压弯剪扭作用下钢筋混凝土任意截面非线性分析.pdf

第 4 0卷 第 3期 2 0 1 3年 3月 建筑技术开发 Bui l di n g Te c h ni qu e De v e l o pme n t Vo 1 4 0， No 3 M a r 2 01 3 压弯剪扭作 用下钢 筋混凝 土任 意截 面 非 线性分 析 曹燕 张宇鹏 叶英华。 刁 波 ( 1 国家知识 产权局 专利局 专利 审 查协作 北京 中心 ； 2 北京 市建筑 工程研 究院有 限责任 公 司 ， 北 京 1 0 0 0 3 9 ； 3 北京航 空航 天 大学 ) 摘 要 在参考 国内外文献的基础上 ， 概述 了用于钢筋混凝 土压弯剪扭 复合作用下进行非线性分 析的理论模型 ， 并利 用基于修正压力场理论的混凝土本构关系推导出混凝 土截面切线 刚度矩 阵。此模 型基于铁 木辛柯梁理论 ， 按截面 的应力状态 ， 将单元 的控制截面划分为 1 D、 2 D和 3 D三种区域。并将 等参 元理论 和高斯积分 计算方 法 引入混凝土截面切线刚度 的计算中 ， 从而建立 了压弯 剪扭作用 下钢筋混凝 土任意形状 截面刚度 的通用计 算模 型。 【 关键 词 钢筋混凝 土 ； 压弯剪扭 ； 任意截面 ； 等参积分 ； 非线性分析 中图分类号 T U 3 7 5 文献标 志码 A 文章编 号 1 0 0 1 5 2 3 X( 2 0 1 3 ) 0 3 0 0 0 6 0 6 NoNLI NEAR ANALYS I S OF ARBI TRARY CRoS S S ECTI ON oF REI NF ORC ED CoNCRE TE BEAM S UBJ ECT ED To CoM BI NED AXI AL ， BENDI NG 。 S HEAR AND ToRS I oN LOADI NG Ke y w o r d s Ca o Ya n Zh a n g Yu - - p e n g Ye Yi n g - hu a Di a o Bo Ba s e d o n t he r e f e r e n c e o f p a p e r s b o t h d o me s t i c a n d a b r o a d， t h i s a r t i c l e p r e s e nt s a g e ne r a l e x p l a n a t i o n o f a mo d e l f o r t h e n o n l i ne a r a n a l y s i s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e wi t h a r b i t r a r y g e o me t r y c r o s s s e c t i o n u nd e r c o mbi n e d l o a di ng c o n d i t i o ns i n c l u di n g a x i a l f o r c e， bi a x i a l b e n di n g， t o r s i o n a n d b i a x i a l s h e a r f o r c e Th e c r o s s s e c t i o n t a n g e n t s t i f f ne s s f o r mul a t i o n i s e s t a b l i s h e d us i ng c o n s t i t u t i v e ma t e r i a l mo de l o f Mo di f i e d Co mpr e s s i o n F i e l d Th e o ryTh e p r o p o s e d mo d e l i s b a s e d o n t h e Ti mo s he n ko be a m t he o ry Ac c o r di n g t o s t r e s s c o n d i t i o n o f t he s e c t i o n s， t h e y a r e s ub d i v i d e d i n t o r e g i o n s wi t h 1 D、 2Da n d 3DApp l y i n g t h e i s o pa r a me t r i c e l e me n t t h e o ry a n d Ga u s s i nt e g r a l t h e mo d e l o f n ume r i c a l a na l y s i s me t h o ds o f a r bi t r a ry r e i n f o r c e d c o n c r e t e c r o s s s e c t i o n s u nd e r c o mb i ne d l o a di n g c o n di t i o n s i s u ni f o r me d r e i nf o r c e d c o n c r e t e； c o mb i ne d l o a di n g c o n di t i o n s； a r b i t r a ry c r o s s - s e c t i o n； i s o pa r a me t r i c e l e me n t ； no nl i n e a r 在建 筑结 构 中 ， 结 构 构 件受 扭 的情 况很 多 。只 要荷 载合 力不 通过截 面 的剪切 中心 ， 截面就会 受扭 。 但是单纯受扭的并不多 ， 扭矩、 弯矩、 剪力 和轴力往 往共同作用。构件在压弯剪扭共同作用下处于非弹 性的空间复杂受力状态 。过去 ， 扭转常被看成次 收稿 日期 ： 2 0 1 21 21 5 作者简介 ： 曹燕( 1 9 8 4 ) ， 女 ， 西安人 ， 毕业于北京航空航天大学 ， 硕士 研究生 ， 助理研究 员， 从事专利审查工作 。 6 效应 而忽 略 ， 现在 随 着 薄壁 、 大 跨 、 装 配 结构 的广 泛 采用 ， 尤其 是 曲梁 、 扭 曲结构 和其 他不 规则结 构型 式 的采用 ， 结 构 中的扭 转 作 用 比 以往 突 出 。对于 扭 转 问题 的研 究 ， 主要有 以下 几个 阶段 ： 弹 性理 论 阶段 、 弹塑性理论阶段 、 斜弯理论阶段 、 空间桁架模型阶段 以及基于修正压力场理论 的有 限元 分析阶段 。其 中 ， 考虑 构件受 力后 变形 协 调 条 件 和材 料 非线 性 特 性 的有 限元分析 ， 有 助 于 了解 构 件在 整 个 受荷 状 态 下 的 内力和变形 特 性 ， 对加 深 构 件受 荷 后 工作 机 理 第4 0卷 曹 燕 ， 等 ： 压弯剪扭 作用下钢 筋混凝土任意截面非线性分析 第 3期 的认 识 ， 改 进 实 验 研 究 方 法 和 设 计 方 法 均 有 一 定 意义 。 本文 在 已有 的钢筋 混凝 土压 弯构件 截 面非线 性 分析理论的基础上， 结合 国内外文献 ， 提 出了用于压 弯剪扭复合荷载作用下任意截面非线性分析的理论 模型。复合受力截面中， 轴力和弯矩产生正应变 ， 剪 力 和扭 矩产 生剪应 变 。为考 虑正 应变 和剪应 变互 相 影 响 的复杂 应力状 态 ， 本模 型 以铁 木辛 柯 梁 理 论 为 基 础 ， 将 截 面划分 为三种 区域 ， 分 别 是 1 D、 2 D和 3 D 区域 。此模型所使用 的本 构关系基 于修 正压力 场 理论 ， 修 正 压 力 场 理 论 是 V e c c h i o和 C o l l i n s 在 对钢筋混凝土板承受平面应力状态下的大量试验基 础上总结出来 的。在截面切线刚度矩阵 的计算中， 引人等参元理论 ， 从而建立 了计算复合受力作用下 任意形状截面刚度 的通用计算模型。同时使用高斯 积分法计算截面刚度矩阵各个元素。简化了计算过 程 ， 提 高 了计 算精 度 。 1理论 模型概 述 1 1 单元模 型 构件在扭矩作用下 ， 纵 向纤维产生线应变 ， 因而 横截面上除有剪应力外还有正应力 。但对 于矩形、 T形等实体构件， 由于翘 曲引起 的正应力可 以忽略 不计 ， 故平截面假定仍然成立。选取基于铁木辛 柯梁理论的模型 ， 假设平截 面在变形后仍然为平截 面， 只是不再垂直于轴线。文献 2 中提 出的模型 如 图 1所示 。此 模 型定 义 一 个 整体 坐 标 系 ( 、 ) ， 、 z ) 下 的 3节点曲线杆件单元 。单元准线 为 s ， 截面面 积为 A( s ) 定义 局部 坐标 系统 ( ， ， ) ， 用 于梁 单 元 S上 的任 意 截 面 ， 截 面 在 初 始 时 都 是 垂 直 于 准线 s的。截 面 中参 考 点 0是局 部 坐标 系统 的 原 点 。 图 1 本 文所使 用的梁模 型 单元的每个 节点有 6个 自由度， 3个水平 自由 度 ， 3个 旋 转 自由 度。此 6个 局 部 坐 标 节 点 位 移 为 ： U = ( 。 石 。 。 0 0 0 i ) ( 1 ) 。、 W 一 。分 别表 示沿 、 y 、 z 轴 的位 移 ； 0 i 、 、 分别表示绕 、 y , z 轴的转角。 通 过 下 式 可 将 截 面 任 意 点 的 位 移U = 【 一11 , W 与 6个局部坐标节点位移结合起来 ： ( ， ， z)= 。 ( s )+ 0 ( s )一 ( s ) v ( s ， ， z)： 石 。 ( s )一z ( s ) ( s ， ， z)：w 。 ( s )+歹 ( s ) ( 2 ) 1 2截 面公 式 钢筋混凝土压弯剪扭复合作用下 ， 截面应力状 态如图 2所示 ， 结合公式 ( 2 ) 得截 面内任意点 的应 变状 态 为 ： 工 图 2截 面应 力 状态 及 截 面力 a a 。 一 a 一 a p i 。 一 Y d d d。 c 。 c dx Y z c ： + ： 一 ( 3 ) ,t 一 二 O y + 。 j ： + ： + 一 + 一二 0z + + Y 。 圳 其 中 ， _ f 为正 应 变 ， 、 _ I c 为剪 应 变 ， 写 成 向 量形 式为 ： ：= ， y 万 ， ( 4 ) 已知截面任意点的应变状态为 ： ， 则截面任意 点 的应 力状 态 为 ： O -,t 1 I 下 I =o r ： ( s ： ) ( 5 ) J o r _ 1 为 正应 力 ， _ I l 、 _ 1 为剪应 力 。 公式 ( 3 ) 可 写成 矩 阵相 乘 的形式 ： 占 ：=S = 1 0 0 0 0 一 0 1 0 0 占 。 y 协 柏 7 第 3期 曾 燕 ， 等 ： 压弯剪扭作 用下钢筋 混凝土任意截 面非线性分析 第 4 0卷 其中， = a 。 O O O E a 8 i ax 8 e ： a aF。 a x 一 a 。 a E + 2 1 1 1 D区域 1 D区域模型( 图 3 ) 主要用于纵向钢筋 的分析 ， 需 要 考 虑 的 应 力 仅 是 延 钢筋 方 向的 正 应 力 o r ：即 ( 6 ) o r 。钢筋应变方 向 s 即 s 。正应力 o r 仅取决于 纵 向应变 ， 钢筋轴力为 ： F =A ( ) ( 9 ) A 为钢筋面积。 公式 ( 6 ) 中 。 表示 截面坐标 原 点 的正 应变 ； ：分别表示绕局部坐标系中 y , z轴的曲率； 是单 位长 度 的扭转 角 ； y 脚为 一 X 平 面 的剪应 变 ； s 。 为几何尺寸向量 ； ； 为截面变形向量 。 由于传统的铁木辛柯梁理论 ， 保 留了平截面假 设 ， 假定梁横截面上的横向剪切应变为常数 ， 但实际 上横截面上的剪应力不是均匀分布的， 故需要通过 两个剪切修正函数 O l 、 卢和剪切修正系数 k 、 对公 式 ( 6 ) 进行 修正 。 s 为修正后的截面任意点应变状态 ； o r 为修正后 的截面任意点应力状态 ； 为修正后的几何尺寸。 推导 出截 面力 为 ： 8 H 盯 | d A 16 容 H s 盯 f d A = 6 。 st T rd A ： 8 雪” = s d A = C r 2 ， 仃 z 。丁 + Y k 卢 ( 歹 )。 万 O L ( ) d A ： N M Mi T ( 7 ) 截 面切线 刚度矩 阵为 ： = 嘉 ( ) = s = s O c t ( 8 ) = 、S D s T a A 2各 区域 切线 刚度矩 阵 的计算 2 1 区域 划分 按照钢筋混凝土截 面不 同的应力状态可以将截 面划分为 3种区域 ， 1 D、 2 D和 3 D区域。1 D区域仅 承受正应力； 2 D区域承受正应力及一个方 向的剪切 应力； 3 D区域承受正应力及两个方向的切应力。 8 图 3 1 D 区域 模 型 D区域模型仅 需要 考虑 钢筋对 切线 刚度矩 阵 的 贡献 ， 故只需考虑轴 向变形 ： D =D ( s ) ( 1 0 ) 将 所有 钢筋 ( n s ) 的贡献加 和起 来 得 到 1 D 区域 的截 面力和 切线 刚度矩 阵如下 ： = fL 。 ： 引 = JJ S D ： D S d A ,I dAI D r 0 o 1 ( 1 1 ) = s 1 0 0 0 f 心 L 0 0 0 j 2 1 2 2 D区域 2 D区域模型 ( 图 4 ) 主 要 用 于分 析 包 括 一个 方 向箍筋及纵筋 的混凝 土区域。对于截面上的某点 ， 需通过方向转换为沿箍筋方 向的平面应力 ， 平面方 向曲 来 定义 。 图 4 2 D区域模型 可 以通 过 以下 转换关 系将平 面应 变 向量 与局部 坐标 系下 的应变 向量进行 转换 ： r 1 r 8 2 D= _ 8 i 巧 五8 8 i 再 第 4 0卷 曹 燕， 等 ： 压 弯剪扭作 用下钢 筋混凝土任 意截 面非线性分析 第 3期 8 p = 8 p 8 p 卯 s P ： P r P l p ： p orf p T 。 停 盯 叩 7 娜Ty z p T 。 。 = = T* TDp 。 z = ( D。 ll 1 2 )c t4 = 三兰 ： 三三 + ：二 三：二 c 5， + p 。 p i。 i至三三 c 6 + 【、 ： ” J (16 式( 1 7 ) 、 ( 1 8 ) 中， P 。 印， p 分别为纵筋和箍筋 的 态时 ， 令 ， r ， T y z p 为 0 。应力向量 由 6个量组 = f s D S d A ( 1 8 ) “ 2 D 2 1 3 3 D区域 3 D区域模型( 图 5 ) 主要用 于分析两个方 向均 有箍筋并且含有纵筋的混凝土区域以及混凝土核心 承受正应力及两个方向剪应力的区域。对于截面上 的某点 ， 应力状态包含正应力 i 和剪应力 r 而和 r 五 。 图 5 3 D区域模型 计算切线 刚度矩阵时 ， 先分别求 出混凝土和钢 筋这两种材料 的贡献 ， 再叠加。除本构关系的区别 外 ， 切线刚度的计算与 2 D区域相似。 。= 万 ； r ( 三 ) 。 ，。 = ( 。D n 三 ：1：2) c 9 ， 3 D与 2 D相同， 令未考虑的应力部分 o r = 0 。 ； D= 1 ， D D=D1 1一D1 2- D 22 1 D 2 1 ( 2 0 ) 3 D区域 的截 面力 ； 。 及截 面切 线 刚度 矩 阵 ， 。为 ： ； D=I S ： D d A = f S D S d A( 2 1 ) 2 2各 区域 切 线刚度 矩 阵的具体 计 算 对于 1 D区域使用钢筋的本构关系 。 对于 2 D区域使用基于 MC F T 的关于主应力 一 主应变的切线刚度矩阵 ， 简写如下式： ， 、 1一 ， ( 2 2 ) 根据 ， MC F T理论所提 出的本构关 系， 其 中 E ： 为 0 ， E ： 。 为考虑混凝土受拉软化效应的切线模量。 9 = 1，j 和 d d d P L 等 一 一 2 O 0 ： i_ L 第 3期 曹 燕 ， 等 ： 压弯剪扭作 用下钢 筋混凝土任意截面非线性分析 第4 O卷 由弹性 力 学平 面应力 状 态 的应 力 摩尔 圆 ， 有 如 下公 式 ： 口 1 C OS 0+ 仃c 2 s i n 0 ” = l s i n 0+ 2 C O S 0( 2 3 ) fc xy p ： ( 。 。一 ) s i n 2 0 由弹性 力学 的平 面应 力 状 态 的应 变 摩 尔 ， 有 如 下公 式 ： ： + + 1： l 8 +8 ”+( 占 卵一s ) + ” J 6c 2= + 一 6 c x p Y c y p 8 e s 唧 ：= ( 一 8 ) + 2 ( 2 4 ) 结合文献 7 中的本构关 系以及 MC F T理论 中 混 凝土 主应变 方 向与 主 应 力方 向相 同 的基 本 假 设 。 可将 某 点应力 状态 表示 为相对 应 的应 变 的 函数 。 由 此可写 出表示 D ，的公 式 ( 1 8 ) 中各项 具体 值 ， 以 为例 ： os 。 0 0 p 0 0 c p 0 0 l a 8 1 0 t r a l a 8以 a 卵0 o - 1 a 8 1 a s P 0 o 1 a s 2 a P 0o c p +一 0 o c p 0 o 2 + a盯 1 a l 2 a s 口00 c 2 d c l a 。 一O 0 c p 0 o 2 堕+ a o 2 f 2 5 1 一 一 一 I ， 、 l a D 。 c 2 a 。 2 a 0 o 2 a y1 2 a s 舢 依此可求得 D ， 再通过式 ( 1 4 ) 、 ( 1 7 ) 、 ( 1 8 ) 可 得 。 。 3 D区域 中计算截 面切线刚度矩阵的基本思路 与 2 D 相 似 。在 进 行 三 向应 力 状 态 分 析 时 ， 对 主 应 力 一主应 变关 系进 行 了 假设 ， 所 得 的 主应 力 一主 应 变本构关系矩阵见文献 9 。其 中计算每一项具体 值 时假设 ： 。 1=， ( 8 1 ) ， f f ( 1 ， 占 c 2 ) ， 占 2 0 ； 3= g s 3 ) ( 2 6 ) 通过弹性力学 中三向应力状态的主应力、 主应 变 、 公式 ， 以及 MC F T理论所确定的本构关系可得到 D ， 。 。再通过式( 2 0 ) 、 ( 2 1 ) 可得到 ： 。 。 2 3 截 面整 体切 线刚度 矩 阵 当截面每一个区域的截面力的刚度矩阵都确定 之后 ， 将其加和 ， 即得到整个截面的截面力和切线 刚 度 矩 阵 ： 1 O “1D 2D 3 D = ： ， 。 + j ， 。 + ， 。 ( 2 7) nI 口 n2 0 月3口 、 = ：， 。 + ， 。 + k ， 。 i=1 J= 1 k= 1 3 基 于等参 元的 任意截 面切线 刚度 计算 本文基于等参元 的构造与计算思想 ， 将笛卡 尔坐标系下任意形状混凝土截面转换成 自然坐标系 下的标准四边形 ， 并推导出 自然坐标 的截面割线和 切线 刚度矩 阵 ， 采 用 积分 数 表 中 的标 准 积 分点 坐 标 和权 重进行 高斯积 分 。 3 1 基本 变换公 式 在二 维 平 面有 限元 理论 中 ， 定 义笛 卡 儿 坐标 系 y o z为总体 坐标 系 ， 自然 坐标 系 o 为 局部 坐标 系 。 设母单元与子单元 的坐标变换函数关 系分别为 Y 和 ， 可 以得到如 下坐标 变换式 ： y=Y ( ， 叼 )=N ( ， n ) y ( 2 8 ) z = z ( ， 叼 )= ( ， 叼 ) 其中： m是坐标变换结点 的个数 ， y 、 是 总体坐 标 ， Y ， z 是进行坐标变换 的结点在总体坐标系中的 坐标值 ， 是用局部坐标 和 表示的插值函数。 本文坐标变换使用的雅可比矩阵为 ： J = a a 刍 a 刍 a z a 7 7 ( 2 9 ) 向量 和 d 叼在 笛卡儿 坐标系 内形成 的 面积 微 元 d A为 ： d A =d y d z= 1 ， j d d 叼 ( 3 0 ) 上式中1 ， l 为雅可比行列式， 它仅是局部坐标 和 叼的函数 。 3 2截 面的刚度 通过 上 述分 析 可知 ， 由本文 模 型得 到 的压 弯 剪 扭复合作用下钢筋混凝土截面切线刚度矩阵每一项 的计算都很复杂 。为便于说明等参元及高斯积分的 应用 ， 以2 D区域混凝 土切线刚度矩阵为例 ， 由公式 ( 1 8 ) 。 = Js D S d A ： J J A 2 D ( 下 转 第 2 4页 ) 第 3期 杨志贵 ： 某岩质边坡稳定性仿 真分析 第 4 O卷 4 结 论 1 ) 边 坡 的 位 移 变 形 不 大 ， 基 本 上 小 于 3 a m， 只在局 部 达 到 89 c m， 由浅 至深 位 移 量 逐 渐 变 小 。 2 ) 应力 分布 呈现 出一定 的规 律 ， 人工 边 坡 坡 面 往下 的浅 部 区域 ( 3 5 I n左 右 ) 有拉 应力 出现 ， 必须 用锚杆予以加固； 总体边坡的坡脚处主应力差很大， 需用 较厚 的混凝 土板 支护 。 3 ) 塑性 区的分布与主拉应力区的分布相似， 地 震 烈度 的加大会 造成 塑性 区 的扩 展 。 参考文献 1 江学 良， 曹平 ， 杨慧 层状 岩质边坡开挖过程 的有 限元 模拟 岩土 力学 ， 2 0 0 6 ( 1 1 ) ： 1 9 3 51 9 4 0 2 雷用 ， 郝江南 ， 肖强 高边坡设计 中的几个 问题探讨 岩土工程学 报 ， 2 0 1 0 ( s 2 ) ： 5 9 8 6 0 2 3 宋胜武 ， 严 明 一种基于稳定性评价的岩质边坡坡体 结构分类方 法 工程地质学报 ， 2 0 1 1 ( O 1 ) ： 61 0 4 刘立鹏 ， 等 基 于 Ho c kB r o w n准则 的岩质边坡 稳定性 分析 岩 石力 学与工程学报 ， 2 0 1 0 ( S 1 ) ： 2 8 7 9 2 8 8 6 5 李典庆 ， 周创兵 ， 胡冉 基于 n维等效 方法 的岩质边坡楔体稳定体 系可靠度分析 岩石力学与工程学报 ， 2 0 0 9 ( 0 7 ) ： 1 4 1 51 4 2 4 ( 上接 第 l O页) 其中， D 。 为一 3 3矩阵， 其 中每一项的具体形 式 不再赘 述 ， 以下形 式来 表示 ： D 2 D： D c 2 2 D 2 ( 3 1 ) 最终得到 。 为一个 6 x 6的矩阵， 以第一行第 一 列 的值 为例 ： = ( 3 2 ) 根据上述方法确定所有高斯点对应的被积函数 值后 ， 加权求和即可逐一确定 ( 3 3 ) 式刚度矩阵的每 个元素。以元素 为例 ， 采用双 向等阶次 G a u s s L e g e n d r e面积分公式可得如下计算式 ： 。 ， = J_ 。 。 。 d d n 一 i=1 f ( 3 3 ) 其 中 ： n为 自然 坐标 系 中单 轴方 向上求积 结点 的个 数； ， 和 叼 为求积 点坐标 ； 日 和 为对应 的求 积 系数 。 采用高斯 积分法进行截 面切线 刚度矩 阵的计 算。使得积分简化和并提高了计算精度。非线性方 程组的求解采用切线刚度迭代法 。 4 结论 本文提出了一个用于钢筋混凝土压弯剪扭复合 受力非线性分析的理论模型， 并利用基于修正压力 场理论的混凝土本构关系推导 出钢筋混凝土截面切 线刚度矩阵。并引入等参元理论 ， 高斯积分等方法 ， 2 4 使复合受力的任意截面非线性分析过程简化。可利 用 程 序 实现 本 文 所推 导 的 理论 模 型 ， 进 行钢 筋 混 凝 土构件在压弯剪扭复合荷 载作 用下 的截 面非 线性 分 析 。 参考文献 1 沙镇平 ， 洪敦枢 混凝土结构扭转理论研究 的进展 J 力学进展 ， 1 9 9 2 ， 2 2 ( 3 ) 2 J N a v a r r o G r e g o r i ， P Mi g u e l S o s a ， M A F e r n a n d e z P r a d a ， F i l i p C F l i l i p p o u 3 D n u me r i c a l mo d e l f o r r e i n f o r c e d a n d p r e s t r e s s e d c o n c r e t e e l e me n t s S U b j e c t e d t o c o mb i n e d a x i a l ，b e n d i n g，s h e a r a n d t o r s i o n l o a d i n g J E n g i n e e r i n g S t r u c t u r e s 2 0 0 7 ( 2 9) ， 3 4 0 4 3 4 1 9 3 V e e c h i o F J ， C o l l i n s MP T h e m o d i fi e d c o mp r e s s i o nfi e l d t h e o ry f o r r e i n f o r c e d c o n c r e t e e l e me n t s s u b j e c t e d t o s h e a r A C I S t r u c t u r a l J o u rna l 1 9 8 6 ； 8 3 ( 2 ) ： 2 1 9 3 1 4 殷 芝霖 ， 张誉 ， 王振东 抗扭 M 北京 ： 中国铁道出版社 ， 1 9 9 0 1 2 1 3 5 R a o S S T h e fi n i t e e l e m e n t me t h o d i n e n g i n e e r i n g B o s t o n ： B u t t e r w o r t h He i n e ma n n； 1 9 9 9 6 过镇海 ， 时旭东 钢筋混凝土原理 和分 析 M 北 京： 清华大学 出 版社 ， 2 0 0 3 1 3 31 3 5 7 徐车坡 ， 车轶 ， 吕和祥 基 于 MC F T理论 的钢筋混土梁 抗剪分 析 J 工程抗震与加固改造 ， 2 0 0 5， 2 7 ： 3 1 3 5 8 S t e v e n s H I ， U z u me r i S M， C o l l i n s MP ， Wi l l G T C o n s t i t u t i v e mo d e l for r e i n f o r c e d c o n c r e t e fi n i t e e l e me n t a n a l y s i s ACI S t r u c t u r a l J o u rna l 1 9 9 1 ； 8 8 ( 2 ) ： 1 3 5 4 6 9V e c c h i o F J ，S e l b y RG T o w a r d c o mp r e s s i o n f i e l d a n a l y s i s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e s o l i d s J o u r n a l o f S t r u c t u r a l E n g i n e e r i n g 1 9 9 1 ； 1 2 7 ( 6 )： 1 7 4 0 5 8 1 0 李吴 ， 刁波 基于等参元 理论 的钢筋混 凝土任 意截 面的刚度 计 算 J 工业建筑 2 0 0 7 ( 7 ) 1 1 朱伯芳 有限单元法与应用 ( 第 2版) M 北京 ： 中国水 利水 电 出版社 ， 1 9 9 8 1 2 王 勖成 ， 邵敏 有限单元法基本原理和数值 方法 ( 第 2版 ) M 北京 ： 清华大学出版社 ， 1 9 9 6 1 3 吕西林 ， 等 钢筋混凝土结构非线性有限元理论与应用 ， M 上 海 ： 同济大学 出版社 1 9 9 7 8 9 9 4 1 J ；3 d t 。 ， ， ， D D D d ， ， ， 叻 D D D 。 。 L = C ， 扭 D 叩 叶 洲 M D D D r ，L 日