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九年级数学复习
第二十一章 一元二次方程
考点一：一元二次方程的概念
1.一元二次方程：等号两边都是整式，只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 的方程叫一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式： ，其中， 叫二次项系数， 叫一次项系数， 叫常数项。
3.一元二次方程的根：是方程左右两边相等的 的值叫这个一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。
考点二：一元二次方程的解法
1.直接开平方法
2.配方法
3.公式法 求根公式为： .
4.因式分解法
考点三：根的判别式及其应用
1.一元二次方程 根的判别式
（1） >0 ≒方程有两个不相等的实数根
（2） =0 ≒方程有两个相等的实数根；
（3） <0 ≒方程无实数根。
2.一元二次方程根的判别式的应用
（1）不解方程，判断根的情况
（2）根据根的情况，确定解析式中系数的取值范围
（3）应用判别式判断一元二次方程实际问题中的可能性问题。
考点四：一元二次方程的应用
1.列一元二次方程的步骤：审---设----列----解----验----答
2.几种常见的一元二次方程的应用问题
（1）增长率问题
（2）面积类问题
（3）疾病传播类问题
（4）球赛类问题
（5）利润类问题
（一）吃透真题
1.一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
2．(2015·滨州，5，3分]用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为 ( )
A． B． C． D．
3．对于任意实数，关于的方程的根的情况为 ( )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是 ( )
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的一个根是=1，则另一个根是 ( )
A．3 B．一l C．一3 D．一2
6．一元二次方程的解为 ．
7.方程的根是 ．
8.若是关于的方程的一个根，则的值为 ．
9．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空。
解：设应邀请支球队参赛，则每队共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 ；根据题意，可列出方程 。
整理，得 。
合乎实际意义的解为 。
答：应邀请 支球队参赛。
10.观察下列方程及其解的特征：
（1）的解为
（2）的解为
（3）的解为
…
解答下列问题：(1)请猜想：方程的解为 .
（2）请猜想：关于的方程的解为
（二）方法聚焦
方法1.一元二次方程的相关概念
例1:已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ，
的值是 .
方法2.一元二次方程根的判别式
方法3.一元二次方程的解法
例2： 嘉淇同学用配方法推导一元二次方程(a≠0)的求根公式时，对于>0的情况，她是这样做的：

(1)嘉淇的解法从第     步开始出现错误；事实上，当>0时，方程 (a≠0)的求根公式是              。
（2）用配方法解方程：

方法4.一元二次方程的应用
例4：小丽为校合唱队购买某种服裟时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加l件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装?
（三）实战演练
一、选择题
1.一元二次方程的根是（ ）
A．一l B．0 C．1和2 D．-l和2
2．下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A． B．
C． D．
3.一元二次方程的根是：
A． B． C． D．
4.已知一元二次方程，则该方程根的情况是 （ )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．无实数根
5．某县大力推进义务教育均衡发展．加强学校标准化建设．计划用3年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年全县政府投资5亿人民币．若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7．2亿元人民币，那么每年投资的增长率( )
A.20％ B．40％ C.-220％ D．30％
二、填空题
6.若关于的一元二次方程为 (a≠0)的解是=1，则2015-a-b = ．
7.关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
8.已知：关于的方程的一个根是=1，那么= .
9.一个容器盛满纯药液40 L，一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 。
10.已知：关于的方程
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求的值
11.如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．

第二十二章 二次函数
考点一：二次函数的概念及表示方法
1.二次函数的概念
一般地，形如 的函数，叫二次函数，其中是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数， ， ，
2.二次函数的两种形式
（1）一般式：
（2）顶点式：
考点二：二次函数的图像和性质
1.形如的图像和性质

的图像
开口方向
对称轴
顶点
最值
增减性

a>0

a<0

2.形如的图像和性质

的图像
开口方向
对称轴
顶点
最值
增减性

a>0

a<0

3. 形如的图像和性质

的图像
开口方向
对称轴
顶点
最值
增减性

a>0

a<0

考点三：二次函数解析式的确定
待定系数法（顶点式？一般式？）
考点四：二次函数图像的平移
1.平移的步骤
（1）将解析式转化为顶点式，，再按照要求平移（如何配方转化？）
（2）大小形状不变，顶点发生改变
2. 平移规律
考点五：二次函数的应用
1. 与的关系
（1）判断与轴的交点情况
（2）与互相转化
2.二次函数的实际应用（求最值---实际问题要考虑自变量的取值范围）
（1）利润问题
（2）面积问题
（3）拱桥类问题、隧道类、弹道曲线类（如何建立平面直角坐标系？）
（4）中考中，以综合题出现，以压轴题出现

（一）、吃透真题
1.如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于C点，且对称轴为=1，点B坐标为(-1，O)．则下面的四个结论：①
②③④当时，或.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.抛物线与坐标轴的交点个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3．抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正
确的是 ( )
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
4．一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．
为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件．请确定该T恤涨价后每周销售利润y(元)与销售单价（元）之间的函数关系式，并求销售单价定位多少元时，每周的销售利润最大？
5.根据下列要求，解答相关问题.
(1)请补全以下求不等式的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数；并在下面的坐标系中(见图1)画出二次函数的图象(只画出图象即可)．
②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ；并用锯齿线标示出函数图象中≥O的部分．

③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ．
(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式的解集．
①构造函数，画出图象：
②求得界点，标示所需：
③借助图象，写出解集： ，
(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于的不等式的解集．
6．已知二次函数
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
(2)求函数图象与轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．

7.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽为何值时，抽屉的体积最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-2，-4)，
0(0，0)，B(2，O)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

9.如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的
顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上且点A到水平面的距离AC=4米。点B到水平面距离为2米，0C=8米
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数解拼式；
（2）为了美观，现需在水平线OC上找一点P．用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P?
(无需证明)
(3)为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点0、P之间的距离是多少?(请写出求解过程)

10.如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛
物线恰好经过轴上A、B两点．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位．

11.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300
件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
(1)若设每件降价元、每星期售出商品的利润为y元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当降价多少元时，每星期的利润最大?最大利润是多少?
(3)请画出上述函数的大致图象.

（二）方法聚焦
方法一：二次函数的图像和性质
例1：已知二次函数 (a≠O)的图象如图，则下列说法：①C=0；②该抛物线的对称轴是直线；③当时，；
④其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4

方法二：二次函数图像的平移
例2：要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是 ( )
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位

方法三：二次函数的实际应用
例3：某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60％，此时该种商品每星期可卖出220件，市场调查发现：在八折销售的基础上，该种商品每降价l元，每星期可多卖20件．设每件商品降价元(为整数)，每星期的利润为元．
(1)求该种商品每件的进价为多少元；
(2)当售价为多少时，每星期的利润最大?
(3)2015年2月该种商品每星期的售价均为每件m元，若2015年2月的利润超过了24000元，请直接写出m的取值范围．

例4：如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m’，到地面0A的距离为m．
(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么这两排灯的水平距离最小是多少米？

方法4：二次函数与一次函数或几何等的应用
例5：如图l，已知抛物线经过A(一3，O)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线，与轴交于点H．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
(3)如图2，若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，过点E作平行于轴的直线交抛物线于点F，交轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积
为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值?若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（三）实战演练
一、选择题
1.下列函数中是二次函数的有
① ② ③ ④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如果抛物线的顶点到轴的距离是3，那么c的值等于（ ）
A.8 B．14 C．8或14 D．-8或-14
3．已知，在同一直角坐标系中，函数与的图像有可能是（ ）

4.如图，观察二次函数的图像，下列结论①
②③④⑤其中正确的是
A.①②⑤ B.①④ C．②③⑤ D．③④⑤
5.用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm2
6．已知二次函数，当 时，随的增大而减小．
7．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的
拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 .

三、解答题
8.如图，抛物线交轴于点A(1，O)，交轴于点B，对称轴是=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为元．
(1)请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量
是 件；(直接写出结果)
(2)设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少?
10.设函数（是常数）
(1)当取1和2时的函数和的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当取0时的函数的图象；
(2)根据图象，写出你发现的一条结论；
(3)将函数的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数的图象，求函数的最小值.

第二十六章 反比例函数
考点1：反比例函数的概念
反比例函数：形如 ）的函数叫反比例函数，其中为反比例函数的系数。
考点2：反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图像：的图像是 .其中图像及时中心对称图像，对称中心是 ，也是轴对称图形，其对称轴是 。
2.反比例函数的图形和性质

3. 的几何意义
过反比例函数图象上任意两点P，Q，分别作两坐标轴的垂线PA，PB，QC，QD，垂足分别为点A，B，C，D，则四边形PAOB，QCOD为矩形，
S矩形PAOB= S矩形QCOD= . S△PAO= S△QCO= .

考点3：确定反比例函数的解析式
1.确定反比例函数解析式的方法仍是以待定系数法为主．由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对，的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其函数解析式．
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：
(1)设所求的反比例函数解析式为；
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代人解析式，得到关于待定系数k的方程；
(3)解方程求出待定系数k的值；
(4)把求得的走值代回所设的函数解析式
2.已知反比例函数图像上的点与坐标轴围城的矩形（或直角三角形）的面积时，则可利用k的几何意义求值，从而确定其解析式。
考点4：反比例函数的应用
1.反比例函数与一次函数、几何图形的结合
(1)反比例函数与一次函数及几何图形的综合题一般以求反比例函数与一次函数图象的交点坐标为着眼点，求点坐标的常用方法为：结台图形、图象性质得到函数解析式，再联立方程组求解，一般情况下会得到两个点坐标，再根据题目要求找密符合条件的坐标．
(2)在平面直角坐标系中求三角形面积时通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标（或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴（或与坐标轴平行的线）将其分割后求解。
2.反比例函数的实际应用
(1)根据题意找出自变量与因变量之间的乘积关系，然后建立反比例函数模型；
(2)设出函数解析式；
(3)依题意求解函数解析式及有关问题．
（一）吃透真题
1.如图，在轴的上方，直角∠BOA绕原点0按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为 ( )
A．逐渐变小 B．逐渐变大
C．时大时小D．保持不变

2．下列函数中，图象经过原点的是
A． B． C． D．
3．若点A(1，y1)、B(2，y1)都在反比例函数的图像上，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
4.如图，P为反比例函数的图象上一点，PA⊥轴于点A，△PA0的面积为6，下面各点中也在这个反比例函数图象上的点是 ( )
A.（ 2，3) B.(一2，6) C.(2，6) D．(一2，3)
5．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则的值为 .
6.下列函数：①；②；③；④；⑤；
⑥中，是的反比例函数的有 (填序号)
7．若点A(m，一2)在反比例函数的图象上，则当函数值y≥-2时，自变量的取值范围是 .
8．已知点A是反比例函数图象上的一点，若AB垂直于轴，垂足为B，则△AOB的面积= .
（二）考法聚焦
考法1：反比例函数的定义
例1：若是反比例函数，则的取值为（ ）
A．1 B．-l C．±l D．任意实数
考法2：反比例函数图象与性质
例2：已知反比例函数，当1<<3时，y的取值范围是（ ）
A．O<<1 B.1<<2 C．2<<6 D．>6
例3：若点(，)，(，)，(，)都是反比例函数的图象上的点，并且＜0＜＜,则下列各式正确的是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
考法3：反比例函数比例系数的几何意义
例4：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(n，4)和点B，AM⊥轴，垂足为M，若△AMB的面积为8，则满足>的实数的取值范围
是 .
例5：已知反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M。分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为( )
A．1 B．2 C．3 D.4
（三）实战演练
一、选择题
1.下列各点中，在函数的图象上的有（ ）
A.(-2，4) B．(2，4) C．(-2，-4) D.(8，1)
2.反比例函数的图象位于
A.第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
3.若函数是反比例函数，则m的值为
A．m=-2 8．m=-l C．m=2或1 D．m=-2或-l
4.如图是反比例函数的图象，则一次函数的图象大致是( )

5.如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作AM上轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值是（ ）
A．2 B．m-2 C．m D．4
二、填空题
6.反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是 .
7.如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向两坐标轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2= ．
三、解答题
8.如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为(0，2)，0A=OB，B是线段AC的中点．
(1)求点A的坐标及一次函数解析式．
(2)求点C的坐标及反比例函数的解析式．

9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 (a，b为常数，且a≠0)与反比例函数 (m为常数，且m≠0)的图象交于点A(-2，1)，B(1，n)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接0A、OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当y1<y2<0时，自变量的取值
范围．

第二十三章 旋转
考点1：旋转
1.旋转的概念：在平面内，把一个图形绕一个定点0沿某个方向转动某个角度，这样的图形运动称为旋转．定点0叫做 ，旋转的角叫做 ，
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的 ．
2．旋转的性质
(1)旋转前、后的图形 ；
(2)对应点到旋转中心的距离 ；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ．
3．中心对称与中心对称图形
(1)中心对称的概念：把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这一点成 ，这个点叫对称中心。 (2)中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是 ；②关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过 ，并且被对称中线所平分；
③关于中心对称的两个图形，对应线段 (或者在同一直线上)且 ．
(3)中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形，这个点叫做对称中心，这个图形的对应点叫做关于对称中心的对称点.
(4)中心对称图形的性质：中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心 .
（一）吃透真题

1.如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°。到DC′处，连接A C′，B C′，CC′．写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．

（二）实战演练
一、选择题
1.下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C′使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．150°

三、解答题
1.如图，在直角坐标系中，A(0，4)，C(3，0)．
(1)①画出线段AC关于轴对称线段AB；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥轴，请画出线段CD；
(2)若直线平分(1)中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．

第二十五章 概率
考点1：事件的分类
1.确定事件： 事件和 事件都是确定事件.在一定的条件下，必然会发生的事件，是必然事件；在一定的条件下，一定不会发生的事件，是不可能事件．
2．随机事件：事件可分为 事件和 事件．不确定事件又称为随机事件，即在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
考点2：列举法求简单事件的概率
1.概率：表示一个事件发生的 大小的数，叫做该事件的概率．事件A发生的概率记作P(A)．必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，随机事件A的概率为0<P(A)<1．
2．在一次试验中，有行种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，则事件A发生的概率P(A)= ．
3．几何概率：一个试验涉及的图形面积为S，事件A发生时涉及的面积为S′，则P(A) ，即．
4．频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率．
考点3：用列表法或树状图法求概率
1．列表法
(1)概念：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
(2)列表法的适用：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用列表法.
2．树状图法
(1)概念：通过树状图列出某事件的所有等可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
(2)树状图法的适用：①当一次试验要涉及两个因素求概率时，可以用 ，也可以用 ；②当一次试验要涉及 的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用树状图法．
（一）吃透真题
1．若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为 ( )
A． B． C． D．
2．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 ( )
A． B． c． D．1
3．从编号为l到1 0的1 0张卡片中任取1张，所得编号是3的倍数的概率为
A． B. C. D.
4.用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排成的三位数是偶数的概率为 .
5.某电视台在2010年春季举办的青年歌手大奖赛活动中，得奖选手由观众
发短信投票产生，并对发短信者进行抽奖活动，一万条短信为一个开奖组，设一等奖l名，二等奖3名，三等奖6名．王小林同学发了一条短信，那
么他获奖的概率是 ．
6．在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为l，2，3，4．小明和小强采取了不同的摸取方法，分别是：小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机地摸取一个小球，记下标号；小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机地摸取一个小球，记下标号．
(1)用画树状图(或列表法)分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；
(2)分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率．

7．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上数字-l，0，1，2，随机的摸出一个小球记录数字然后放回，再随机的摸出一个小球记录数字．求下列事件的概率：
(1)两次都是正数的概率P(A)；
(2)两次的数字和等于0的概率P(B)．

8.儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和若干白球(每个球除颜色外，其他都相同)的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个世博会吉祥物海宝玩具，已知参加这种游戏的儿童有40000人次．公园游戏场发放海宝玩具8000个．
(1)求参加此次活动得到海宝玩具的频率?
(2)请你估计袋中白球的数量接近多少个?

考法1：直接列举求简单事件的概率
例1：某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为 ( )
A． B. C. D.
考法2：列表法或树状图法求简单事件的概率
例2：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果三
种可能性大小相同，求经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率？
考法3：用频率估计概率
例3：4件同型号的产品有1件不合格和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取l件进行检测，求抽到的是不合格产品的概率。
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
(3)在这4件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取l件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格
品的频率稳定在0.95，则可以推算出的值大约是多少？
（三）实战演练
一、选择题
1.下列说法中正确的是 ( )
A．“打开电视机，正在播《动物世界》”是必然事件
B．某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为三分之一
D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收人水平，宜采用抽样调查
2.下列事件为必然事件的是( )
A．如果a，b是实数，那么倪a·b=b·a
B．抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上
C．汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯
D．口袋中装有3个红球，从中随机摸出一球，这个球是白球
3．一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是 ( )
A． B． C． D．1
4．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
5．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
6.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是 .
7．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中
任取一点C，使△ABC为直角三角形的
概率是 ．

三、解答题
8．小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字l，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，若和为奇数，则小明胜，若和为偶数，则小亮胜．
(1)用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况．
(2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由。

第二十四章 圆
第一部分 圆的有关性质
考点1：圆的有关概念
1．圆的定义
(1)形成性定义：在一个平面内．线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A 所乡成的图形叫做圆，其固定的端点O做 ，线段OA叫做 ．
(2)集合性定义：在同一平面上到定点的距离等于 的点的集合叫做圆．
2．同心圆与等圆：圆心相同的圆叫做 ；半径相等的圆叫做 ．
3．弦与弧：连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过 的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧分为 、
和 类．
4．圆心角：顶点在 的角叫做圆心角．
5．圆周角：顶点在 ，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
考点2：圆的有关性质
1.圆的确定： 的三点确定一个圆。
2.圆的对称性： (1)圆是轴对称图形，任何一条 所在的直线是圆的对称轴；(2)圆是中心对称图形，对称中心是 .
3．垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的 ．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是 )的直径 于弦，并且平分弦所对的 .
4．圆心角、弧、弦之间的关系
(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
(2)推论：在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，弧
的度数等于它所对的圆心角的度数．
5．圆周角定理及推论
(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ．
(2)圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ．
6．圆内接四边形
(1)圆内接四边形：四个顶点均在 的四边形叫做圆内接四边形．
(2)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 ；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内