数学史和数学教育.doc

数学史：从象牙塔到小学课堂
作者：小学数学特级教师  江苏省启东市教育局教研室   蔡宏圣
（资料来源：
摘要：  数学史走进小学数学课堂是一种必然。教师、学生、教学内容是课堂教学的三要素，数学史可以通过这三要素，给数学课堂注入数学的深刻和历史的厚重。数学史在小学课堂中的运用有链接式和融入式两种方式，由链接式到融入式需要教师进行艰辛的再创造。
关键词：数学史 小学数学 课堂教学
数学史之于数学教学的价值，早在19世纪就被一些西方数学家所认识。1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组，简称HPM。30多年来，随着HPM研究的不断深入，数学史和数学教学的结合已是一种国际数学课程改革的趋势。〔1〕在此趋势的演绎下，数学史走进小学数学课堂是一种必然。当今小学数学的教学实践中，倒也不是没有数学史的运用，一些优秀老师在上研究课或示范课时，往往在原先的教学设计之外，加一点数学史的知识，借以给课增加些文化色彩。这种方式是否充分展示了数学史的教育价值？是否还有数学史运用的更好方式？总之，数学史怎样走入小学数学课堂，已是理论演绎和实践反思双向互动中生成的迫切课题。
数学史外在于课堂教学要素的运用方式，我们不妨称之为数学史运用的“链接式”。 HPM的研究表明，数学史的教育价值在于激发学生学习兴趣，引导学生更好地理解数学，把握和了解数学家们的原始思想，感悟数学思想的魅力。但数学史运用的链接式，在原先的教学中简单地加入数学史实，虽然说是种很好的探索，但却不能取得这些教育功能，因此，其运用的机械生硬终究有时髦盲从的嫌疑。鉴于此，本文重点探讨数学史怎样内在于课堂教学的基本要素，成为数学文化的载体、数学课程的有机组成部分（数学史走进课堂的这种方式，我们称为“融入式”）。
一、课堂教学是师生为实现教学任务和目的，围绕教学内容，共同参与，通过对话、沟通和合作活动，产生交互影响，以动态生成的方式推进教学活动的过程。在此过程中，教师、学生、教学内容是不可缺失的三个基本要素，而至于教学方法、教学手段等课堂教学的构成元素，都派生于这三个基本要素间的互动。因此，下面我们重点讨论数学史之于这三个基本要素的价值。
（一）对于教师，数学史是调适数学观念的重要基础
关于教师在课堂教学中的地位和作用，我们有很多种提法，但无论怎样，我们都不可否认教师的价值引领作用。正由于教师在教学活动中发挥了主导作用，教师所具有的观点与信念，特别是关于“数学”以及由此派生出的关于“数学教学”的观念，对于数学教育就有着特别重要的影响。换言之，无论是有意识还是无意识，教师所具有的数学观念在很大程度上决定了他以什么样的方式从事数学教学活动。这正如英国数学教育家斯根普所言：“我们并不是在谈及关于同一数学的较好和不那么好的教法。只是在经过很长一段时期以后，我才认识到并非这样的情况。我先前总以为数学教师都在教同样的科目，只是一些人比另一些人教得好而已。但我现在认为在‘数学'这同一名词下所教的事实上是两个不同的学科。”〔2〕按照英国学者欧内斯特的观点，同样是数学，教师们对此的认识有以下三种迥异的看法：〔3〕动态、易谬主义的数学观：即认为数学是人类的一种创造性活动，从而，数学主要地就是一种探索活动。静态的、绝对主义的数学观：即指数学是无可怀疑的真理的集合，这些真理并得到了十分严密地组织。
工具主义的数学观：即把数学看成适用于各种不同场合的事实性结论、方法和技巧的简单汇集。
当然，一线教师的数学观念未必是自觉的、系统的理性认识，更多地是朴素的、零散的朦胧认识。但综合起来看，教师们更倾向于把数学看成是一个与逻辑有关的、有严谨体系的、关于图形和数量的精确运算的一门学科。〔4〕这种认识的形成主要来自于自身的数学学习经历和教学经验。
数学，在大多数人的记忆中，留下的印象是抽象和艰涩；在情感上，刻下的痕迹是枯燥和头痛。为什么会如此？以下两点是主要原因：
其一，数学要能广泛应用，就必须舍去情境、舍去个人化的理解，建立起统一的形式性与符号化，因而，使得数学变得越来越抽象，变得离直观越来越远。
其二，数学的学科特性是周密和严谨，缘于其公理化的要求。数学家在传播数学思想的时候，有个习惯，或者说在数学圈子的共识：要以充分一般的方式陈述结果，必须建立起一套有关定义和抽象概念的完整体系。这种要求大约在上世纪30年代的布尔巴基学派开始并加以固定的。〔5〕这就意味着，原始的例子必须舍去。
两点结合起来看，数学的抽象、严谨、周密只是一门数学分支成熟立说时的外衣，在其诞生之初，充满着浓郁的生活常识的痕迹，认识过程充满了曲折、猜测、直观，乃至错误和不可思议，并不是一副冷峻理性的样子。数学史认为，人类使用十进制乃是“一种生理上的凑巧”，①类似的史料在初等数学的发展过程中不在少数，它告诉我们，一个数学知识最原始的部分，既不神秘也不严谨，没有一点形式逻辑的印记，认识的提升恰恰带有浓重的按照生活事理逻辑自然衍生的痕迹，例如用算筹的不同颜色来区别正负数；源于连续量的分割，所以叫分数；最初的计量单位都和人身体上的器官有关，等等。
数学原来有两重性，即数学内容的形式性和数学发现的经验性。有了这样的认识，一个数学教师就会在数学的具体源头和抽象形式之间来回穿行，关注儿童们生活经验的现实，寻找数学知识的逻辑源头，领悟其间的数学过程和思想方法，于是，组织的数学教学顺应着生活事理的逻辑走向，孩子们的学习可以像呼吸一样自然和朴素。笔者曾经执教过“乘法的初步认识”，在引导孩子们认识了“相同加数的加法”后，要求学生解决问题“一张电脑桌上放在两台电脑，9张桌子上放着多少台电脑？”学生们马上列出了9个2相加的算式。但在写算式中，情不自禁地用了很多辅助性动作，有的一边数2的个数一边写算式；有的先一下子写了几个2相加，然后停下来数还缺几个2，接着再写。这些小动作说明了孩子们已经感受到了其写法的麻烦，在此基础上，要求孩子们思考能不能把算式写得简单些。不就是写简单吗？学生调动相关经验，写了3个、4个2相加，然后在算式后面加上了“……”、“等等”。“新写法写简单了，但看不出有9个2相加呀，哪怎么办？”孩子们把“……”、“等等”擦去，直接把算式圈了起来，外面标上“9个”。最后，要求学生思辨，新写法中能不能把“9个”写成“10个、15个”？能不能把“2”写成“6”或者其他数？至此，乘法的意义水到渠成。学生们由“加法”再创造出“乘法”并不是逻辑演绎的结果，而是依据生活经验和事理自然衍生的结果。②因此，一个认真研读数学史的教师，就可以自我调适建立在经验层面上零散的、片面的数学观念，虽然形成的先进数学观念也不系统，但在某一方面能更切合数学发展的本来面目。数学史起码提供了这样的视角，让我们看到了数学的深刻和抽象实际上孕育在具体和直观中，也许在课堂中我们看不到显性的、事实性的数学史实，但却能影响着一个教师的数学教育思想-----努力用浅显的情境去凸显数学思想的深刻内涵，使得数学教育具体中见深邃，浅显中见厚重，使得教学能焕发出思想的光芒、经典的力量。
（二）对于学生，数学史是把握思维历程的独特视角
走进儿童，读懂儿童是教育促进儿童发展的基本前提。就数学学习来说，读懂儿童不是泛化意义上追求对儿童的理解，而应突出地表现为细腻地、科学地对儿童在数学学习中思维活动做深入的了解和分析，大致把握儿童在数学学习中可能出现的困难。虽然，教学经验和访谈调查也能获取儿童如何学习某知识的大致情况，但笔者认为数学史在其中的独特价值是不可替代的。早在19世纪，德国生物学家海克尔（Haeckel E，1843-1919）就提出一个生物发生学的定律：一个个体的发育史会重蹈其种族的发展史。这运用在数学学习中，就是学生学习数学的认知过程与数学史的发展过程相似，特别是历史上数学家们所遇到的困难，正是学生们遇到的学习障碍，因而，著名数学史家M.克莱因（M.kline,1908-1992）提出“历史是教学的指南”。匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚（G. Polya,1887-1985）则指出，“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”
例如，拿认识负数来说，读懂儿童应该要思考如下的问题：在最初认识的时候，有哪些困难？难，难在哪里？使用负数到接纳负数，那是两个不同的认识阶段。那接纳负数，意味着在理性认识上要建构起哪些认识？人类完成了一次认识的跨越之后，回顾头来看往往认为那是理所当然的事情，因此，作为教师要准确把握学生在初次学习中的学习障碍就有难度，而历史上数学家们在当初认识提升的过程中，留下的困惑和挫折却为我们了解此问题提供了独特的不可替代的视角。在数学史上，把负数称为“荒谬的数”、“虚假的数”的人不在少数，其中不乏当时的大数学家。是什么阻碍着数学家们在理性上接纳负数？德国数学家斯蒂菲尔（M.Stifel，1487-1567）在《整数算术》中称从零中减去一个大于零的数，得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。请注意，他在这里认为负数荒谬的原因是“小于一无所有”。换言之，其内在的逻辑是 1表示一件物体，2表示两件物体……，0表示什么都没有，“什么都没有”就到了尽头了，而负数比零还要小，比“什么都没有”还要少，这怎么可能呢？可见构建负数的理性认识，困难之处不在于概念本身的高度抽象性，而在于人怎么跨越和扩展自己的已有认识。从现代数学数系扩展的理论看，每引入一种新数都要符合数系扩展的一系列公理原则，但这是后话。人类最初要在数学上接纳负数，碰到的首要问题是：怎么把负数和0的意义沟通起来！这可以从多个数学家的困惑中进一步窥见，例如帕斯卡认为：从0减去4纯粹是胡说！笛卡尔也认为负数是“不合理的数”，19世纪英国数学家弗伦德认为“只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人”才“谈论比没有还要小的数”。 〔6〕可见，认识负数的教学，一定要在具体经验的层面上引导学生体会负数和0的关系，抓住了这点，负数的意义才能和学生认知结构中已有的数系沟通起来，才能达到数学理解的层次。
关注数学历史中人类认识的挫折和失败，可以据此琢磨人类认识提升所经历的阶段，其中走过的弯路、碰到的认知障碍等等，为准确把握学生学习的思维历程提供另一种可能。这样做，带来的另一个好处是，数学在孩子们的心目中变得了温情起来：数学家们原来在历史上也遇到过失败和挫折，数学上的点滴发展原来都是迷雾中摸索前行的结果。事实上，数学史的确传递着这样的信息：数学不过是人类的一种文化活动，人人可学，人人可做，尽管并非人人都有数学家的才能。学生们能体会到这些，将会获得顽强地深究问题的勇气，不会因为自己的所思所感一时还模糊而产生学习焦虑和失败感。这些对于学生们的数学学习来说，同样是很有价值的。
（三）对于教学内容，数学史是厘清数学本质的厚实背景
课堂教学中的“教”与“学”无论是怎样的互动关系，都是围绕着教学内容展开的。在哲学层面上，有这样的数学教育规律：问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。〔7〕研究所教内容的数学本质，是数学教学的永恒话题。
如前所述，课堂中我们所接触到的数学知识体系，是经过精心组织的公理化的结果，已经和其历史过程割裂开来。但一个数学概念，作为人类千百年思维抽象的结晶，仅仅看它的最终形式化表述，普通人就很难深入把握其确切的本质意义。而不能把握所学知识的数学本质，那也就失去了数学学科的立足根基。抽象的数学概念只有放在历史背景中，和抽象活动的历史过程结合起来，才能变简练为丰富、变艰涩为生动，才能较完整地呈现出其经验性和演绎性二重统一的本质，进而才能更容易被后来的学习者调动起全部的经验积累来支撑其建构概念的全部含义。因而，英国数学家阿蒂亚爵士说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。最重要的信息却常常包括在容易的部分，甚至在几个简单且深刻的观察之上！〔5〕例如，“用字母表示数”在教材配套的教师用书中，对其重要作用表述为这是人类认识的一次飞跃，但教师实际上很难理解其真正的意义。反而有教师认为，用字母表示数是因为不知道这个数是多少。原来在小学数学知识体系中，字母的运用主要是在解方程中用来表示未知量。可见，脱离了某知识的历史背景，就看不清它的来龙去脉，自然也就无从体会其数学本质。而放在历史的长河中，才体会到方程的解答最早是古阿拉伯数学家花拉子米用文辞叙述的，之后是古希腊数学家丢番图用字母的缩写表示的，直到17世纪才由法国数学家韦达不仅用字母表示未知量，而且用字母表示系数，从而实现了人类认识的跨越，打开了近代代数学的大门。换言之，用字母表示数的实质是符号化，绝不是用字母替代某数量。由此，教学“用字母表示数”的要义显然在于让学生理解，一个已知的量为什么还要用字母表示，理解了这点才能实现学生认识由具体向形式化的飞跃。③实际上，不仅仅是“用字母表示数”，数学中战略性概念的建构，其背后都闪烁着数学思想的熠熠光芒，都是数学认识上的一次重大突破，脱离了历史背景，要深刻把握其内涵都不是易事。
综上所述，数学史可以内在于课堂教学的要素中，成为数学课程的组成部分，润物无声般地进入课堂，使数学课堂折射出数学的深刻和历史的厚重。
二、应该说，数学史运用的链接式和融入式虽然在层次上有区别，但相互间并不对立排斥。从我国广大一线数学教师的数学史修养的现实看，链接式的运用还是必由的一个阶段，但是我们不能因为这个原因而放弃探索数学史运用的更好方式，因为其教育价值终究有限。更何况，小学数学中引入数学史不是为了数学史的教学，而是为了数学的教学。从这个意义上说，数学史对于数学教学来说，还只是重新应用和思维加工的材料。一个教师知道了一段数学史实，他设计的教学能有多大的创新性和发展性，取决于他在研读数学史中的再创造程度。这其中的策略有：
（一）基于数学教育，即数学史的研读要确立为了数学教学的价值取向
同样研究数学史，为了历史和为了教学这是两种完全不同的价值取向。我们现在所看到的绝大多数数学史，立论之基都是为了历史，所以更关注史实的真伪，所研究的内容也更多地是数学发展史上重要的数学事件、数学人物。而为了教学的数学史研读，是为了站在历史的高度，厘清知识的来龙去脉、数学思想的演进走向，更好地把握住所教数学知识的知性本质，以求得我们的数学教育能注入深刻和厚重。所以，为了教学的数学史研读，是立足于现实中的“人”而去关注历史中的“人”和“事”。要通过历史上不同数学事件的比较，提炼数学思想发展的规律，不断优化自己的数学观念；要透过某知识历史演进的脉络，提炼出人类认识逐步提升的顺序；要善于抓住历史的表象，立足于认识论的角度多些追问（例如数的认识过程都是漫长的，但人类认识负数为什么比起认识自然数和分数来得更为曲折和艰难？），以及透过历史上人类认识曾经走过的弯路、数学家们的挫折和困惑，提炼出人类认知某知识的障碍；要立足于“给孩子们正确的数学观念和良好的学习情感”的视角，捕捉有教育意义的历史故事和历史事件。研读所依据的材料不是原始的数学史料和文物，而是各种版次的数学史著作；研读方法上要围绕同一个事件，研读不同版本的数学史，从不同的数学史著作中丰富此数学事件的内涵，更要参考数学史上数学家的传记等资料，通过历史上典型个体的思维过程的细述，用多种资料相互考证和补充，从而“复原”古人的数学思想方法和思维提升历程。
数学教师在教学中运用数学史的困难，不仅仅在于数学史的研究成果不能直接用于数学教学，还有一个重要原因是一线教师可以占有的数学史料有限。小学数学中的绝大多数知识点，按照数学史界的说法，大都是数学的萌芽期（公元前600年以前）和初等数学时期（公元前600年到17世纪中叶）的内容，由于时间久远，流传下来的数学原始文物有限，因此有关的研究不够深入。其二，许多知识点形成的专题史往往被纯数学史家所忽略，很少完整地见于一般的数学通史著作。为此，在缺乏资料的情况下，不妨运用“逻辑推演”的方式对某知识发展的历史过程作出解释。一方面可以站在现代数学的高度，对古人数学思考和方法的走向进行数理分析，以合情推理来把残缺的历史资料统合起来；另一方面，可以依据数学发生发展的规律，对某知识的形成作出解释。上文“乘法的初步认识”的案例中，逐步把连加算式写简便的过程，根本无法从数学史中获取，但依据萌芽时期的数学源于生活常识、生活事理的特点，作出了那样的猜测，进而设计在教学中。当然，这种逻辑推演出的历史过程，对于数学史来说没有多大意义，但对于数学教学来说却是有启示的。
（二）宽于数学史实，即数学史的考察要和其它数学教育理论结合在一起
数学史的研读，开辟了设计数学教学的另一种视角，它并不排斥数学教育的其他理论。从历史上看，算术、代数、几何、三角和微积分都不是通过操作形式化的符号而产生的，任何一门学科最初都是通过直观的方法建立起来的，数学家大都也是直观地思考问题，然后才用演绎的形式，用文字、数学符号和形式逻辑来表述他的论点。所以，数学家庞加莱说：“没有直观性，年轻人在数学科学的理解上就不会有一个开端；他们就不能学会热爱它；他们将在其中看到一个空洞的字谜游戏；没有直观性，他们将永不会应用数学。”数学教育心理研究侧重于解剖教学情境中学生的内部认识过程，无独偶有，它得到的研究结论是：数学学习时，一个定义可以把一个数学概念从其他知识系统中凸显出来，但孩子们的内心世界往往不是按照定义的方式来理解的，他们更多地按照先前眼睛看到的，尔后积累在脑海中的先前经验来给所学的抽象概念加以编码的。实际上，“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号”，总是运用模糊的表象进行思考。〔8〕数学史所揭示的数学思想发展历程，其最终可以归结为数学家们的思维发生、发展的过程，因而，数学发展的本质和数学教育心理等其他数学教育理论所揭示的认知发展规律是相通的。也正是这样的原因，HPM研究才得以能够立足并不断深入。所以，为了数学教学的数学史研读，不能被局限在数学史的圈子里，要用宽于数学史的视野来读数学史，这样才能更善于从数学史中汲取教学的启示，更好地获取人类认识提升的过程和细节，把握学习过程中可能存在的学习困难。前文所说为了数学教学的数学史研读，可以运用逻辑推演的方法来获得人类认知提升的细节。逻辑推演所依托的一方面是数学科学本身的逻辑，另一方面就是数学教育心理学等数学教育理论。例如，人类在认识负数中的认知障碍，没有原始的历史文献来说明就是因为被囿于0的基本意义，从数学家们认为负数荒谬的说法中，结合人认知过程中的负迁移之说，我们才大致作出了这样的判断。
（三）融于教学现实，即数学史的运用要和教学的现实状况融通在一起
不仅研读和考察数学史是个再创造的过程，找到的即使是很精彩的数学史料，要用在课堂中还有个再取舍和再加工的过程。因为从历史中汲取的教学素材和启示，只不过提供了数学教学的另一种可能，能否成为现实的课堂，还应该切合教学的现实状况----课程标准的实际要求、这一内容的教科书编写要义、学生可能的接受水平等，即在数学史和教学现实状况间应该达成一种平衡，以顺应课堂教学的特点。课堂教学中运用数学史，不是完全再现历史历程，而是再现数学发展进程中的经典瞬间，让学生接受数学思想的洗礼。为此，荷兰著名数学教育家弗莱登塔尔说：“孩子应该重复人类的学习过程，但并非按照它的实际发生过程，而是假定人们在过去就知道更多的我们现在所知道的东西，那情况会怎么发生。”〔9〕因此，这其中重要的是符号化而不是符号本身，是语言描述而不是语言本身，是定义化而不是定义本身，如此等等。就像在“乘法的初步认识”中，学生只要自己体会到了新写法只要写清楚相同加数和它的个数那就是难能可贵的，而不必苛求学生还需独立地提出“乘法”的名称和“乘号”的符号。就笔者的体会而言，数学史也只有和教学现实融合在一起，才能明晰课堂教学的整体思路，不然教学就会迷失在浩瀚的数学史料中，失去应有的教学目标。例如“用字母表示数”，考察数学史知道了代数学发展经历了“文辞代数、缩写代数、符号代数”三个历史阶段，而且对于符号意义上用字母表示数的价值，也只有在另两个历史时期的比照中才能体会得更加真切，那怎么浅显地让学生感受到这点呢？笔者仔细分析了学生已有的字母运用的各种经验，发现他们以往的经验主要是用字母来表示特定的意义，例如CCTV用来表示中央电视台，S表示面积，ml表示毫升等，而且还有一种固有的认识，往往认为不知道一个数量到底是多少才用字母替代。由此，“用字母表示数”的教学何去何从就很清晰了，通过教学要让学生认识到现在可以用字母表示一定范围里变化着的数，而且不是因为未知才用字母表示，而是这样的数太多了，所以才用字母来概括这些数。③
尽管数学史不是解决一切数学教育问题的灵丹妙药，但它对于数学教育的促进作用已成大家共识。数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史，而数学教育的高境界是数学思想的感悟和熏陶，因而，数学教育无疑能从数学史中汲取更丰富的养分，数学史也完全能够促使数学教育变得更加丰富。在更为一般的意义上，数学教育不是数学与教育的简单叠加，我们需要在上位的教育学、心理学理论的演绎下，来考量数学教育的问题，但一般教育理论具有普适性的同时并不具备学科的针对性，因此，我们更应该从数学的视界----数学科学本体的、数学哲学的、数学史的、数学学习心理的，通过这些视界来引领数学教育走向深入和彰显学科特质。

聚焦小学数学（一）小学生应学什么样的数学
■策划：赵小雅 华应龙 贲友林
编者按小学数学是数学学习的基础。如何认识小学生学习的数学？如何破解新课程带来的一些新课题？本期特刊，我们把目光聚焦于小学数学，并试图梳理出新课程改革以来，小学数学课程实施面临的10个突出问题。这些问题涉及小学数学的本质与价值、学生的学习方式、教师的教学方式、教师成长等方面。同时，我们还约请了小学数学领域的专家和一些有经验的教师参与其中，希望以此为那些正在实践道路上执著前行的人们带来一些新启示。敬请关注。
孙晓天 小学数学要注重长远与长效
　　从整体上把握小学数学，着眼点很多。要想理出头绪、抓住重点，“放眼长远、注重长效”最重要。
放眼长远是核心
　　长远是就目标而言。无论一个人长大以后在不在数学领域内学习或工作，通过数学学习习得的解决问题策略、思维方式、思想方法及运用工具的能力都将发挥重要作用。小学数学课程虽然与高考、就业一类的目标相距尚远，但却是整个基础教育数学课程最重要的部分。因此，小学数学教育应当具有立足长远、放眼长远的功能。
　　然而，现实情况不容乐观。应试教育的负面作用挥之不去，以缺少节制的“又对、又快、又准”为标志的评价体系，仍在压抑着学生本应生机勃勃的活力。数学多半只在考试中露峥嵘，生活里看不到，工作中用不上，一旦不用考了便会就此再见。这样的数学谈何长远？
　　毫无疑问，数学大有用场。但数学教育有没有长远眼光将取决于：我们是不是为孩子提供了培育兴趣、应用、应变、自信、求实、责任、想象和创造的环境。我们是不是摆脱了题型教育、考试教育的束缚，是不是给过孩子自己足够的空间，让他们能够独立地去想一想、试一试，而不是完全按照老师的理解，或是书本上的某个模式去照抄照搬。这些都关乎学生“终身学习的愿望和能力”。
　　数学教育是数学的教育，离不开作为科学的数学。不少前辈一再强调，学数学就要坐得住冷板凳，就要经得起枯燥和抽象的考验。这对专业数学工作者毋庸置疑，但将这样的主张贯之于小学则基本是谬误。板着面孔、与枯燥寂寞相伴的数学难以走进孩子的心灵。
注重长效是关键
　　小学数学的长远目标能否落实，关键是要为长效提供支撑。
　　有效教学是小学数学教育研究特别热衷的课题。有效教学指教学的结果与预期的教学目标匹配程度高。需要注意的是，“有效”有长、短之分。简单地说，管长远、能一生受用的效果就是长效；管眼前、管特殊技能形成的就是短效。依时间考量，长效要长期积累，难于一蹴而就；短效可立竿见影，易在一节课内形成。同时，眼前和长远相互依托，缺一不可。
　　那短效与长效之间的关系是怎样的呢？一方面，没有一次次短效的磨炼和积累，长效难以形成；另一方面，某些需要通过高强度、高密度训练才能记住并掌握的定义、定理、公式、算法，注定在人们心里留存的时间不会太久。白天学过的内容，晚上没带书可能就想不起来。然而，探索、发现这些定义、定理、公式和算法的过程中形成的积淀，运用这些定义、定理、公式和算法解决实际问题的经验和体会倒可能会长远留存。这样的经历多了，积累也就多了，不经意间，往往形成了一些相对稳定的与数学有关的见解，或者说是思路。这些都能长久地驻留在学生心中，并能在一生的学习、生活和职业生涯中派上用场，成为个人发展的重要支撑点。因此，漠视“探索发现那些定义、定理、公式和算法的过程”的数学教学，收获的多半是短效，而得来得快、忘得也快的教学大体上是无效的。
　　因此，短效虽然易得，但长效更是关键，短效要为长效服务，要以长效为目标。一方面把“过程与方法”、“情感、态度与价值观”实实在在地纳入有效教学的视野。同时，对以密集型、机械性、速率式、硬指标为特征的教学策略要有个清醒的认识。
练就注重长效的“独门功夫”
　　举“测量”为例。当学生认识了角之后，面对形形色色、五花八门的角，比较大小的问题随之浮出水面，测量成为定量认识角的主题，包括单位和实测两层含义。一是“单位”，也就是大家都认可的度量单位。小学阶段“单位”的重心在理解和具体感受单位的实际意义，像掂一掂500克一袋的盐、摸一摸0.4平方米的桌面有多大，量量自己有多高，等等。这些看上去没什么“数学味儿”的举动，都是感受和理解单位时不可或缺的尝试。更重要的是，单位本身是规定的结果。公度的必要性和规定性源自人类通过不同途径，长期摸索之后形成的共识，是人类的共同语言。对学生来说，这里有很大的讨论、活动和探索空间。在教学上下点功夫，能帮助学生认识单位的标准作用和平台作用，懂得个别和一般的关系，知道如何在估计与精确之间作出选择，逐步认识到数学为什么需要抽象，等等，而这些都有助于学生接近和发现数学的本质，都与长效联系在一起。二是“量”，即如何实测的问题。教学的重心应当从学生自己的经验出发，从“真刀真枪”的问题开始，通过鼓励学生使用自创的工具和单位，逐步导向规范的工具和单位，引导学生多角度摸索测量的方法，逐步从不那么正规的测量单位和方法一步步接近直至能够达到科学的测量。测量课应当是用一连串的“为什么”串起来的“发现”课，每个结论的得出都应当伴随着学生自己的发现、归纳与整理。学生不仅要知道如何量，还要知道量的方法从哪里来，知道书本上的测量对象和生活中的测量对象的关系，知道测量的意义。
　　如果小学阶段仅仅把测量处理成照本宣科的技能教学，只是采取多快好省、照抄照搬、纸上谈兵的方式灌输和训练，就可能浪费了这一题材的教育价值。如果因为测量不是考试中的重头戏而在教学上敷衍了事，结果就更可怕。学生对数学越来越明显地敬而远之，学习数学的目的越来越趋于实际，多半与此有关。
　　小学阶段的测量，不是单纯的技能培养与训练，而是一块为学生探索与发现准备的沃土。它提供给学生通过自己的眼和手去发现与认识世界的机会，它能自然地沟通过程与结果之间的联系，能把学生探索的目光从书本、教室引向生活、社会，能为学生提供实实在在的动手机会，让他们“真刀真枪”地解决几个真正的问题。不仅是测量，小学数学课程中的许多技能，多半会随着儿童的成长淡淡隐去，而伴随着一连串“为什么”发现的规律、道理和方法倒有可能长久留存，成为伴随学生一生的本领。
　　放眼长远、注重长效能否在教学中得到体现，关系到新课程推进的质量。当前数学教学中哪些是要改的，哪些是值得留的，哪些是该适可而止的，哪些是该着力推进的，这一切都将建基于教师的见识和视野，决定着新课程的主张能否践行。
　　（作者为中央民族大学教授，《义务教育数学课程标准》研制组负责人之一）
　　《中国教育报》2009年2月13日第5版

吴正宪 让儿童享受"好吃又有营养"的数学
　　儿童学习数学时面临的最大问题在于，他们感受不到数学学习的快乐。我们常常以成人的眼光审视严谨、系统的数学，并以自己多年来习惯了的方式将数学“成人化”地呈现在孩子们的面前，对孩子的奇思妙想、异想天开并不在意，还忽视了儿童的心理特点和已有的数学活动经验。
　　让小学生学有趣的数学
　　小学生的年龄特点和心理特征决定了他们的学习行为要由兴趣主导。虽然数学常常以抽象概括的方式进行形式化的表达，但小学数学教学不应该照本宣科，不应该是仅就“学术状态”的数学学习，而应该是“教育状态”下的数学学习。应该让抽象的数学变得鲜活有趣、充满活力。
　　让小学生学与生活联系的数学
　　数学知识对小学生来说，在一定程度上是一种“旧知识”。小学生在经历的生活中已经有过数学应用的体验，数学学习是对有关数学现象的重新认识，是在原有认知基础上的总结与升华。
　　教学中，教师要善于创造与生活实际有联系的数学情境。例如，学生在学习“年、月、日”之前，就已经知道“我今年过生日到明年过生日正好是一年”、“爸爸这个月领工资到下个月再领工资正好是一个月”。这是多好的解读！他们把十分抽象的时间观念，通过自己的生活经验“物化”出来。上学之前的活动与经历使学生获得了数量和几何形体最初步的观念，虽然这些概念或观念可能是非正规的、不系统的、不严格的，甚至还可能是错误的，但却为正规学习数学奠定了重要的基础。这些学前积累下来的生活经历，会在小学阶段的数学学习中被“重新解读”。学生以身边熟悉的现实生活为桥梁，逐步学会数学地思考，发现和得出数学的结论。同时，他们还将感受数学知识的产生和发展过程，体验数学在实际生活中的价值，从而更加热爱数学学习。
　　让小学生学能听得懂的数学
　　对于学习者而言，最大的痛苦莫过于“听不懂，学不会，还得被强迫着听，强迫着学”。教师要让小学生能听得懂数学，一是要让数学学习内容贴近儿童实际，让教学方法符合学生的认知规律；二是要把数学变得简单些、容易些、朴实些。简单些，就是用“熟悉的”去解释“陌生的”，用“具体的”去理解“抽象的”。容易些，就是把人为制造的难点降下来，减少整齐划一、千篇一律的统一要求，充分关注学生个性化的学习需求。朴实些，就是不要刻意追求课堂的尽善尽美，鼓励学生用原生态的，甚至是有些粗糙的语言诠释自己对数学意义的理解。
　　让小学生学不太严格的数学
　　“三十六计，背为上计。”一些小学生常常在教师的示意下强记自己不理解的数学概念，这一现象触发了我的思考。我赞成这样的理念，即“严格的不理解，不如不严格的理解”。教师不要急于把严格的数学概念一字不差地呈现给尚未具有严格思维的小学生，不能认为不从严密的概念定义出发就不能有效地进行思考。张奠宙教授就提出“充分运用直觉学习数学，是数学学习，特别是小学数学学习的一条准则。”小学数学不要过于强调对某些数学文字的表面理解，而应力求引导学生感悟数学的本质，鼓励学生用自己的数学语言尝试诠释对数学意义的真正理解，从而把握住数学的魂。
　　让小学生学动手做的数学
　　实践证明，学生的思维是在有效的数学活动中发生、发展的。学生在亲自参与实践活动中不断地积累活动经验，提升观察、试验、猜测、验证及推理概括的能力，从而理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，以达到发展思维的目的。比如，在学习“三角形内角和”时，先要通过度量不同类型的三角形内角度数，并分别计算出它们的和，初步感知到它们的内角和是180度。在此基础上，用实验的方法加以验证。在具体操作上，可以把一个三角形的三个角剪下来，拼成一个平角来加以验证，也可以通过折一折等实验操作活动，归纳出三角形内角和为180度。动手操作不仅是为了满足好奇心，提高学习兴趣，也可以促进儿童的思维，由感知到表象再到抽象的发展。
　　让小学生学数形结合的数学
　　依据小学生的年龄特点和学习规律，数形结合的数学解读是小学生需要且有效的数学学习策略。数形结合，即引导小学生充分利用直观的“形”把抽象的数学概念、数量关系形象具体地表示出来。通过一些看得见、摸得着的树形图、集合图、线段图等帮助小学生理解数学概念，理清数量关系，使复杂的数学问题直观化。教师特别要鼓励学生用自己创造的图形方法解释数学，用原汁原味的构思、丰富多彩的图画、独特的视角，展示儿童富有创造的思维过程。
　　（作者为北京市教科院基教研中心小学数学教研室主任，特级教师）
　　《中国教育报》2009年2月13日第5版

李铁安 让教学散发出迷人的文化品格
　　教科书上和教师教学中呈现的数学，以至社会舆论传播的数学，往往给人以抽象、晦涩、深奥的灰色形象和负面记忆。新课程的实施似乎使这种态势有所改变，但另一番景象也许更令人担忧：在新颖奇特的“问题情境”、百媚千红的“生活现实”、声色并茂的“多媒体辅助”背后，更多的是数学本质的遗失，是数学素养的走样，是数学文化品格的缺位。
　　小学数学教育的原点——数学的文化品格
　　尽管数学具有得天独厚的工具品格——数学的知识和方法渗透并应用于自然科学和社会科学的许多领域，但数学更散发着一种耐人寻味的文化品格。
　　数学的文化品格是个体以“数学化”的观念和数学创新意识为核心，自觉地求真、尚善、创美的一种文化精神。它具体表现为数学活动中的崇高信念、审美直觉、深邃洞察力、理性思维、高尚情感等精神特质。对数学教育而言，数学的文化品格是比数学的工具品格更上位的价值追求，也是数学教育的原点。
　　小学数学教育的逻辑起点——数学文化品格的启蒙
　　为让儿童学习终身受益的数学，小学数学教育的第一意蕴应该回归原点——对儿童进行数学文化品格的启蒙。
　　数学文化品格首先是对数学的好奇心、强烈的数学学习兴趣和牢固的数学信念，这是学习数学和创造数学的原动力。数学的文化品格也是一种不断生成、不断累积并富有持久生机的默会知识。对儿童的一生来说，学过的数学知识也许会渐渐淡忘，但数学的文化品格却会以其看不见的神奇力量默默地伴随他们一生。数学是不断累积的科学，小学生学习的数学几乎是数学文化长河的源头，富含最原生态的数学文化品格。
　　小学数学教育的逻辑框架——用数学思想来统领教学
　　数学思想是数学家解决数学问题的基本观点和根本想法，是活生生的数学灵魂。数学思想对数学所有知识和方法具有统摄性，而每一种数学文化品格都可以通过数学知识和数学思想来表征。
　　小学数学课程目标中所涉及的诸如数感、符号意识、运算能力、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、综合与实践能力等，对这些或表现为一种知识或表现为一种能力的内容的学习，都有相应的数学思想来统领。以数学思想统摄小学数学教育，不仅可以积累儿童的数学知识和数学活动经验，还能够有效提升儿童的数学创造能力，从而实现统领数学知识的学习和塑造数学文化品格的双效功能。
　　数学思想统摄的逻辑路径——数学家精神还原
　　突出数学思想在小学数学教育中的统摄地位，也就是将真正的数学思想真实地呈现给儿童，需要为数学思想找到得以有效展开的渠道或载体。其中，一个有效的逻辑路径就是对数学家的精神进行还原，即追寻数学家的精神踪迹，让儿童真正经历数学化和数学再创造的过程。
　　数学史中有一个脍炙人口的故事。高斯在少年时做一道算术题：1+2+3+4+……+97+98+99+100=？高斯迅速算出了正确结果等于5050。相信没有哪位小学数学教师不向学生讲这个故事。那么，我们该如何向学生讲这个故事？
　　首先，模拟还原高斯的思维历程：不能直接一个个相加求和吧？这太繁琐了。老师也不是想让我们这样算吧？那么，有没有简便算法呢？一定有简便算法！这些数字是否有特征？正看，后一个数都比前一个数多1。逆看，前一个数都比后一个数少1。如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加，其和都等于101。这样共有50组：1+100=2+99=3+98=4+97=5+96=……=50+51=101。所以，总和就应该是：101×50=5050。