人教版高中数学《三角函数》全部教案2.pdf

1三角函数三角函数三角函数三角函数第一教时第一教时第一教时第一教时教材：教材：角的概念的推广目的目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。过程：过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广1回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3“正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。记法：角或可以简记成4由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1角有正负之分如：如：如：如：=210=210=210=210 =150150150150 =660660660660 2角可以任意大实例：体操动作：旋转 2 周（3602=720）3 周（3603=1080）3还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：例如：例如：例如：30303030 390390390390 330330330330 是第是第是第是第象限角象限角象限角象限角300300300300 60606060 是第是第是第是第象限角象限角象限角象限角585585585585 1180118011801180 是第是第是第是第象限角象限角象限角象限角 2000200020002000 是第是第是第是第象限角象限角象限角象限角等等等等2四、关于终边相同的角1观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同2终边相同的角都可以表示成一个 0到 360的角与)(Zkk个周角的和390=30+360)1(=k330=30360)1(=k30=30+0360)0(=k1470=30+4360)4(=k1770=305360)5(=k3所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合ZkkS+=,360|即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和4例一（P5 略）五、小结：1角的概念的推广用“旋转”定义角角的范围的扩大2“象限角”与“终边相同的角”第二教时第二教时第二教时第二教时教材：教材：弧度制目的目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念。过程：过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制角度制的定义。二、提出课题：弧度制另一种度量角的单位制它的单位是 rad 读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。如图：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad1正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0orC2rad1radrl=2roAAB32角的弧度数的绝对值rl=（l为弧长，r为半径）3用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算抓住：360=2rad180=rad 1=radrad01745.0180185730.571801=rad例一把3067化成弧度解：解：解：解：=21673067radrad8321671803067=例二把rad53化成度解：解：解：解：1081805353=rad注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”中学数学用表 进行；2今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3 表示 3radsin表示rad 角的正弦3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本 P9表）4应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。例三用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合2终边在y轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解：1终边在x轴上的角的集合ZkkS=,|12终边在y轴上的角的集合+=ZkkS,2|23终边在坐标轴上的角的集合=ZkkS,2|34第三教时第三教时第三教时第三教时教材：教材：弧度制（续）目的目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。过程：过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。口答 教学与测试 P101-102 练习题 15并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲 P101 例二二、由公式：=rl=rl比相应的公式180rnl=简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积例一（课本 P10 例三）利用弧度制证明扇形面积公式lRS21=其中l是扇形弧长，R是圆的半径。证：证：证：证：如图：圆心角为 1rad 的扇形面积为：221R弧长为l的扇形圆心角为radRllRRRlS21212=比较这与扇形面积公式3602RnS=扇要简单例二教学与测试P101 例一直径为 20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长34165解：解：解：解：cmr10=：)(3401034cmrl=：radrad1211)(165180165=)(655101211cml=例三如图，已知扇形AOB的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。解：解：解：解：设扇形的半径为 r，弧长为l，则有=+22162lrrllr 扇形的面积2)(221cmrlS=例四计算4sin5.1tanoRSloAB5解：解：解：解：454=2245sin4sin=578595.855.130.571.5rad=12.145785tan5.1tan=例五将下列各角化成 0 到2的角加上)(2Zkk的形式319315解：解：解：解：63319+=2436045315=例六求图中公路弯道处弧 AB 的长l（精确到 1m）图中长度单位为：m解：解：解：解：360=)(471514.3453mRl=三、练习：P116、7 教学与测试P102练习 6四、作业：课本 P11-12练习 8、9、10P12-13习题 4.2514教学与测试P1027、8 及思考题第四教时第四教时第四教时第四教时教材：教材：任意角的三角函数（定义）目的：目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同名三角函数值相等的道理。过程：过程：一、提出课题：讲解定义：1设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）则 P 与原点的距离02222+=+=yxyxr（图示见 P13 略）2比值ry叫做的正弦记作：ry=sin比值rx叫做的余弦记作：rx=cos比值xy叫做的正切记作：xy=tanR=45606比值yx叫做的余切记作：yx=cot比值xr叫做的正割记作：xr=sec比值yr叫做的余割记作：yr=csc注意突出几个问题：角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明）三角函数是以“比值”为函数值的函数0r，而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究）定义域：tancossin=yyy)(2ZkkRR+cscseccot=yyy)()(2)(ZkkZkkZkk+二、例一 已知的终边经过点 P(2,3)，求的六个三角函数值解：解：解：解：13)3(2,3,222=+=ryxsin=13133cos=13132tan=23cot=32sec=213csc=313例二求下列各角的六个三角函数值 0 232解：解：解：解：的解答见 P16-17xoyP(2,-3)7 当=2时ryx=,0sin2=1cos2=0tan2不存在cot2=0sec2不存在csc2=1例三教学与测试P103 例一 求函数xxxxytantancoscos+=的值域解：解：解：解：定义域：cosx0 x 的终边不在 x 轴上又tanx0 x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时，0,0yxcosx=|cosx|tanx=|tanx|y=2,0,0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=2,0,00,0aar5=则 sin=53cos=542sin+cos=52若0 xOM 看作与 x 轴同向OM 具有正值 x若054sintan32cot54例二利用单位圆寻找适合下列条件的 0到 360的角1sin212tan33解：解：解：解：12301503090或 210270例三求证：若2021时，则 sin1sin2证明：证明：证明：证明：分别作1,2的正弦线 x 的终边不在 x 轴上sin1=M1P1sin2=M2P22021M1P1M2P2即 sin13sin2x21第七教时第七教时第七教时第七教时教材：教材：三角函数的值在各象限的符号目的目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。过程：过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题然后师生共同操作：1第一象限：0,0.yxsin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：0,0.0,cos0,tan0,cot0,sec0第三象限：0,0.yxsin0,cos0,cot0,sec0,csc0第四象限：0,0.yxsin0,tan0,cot0,csc0tan0sin)2()1(证：证：证：证：必要性：若是第三象限角，则必有 sin0充分性：若 两式成立若 sin0，则角的终边可能位于第一或第三象限 都成立角的终边只能位于第三象限角为第三象限角例三（P19 例五略）四、练习：1若三角形的两内角，满足 sincos0，则此三角形必为（B B B B）A：锐角三角形B：钝角三角形C：直角三角形D：以上三种情况都可能2若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（B B B B）A：sin+cos0B：tansin0C：coscot0D：cotcsc03已知是第三象限角且02cos，问2是第几象限角？解：解：解：解：2)12()12(+kk)(Zk114322+kk)(Zk则2是第二或第四象限角又02cos则2是第二或第三象限角2必为第二象限角4已知1212sin，则为第几象限角？解：解：解：解：由1212sin02k22k+)(Zkk k+2为第一或第三象限角五、小结：符号法则，诱导公式六、作业：课本 P19练习 4,5,6P20-21 习题 4.36-10第八教时第八教时第八教时第八教时教材：教材：同角三角函数的基本关系目的目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行三角函数式的求值运算。过程：过程：一、复习任意角的三角函数的定义：计算下列各式的值：90cos90sin.122+30cos30sin.222+45cot45tan.323cos3sin.443cos43sin.565cot65tan.6二、1导入新课：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）引导猜想：1cossin22=+=tancossin1cottan=2理论证明：（采用定义）1cottan,23tancossin)(221cossincos,sin122222=+=+=+=+yxxykkxyxrryrxryZkkrxryryx时且当时，当且123 推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：1tansec22=1cotcsc22=tancossin这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：=cotsincos1cottan=这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：1sincsc=1cossec=4点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。5注意：1“同角”的概念与角的表达形式无关，如：13cos3sin22=+2tan2cos2sin=2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。三、例题：例一、（课本 P25例一）略注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。例二、（课本 P25例二）略注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。例三、（课本 P25例三）略实际上：1tansec22+=即+=22tan11cos+=为第二、三象限角当为第一、四象限角当22tan11tan11cos而=costansin+=为第二、三象限角当为第一、四象限角当22tan1tantan1tancos四、小结：三种关系，八个公式五、作业：P27练习14P2728习题 441413第九教时第九教时第九教时第九教时教材：教材：同角三角函数的基本关系(2)求值目的：目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧。过程：过程：二、复习同角的三角函数的基本关系：练习：已知的其他三角函数值。求=),1,0(cosmmm解：若在第一、二象限，则22221cot1tan11csc1sin1secmmmmmmm=若在第三、四象限，则22221cot1tan11csc1sin1secmmmmmmm=六、例一、（见 P25例四）化简：440sin12解：原式80cos80cos80sin1)80360(sin1222=+=例二、已知=cos2sin，求的值。及+cossin2sincos2sin5cos4sin2解：2tancos2sin=611222tan54tancos2sin5cos4sin=+=+5614241tantan2tancossincossin2sincossin2sin222222=+=+=+=+强调（指出）技巧：强调（指出）技巧：1 1 1 1 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式2 2 2 2 “化化 1 1 1 1 法法”例三、已知33cossin=+，求的值。及+cossincottan解：将33cossin=+两边平方，得：31cossin=143cossin1cottan=+35321cossin21)cos(sin2=+=315cossin=例四、已知,1225cottan=+cossin,cottan,cottan,cottan3322求解：由题设：,2144625cottan22=[phone]cottan=144175)127(1225)cot)(tancot(tancottan22=+=172848251441931225)1144337(1225)cottancot)(tancot(tancottan2233=+=[phone]cossin21cossin=+=+=+(2512cossin1225cossin1cottan=+)例五、已知)0(51cossin=+，求的值。及33cossintan解：1由),2(0cos,0,2512cossin=得：由57cossin,2549)cos(sin2=得：联立：34tan53cos54sin57cossin51cossin=[phone]()54(cossin3333=例 六、已 知是第四象限角，+=+=,53cos,524sinmmmm求的值。tan15解：sin2+cos2=11)53()524(22=+mmmm化简，整理得：8,00)8(21=mmmm当m=0 时，是第四象限角不合）与，=(53cos,54sin当m=8 时，512tan135cos,1312sin=，七、小结：几个技巧八、作业：课课练P12例题推荐1、2、3P13课时练习6、7、8、9、10P14例题推荐1精编P3514第十教时第十教时第十教时第十教时教材：教材：同角三角函数的基本关系(3)证明教学与测试第 50 课目的：目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。过程：过程：三、复习同角的三角函数的基本关系：例：（练习、教学与测试P25 例一）已知45cossin=，求的值。cossin解：1625)cos(sin2=即：1625cossin21=329cossin=九、提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）例一、（见 P25例四）化简：440sin12解：原式80cos80cos80sin1)80360(sin1222=+=例二、已知+sin1sin1sin1sin1是第三象限角，化简（教学与测试例二）解：)sin1)(sin1()sin1)(sin1()sin1)(sin1()sin1)(sin1(+=原式|cos|sin1|cos|sin1sin1)sin1(sin1)sin1(2222+=+=0cos是第三象限角，=+=tan2cossin1cossin1原式（注意象限、符号）16例三、求证：+=cossin1sin1cos（课本 P26例 5）证一：+=+=+=22cos)sin1(cossin1)sin1(cos)sin1)(sin1()sin1(cos左边右边=+=cossin1等式成立（利用平方关系）证二：0cos,0sin1cossin1)sin1)(sin1(22=+且+=cossin1sin1cos（利用比例关系）证三：=+=+cos)sin1()sin1(coscos)sin1()sin1)(sin1(coscossin1sin1cos2220cos)sin1(coscos22=+=cossin1sin1cos（作差）例三、已知方程0)13(22=+mxx的两根分别是 cossin，求的值。+tan1coscot1sin（教学与测试 例三）解：+=+=cossincossincossinsincoscoscossinsin2222原式213+=由韦达定理知：原式（化弦法）例四、已知2222,tansec,tansecdcbacdbdca+=+=+=求证：证：由题设：+=+=)2(tansec)1(tanseccdbdca2222222222tan)(sec)()2()1(dcdcba+=+：+=+222222sec)(sec)(dcba2222dcba+=+例五、消去式子中的+=+=)2(cottan)1(cossinyx：17解：由)3(21cossincossin21)1(22=+=xx：由)4(1cossincossin1sincoscossin)2(yy=+=：12)4()3(2=xy：代入将（平方消去法）例六、（备用）已知=2cos,tan3tan,sin2sin求解：由题设：=22sin4sin=22tan9tan/：=22cos4cos9+：4cos9sin22=+4cos9cos122=+83cos2=十、小结：几种技巧十一、作业：课本 P27练习5，6，P28习题 4.48，9教学与测试P1064，5，6，7，8，思考题第十一教时第十一教时第十一教时第十一教时教材教材：诱导公式（1）360k+,180,180+,360,目的目的：要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。过程：过程：一、诱导公式的含义：任意角的三角函数0到 360角的三角函数锐角三角函数二、诱导公式1公式 1：（复习）2对于任一 0到 360的角，有四种可能（其中为不大于 90的非负角）sin(360k+)=sin,cos(360k+)=cos.tan(360k+)=tg,cot(360k+)=ctg.18+=为第四象限角），当为第三象限角），当为第二象限角），当为第一象限角，当36027036027018018018090180)900（以下设为任意角）3公式 2：设的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则 180+终边与单位圆交于点 P(-x,-y)sin(180+)=sin,cos(180+)=cos.tan(180+)=tg,cot(180+)=ctg.sec(180+)=sec,csc(180+)=csc4公式 3：如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：sin()=sin,cos()=cos.tan()=tan,cot()=cot.sec()=sec,csc()=csc5公式 4：sin(180)=sin180+()=sin()=sin,cos(180)=cos180+()=cos()=cos,同理可得：sin(180)=sin,cos(180)=cos.tan(180)=tan,cot(180)=cot.sec(180)=sec,csc(180)=csc6公式 5：sin(360)=sin,cos(360)=cos.tan(360)=tan,cot(360)=cot.sec(360)=sec,csc(360)=csc三、小结：360k+,180,180+,360,的三角函数值等于的同名三角函数值再加上一个把看成锐角时原函数值的符号四、例题：P2930例一、例二、例三P3132例四、例五、例六略五、作业：P30练习xyoP(x,-y)P(x,y)MxyoP(x,y)P(-x,-y)19P32练习P33习题 4.5第十二教时第十二教时第十二教时第十二教时教材：教材：诱导公式（2）90k ,270,目的目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。过程：过程：三、复习诱导公式一至五：练习：1 已知)900tan()180sin()180cot()540tan()720cos()180sin(,31)3sin(+=+求解：31sin,sin)sin()3sin(=+=+31sin)180tan(sin)180cot(tancossin=+=原式2已知的值。求)65cos(,33)6cos(=+解：33)6cos()65(cos)65cos(=+=四、诱导公式1公式 6：（复习）2公式 7：如图，可证：则sin(90+)=MP=OM=coscos(90+)=OM=PM=MP=sin从而：或证：sin(90+)=sin180(90)=sin(90)=coscos(90+)=cos180(90)=sin(90)=cos3公式 8：sin(270)=sin180+(90)=sin(90)=cos（其余类似可得，学生自己完成）sin(90)=cos,cos(90)=sin.tan(90)=cot,cot(90)=tan.sec(90)=csc,csc(90)=xyoPP(x,y)MMMsin(90+)=cos,cos(90+)=sin.tan(90+)=cot,cot(90+)=tan.sec(90+)=csc,csc(90+)=sin(270)=cos,cos(270)=sin.tan(270)=cot,cot(270)=tan.sec(270)=csc,csc(270)=secsin(270+)=cos,cos(270+)=sin.tan(270+)=cot,cot(270+)=tan.sec(270+)=csc,csc(270+)=sec204公式 9：（学生证明）三、小结：90,270 的三角函数值等于的余函数的值，前面再加上一个把看成锐角时原函数值的符号六、例一、)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(+=+kkk求证：证：=+=sincoscossincottansincos左边=+=sincoscossinsincoscossin右边左边=右边等式成立例二、的值。求)4(cos)4(cos22+解：1)4(cos)4(sin)4(cos)4(2cos2222=+=+=原式例三、)2sin(,1)sin(31sin+=+=求，已知解：)(221)sin(Zkk+=+=+从而：31sin)4sin()22(2sin)2sin(=+=+=+kk例四、)(sin,17cos)(cosxfxxf求若=解：)90(17cos)90cos()(sinxxfxf=xx17sin)1790cos()17903604cos(=+=七、作业：1.)(cos),(,)14sin()(sinxfRxZnxnxf求已知+=2.)3(,)cos()180(cos223)90sin()360(sincos2)(223+=ff求设课课练P1617课时 9例题推荐13练习610第十三教时第十三教时第十三教时第十三教时教材：教材：诱导公式(3)综合练习目的：目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。过程：过程：四、复习：诱导公式十二、例一、（教学与测试例一）计算：sin315sin(480)+cos(330)21解：原式=sin(36045)+sin(360+120)+cos(360+30)=sin45+sin60+cos30=223小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“”公式化为正角的三角函数2用“2k+”公式化为0，2角的三角函数3用“”或“2 ”公式化为锐角的三角函数例二、已知的值。，求)65cos(33)6cos(=+（教学与测试例三）解：33)6cos()65(cos)65cos(=+=小结：此类角变换应熟悉例三、求证：Zkkkkk=+,1)1cos()1sin()cos()cos(证：若k是偶数，即k=2n(nZ)则：1)cos(sincossin)(2cos)(2sin)2cos()2cos(=+=nnnn左边若k是奇数，即k=2n+1(nZ)则：1cossin)cos(sin)1(2cos)1(2sin)(2cos)(2cos=+=nnnn左边原式成立小结：注意讨论例四、已知方程 sin(3)=2cos(4)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(+的值。（精编 38 例五）解：sin(3)=2cos(4)sin(3 )=2cos(4 )sin()=2cos()sin=2cos且 cos 043cos4cos3cos2cos2cos5cos2sincos2cos5sin=+=+=原式例五、已知的值。求)cos(1,cos|)cos(|,)tan(2+=a（精编P40例八）解：由题设：0cos,cos|cos|,0tan2=即a由此：当 a 0 时，tan 0,cos 0,为第二象限角，22421tan1seccos1a+=+=原式当 a=0 时，tan=0,=k,cos=1，0coscos=1,)0(11cos14=+=aa原式综上所述：21)cos(1a+=+例六、若关于x的方程 2cos2(+x)sinx+a=0 有实根，求实数a的取值范围。解：原方程变形为：2cos2x sinx+a=0即 2 2sin2x sinx+a=0817)41(sin22sinsin222+=+=xxxa 1sinx181741sinmin=ax时，当；11sinmax=ax时，当a的取值范围是1,817十三、作业：教学与测试P10858，思考题课课练P464723，25，26第十三教时第十三教时第十三教时第十三教时教材：教材：单元复习目的目的：复习整节内容，使其逐渐形成熟练技巧,为继续学习以后的内容打下基础。过程：过程：五、复习：梳理整节内容：十四、处理教学与测试P109第 52 课略1“基础训练题”142例题133口答练习题1，2十五、处理课课练P20第 11课1“例题推荐”13注意采用讲练结合2口答“课时练习”14十六、备用例题：精编P4041例九，例十一a)已知 sin()cos(+)=42(0)，求 sin(+)+cos(2 )预备概念角 的概 念的 扩弧度制任 意角 三角 函两套基本公式同角的三角函数关诱导公式23的值解：sin()cos(+)=42即：sin +cos =42又0421，04320,cos0令a=sin(+)+cos(2 )=sin+cos则a0由得：2sincos=87430cossin21=ab)已知 2sin()cos(+)=1(0)，求 cos(2 )+sin(+)的值解：将已知条件化简得：2sin +cos =1设 cos(2 )+sin(+)=a,则a=cos sin 联立得：)21(31cos),1(31sinaa+=sin2+cos2=11)441(91)21(9122=+aaaa5a2+2a 7=0,解之得：a1=57,a2=1(舍去)(否则 sin=0,与 00，cos=13120可能在一、二象限，在一、四象限若、均在第一象限，则 cos=54，sin=135cos()=656313553131254=+若 在 第 一 象 限，在 四 象 限，则 cos =54，sin =135cos()=6533)135(53131254=+若 在 第 二 象 限，在 一 象 限，则 cos =54，sin =13525cos()=6533135531312)54(=+若 在 第 二 象 限，在 四 象 限，则 cos =54，sin =135cos()=6563)135(531312)54(=+五、小结：距离公式，两角和与差的余弦六、作业：P38-39练习 2 中(3)(4)3 中(2)(3)5 中(2)(4)P40-41习题 4.62 中(2)(4)3 中(3)(4)(6)7 中(2)(3)补充：1已知 cos()=31求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值。2sinsin=21，coscos=21，(0,2),(0,2),求cos()的值第十六教时第十六教时第十六教时第十六教时教材：教材：两角和与差的正弦目的目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。过程：过程：一、复习：两角和与差的余弦练习：1求 cos75的值解：解：解：解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30=42621222322=2计算：1cos65cos115cos25sin1152cos70cos20+sin110sin20解：解：解：解：原式=cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=1原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=03已知锐角,满足 cos=53cos(+)=135求 cos.解：解：解：解：cos=53sin=54又cos(+)=1350+为钝角sin(+)=1312cos=cos(+)=cos(+)cos+sin(+)sin=653354131253135=+（角变换技巧）（角变换技巧）（角变换技巧）（角变换技巧）二、两角和与差的正弦267推导 sin(+)=cos2(+)=cos(2)=cos(2)cos+sin(2)sin=sincos+cossin即：sin(+)=sincos+cossin（S+）以代得：sin()=sincoscossin（S）8公式的分析，结构解剖，嘱记9例一不查表，求下列各式的值：1sin752sin13cos17+cos13sin17解：解：解：解：1原式=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=46222232221+=+2原式=sin(13+17)=sin30=21例二求证：cos+3sin=2sin(6+)证一：证一：证一：证一：左边=2(21cos+23sin)=2(sin6cos+cos6sin)=2sin(6+)=右边（构造辅助角）（构造辅助角）证二：证二：证二：证二：右边=2(sin6cos+cos6sin)=2(21cos+23sin)=cos+3sin=左边例三精编P47-48例一 已知 sin(+)=32,sin()=52求tantan的值解：解：解：解：sin(+)=32sincos+cossin=32sin()=52sincoscossin=52+：sincos=158：cossin=152三、小结：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”四、作业：P38练习 2 中3 中5 中P40-41习题 4.62 中3 中7 中精编P60-612、3、4tantan=4152158sincoscossin=27第十七教时第十七教时第十七教时第十七教时教材：教材：两角和与差的正切目的目的：要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式。过程：过程：一、复习：两角和与差的正、余弦公式 C+,C,S+,S练习：1求证：cosx+sinx=2cos(x4)证：证：证：证：左边=2(22cosx+22sinx)=2(cosxcos4+sinxsin4)=2cos(x4)=右边又证：右边=2(cosxcos4+sinxsin4)=2(22cosx+22sinx)=cosx+sinx=左边2已知，求 cos()解：解：解：解：2:sin2+2sinsin+sin2=2592:cos2+2coscos+cos2=2516+:2+2(coscos+sinsin)=1即：cos()=21二、两角和与差的正切公式T+,T10 tan(+)公式的推导（让学生回答）cos(+)0tan(+)=sinsincoscossincoscossin)cos()sin(+=+当 coscos0 时分子分母同时除以 coscos得：以代得：2注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan，tan，tan()只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。2注意公式的结构，尤其是符号。3引导学生自行推导出 cot()的公式用 cot，cot表示cot(+)=sincoscossinsinsincoscos)sin()cos(+=+当 sinsin0 时cot(+)=cotcot1cotcot+sin +sin =53cos+cos=54tan(+)=tantan1tantan+tan()=tantan1tantan+28同理，得：cot()=cotcot1cotcot+三、例一求 tan15，tan75及 cot15的值：解：解：解：解：1tan15=tan(4530)=32636123333331331=+=+2tan75=tan(45+30)=32636123333331331+=+=+=+3cot15=cot(4530)=3223241331+=+=+例二已知 tan=31，tan=2求 cot()，并求+的值，其中090,90180。解：解：解：解：cot()=71tantantantan1)tan(1=+=tan(+)=1)2(311231tantan1tantan=+且090,9018090+270+=135例三求下列各式的值：175tan175tan1+2tan17+tan28+tan17tan28解：解：解：解：1原式=3120tan)7545tan(75tan45tan175tan45tan=+=+228tan17tan128tan17tan)2817tan(+=+tan17+tan28=tan(17+28)(1 tan17tan28)=1 tan17tan28原式=1 tan17tan28+tan17tan28=1四、小结：两角和与差的正切及余切公式五、作业：P38-39练习 2 中P40-41习题 4.61-7 中余下部分及 9第十八教时第十八教时第十八教时第十八