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
　　分析 这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．
　　解 把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，
整理得 m(m+n)x=n(m+n)．

　　当m+n≠0，且m=0时，方程无解；
　　当m+n=0时，方程的解为一切实数．
　　说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．
　 5 解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．
　　分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．
　　解 将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，
　　 即 (a2-b2)x=(a-b)2．
　　(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解

　　(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．
　　6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．
　　解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以
m2-1=0，即m=±1．
　　(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为
199(1+4)(4-2×1)+1=1991；
　　(2)当m=-1时，原方程无解．
　　所以所求代数式的值为1991．
　　7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．
　　解 将原方程变形为2ax-a=3x-2，　　即 (2a-3)x=a-2．
　　由已知该方程无解，所以

　　8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？
　　来确定：
(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．
(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．
　　(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．
　　解 按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．
　　要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．
　　看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．
　　因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．
　　9 若abc=1，解方程

　　解 因为abc=1，所以原方程可变形为

　　化简整理为

　　化简整理为

　　说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．
　　例10 若a，b，c是正数，解方程

　　解法1 原方程两边乘以abc，得到方程
　　ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得
ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]
+ac[x-(a+b+c)]=0，
　　因此有
[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．
　　因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以
x-(a+b+c)=0，
　　即x=a+b+c为原方程的解．
　　解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到

　　其余两项做类似处理．
　　设m=a+b+c，则原方程变形为

　　所以　　　

　　即
x-(a+b+c)=0．
所以x=a+b+c为原方程的解．