资源描述
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我亲爱的孩子们，让我们每一天都有所收获！ （向强）
精品资料
一、数
正整数
自然数
整数
负
0
数
有限小数
小数
无限小数
数
真分数
正数或负数
分数
假分数（带分数）
百分数（百分率、百分比）
折数、成数等
十进制计数法是相对二进制计数法而言的,是我们日常使用最多的计数方法（俗称“逢十进一”）,它的定义
是:“每相邻的两个计数单位之间的进率都是十”的计数方法,叫做“十进制计数法”。
1名称
概念及联系
整数
用来表示物体个数的0、1、2、3、
4、5……叫做自然数。
负数：-1、-2、-3、-4、······，
（0既不是正数也不是负数。）
按能否被2整
除分
偶数：能被2整除的自然数。如个位
是0、2、4、6、8
奇数：不能被2整除的自然数。如个
位是1、3、5……
按因数的个数分
质数：只有“1”和它本身两个约数。
合数：除了“1”和它本身两个约数，
还有别的约数。
1
0
小数
有限小数：小数部分的位数是有限的。
无限小数：小数部分的位数是无限
的。
循环小数
纯循环小数：循环节从小数部分的第
一位起。如：3.555…
混循环小数：循环节从不小数部分的
第一位起。如：2.04666…
无限不循环小数如：7.268413596423……
分数
把单位“1”平均分成若干份，
表示这样的一份或几份的数叫做
分数。表示其中一份的数叫分数单
位。
真分数：分子比分母小的分数。如：1/2、4/7·······
假分数：分子比分母大，或分子与分母相等的分数。
如：5/4、6/6…
最简分数：分子和分母是互质数的分数。
百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。
通常用“%”来表示。如：25%
折数
打折是指商品按原价的百分之几出售。“一折”是1%，“七点五折”是75%
成数
农业的收成，通常用成数”来表示。“一成”是十分之一，改写成百分数就是10%。
倒数
乘积是一的两个数叫互为倒数。其中的一个叫做另一个的倒数。
我亲爱的孩子们，让我们每一天都有所收获！ （向强）
主要计数单位：个/十/百/千/万/十万/百万/千万/亿/兆……
十分之几/百分之几/千分之几/万分之几/十万分之几……十进位位值制记数法作用:小
数大小比较：
1、比较整数部分，如果相等看下一步。
2、比较十分位，如果相等看下一步。
3、比较百分位，如果相等看下一步。
4、比较千分位，如果相等看下一步。……以此类推，比较出大小为止
分数大小的比较：
1、同时转化为分母相同的数,分子越大,数值越大
2、同时转化为分子相同的数,分母越大,数值越小
负数大小的比较：
1、正数>0>负数；同为为负数比较时：看正数大的反而小。
2、整数数字越大的大，负数则相反。
整除
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能
被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
二、常见的基本性质
分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
小数的基本性质：
小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
如：0.3=0.30=0.300
小数大小不变，但小数计数单位变了。
如果小数点移动位置，则小数的大小就变了：如果把小数点向右移动一位、两位、三位……这个小数比原
来的数扩大10倍、100倍、1000倍……如果把小数点向左移动一位、两位、三位……这个小数比原来的数缩小
10倍、100倍、1000倍……
比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
如：0.2︰0.5=0.4
2︰5=0.4
比的前、后项变了，但比值不变。
比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
如：2︰7=0.2︰0.7
两个外项的积是：2×0.7=1.4两个内项的积是：7×0.2=1.4
2×0.7=7×0.2（两个外项的积=两个内项的积）
比、分数与除法的关系
2比
前项
比号
后项
比值
15︰3=5
分数
分子
分数线
分母
分数值
15
=5
3
除法
被除数
除号
除数
商
15÷3=5
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三、因数、倍数、质数、互质数、合数、分解质因数：
整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．几个数公有的
倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数．如：1×12=12
2×6=123×4=12
1和12是12的因数，2和6是12的因数，3和4是12的因数，12的因数有：1、2、3、4、6、12。一共
有6个。18的因数有1，2，3，6，9，18.一共有6个，12和18的公因数有1，2，3，6。共4个，是有限的。
如：2的倍数有2，4，6，8，12，……，有无数个。3的倍数有3，6，9，12，15，……，有无数个。
2和3的公倍数是6，12，……，有无数个。
公因数只有1的两个数叫做互质数．质数是一个数，只有1和它本身两个因数（如：2，3，5，7，11，13，
17，19，……最小是质数是2）；互质数是两个数，只有公因数1．（如：8和9，11和19，15和28等）
合数是指一个数除了1和它本身两个因数外还有其它因数。
在自然数数中：1既不是质数也不是合数；最小的质数是2；最小的合数是4；既是偶数又是质数的数是2。
在自然数数中（除了0和1外）不是质数就是合数。
分解质因数是指把一个合数写成几个质数相乘的形式。这几个质数叫做这个合数的质因数。如：把18分解质因
数是：18=2×3×3那么2、3和5是18的质因数。2、3、5倍数的特征
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，
可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，
例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，
例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的
公约数，6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数
有2、4、6、8、10、12、14、16、18……
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、
11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（1）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。是2的倍数的数是偶数。偶数都能被2整除。在自然数
中不是偶数就是奇数。
（2）个位上是0或5的数，都是5的倍数。都能被5整除。
（3）各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。是3的倍数都能被3整除。如：123，3012，
2235等。
3
最小
最大
个数
因数
1
本身
有限
倍数
本身
/
无数
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四、运算定律
2、四则混合运算的顺序：
在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第
二级运算（乘除法），再算第一级运算（加减法）。
在含有括号的算式里，要先算括号里面的，如果算式中含有不同的括号，要先算小括号里面的，在算中括
号里面，然后再算大括号里面的，最后算括号外面的。
百分数、小数和分数的互化。
通常把小数改写成分母是 10、100、1000······的分数，再进行约分化简。
小数
小数
分数
用分数的分子除以分母，除不尽时通常保留两位小数。
把小数点向右移动两位，同时再后面添上百分号（%）。
百分数
去掉百分号，同时把小数点向左移动两位
通常先把分数改写成小数，除不尽时百分号前保留一位小数，再把小数改写成百分数
分数
百分数
先把百分数写成分母是 100 的分数，在进行约分化简。
五、正、反比例
判断两个相关联的量是否成比例：
首先写出对应的等量关系式，然后化简成等号的一边只有这两个量的式子，看等号的另一边是否为定值。
4
意 义
字母关系式
举 例
正
比
例
两种相关联的量；一种量变化，另一种量
也随着变化；如果这两种量中相对应的两
个数的比值一定，这两种量就叫做成正比
例的量。它们的关系叫做正比例关系。
y
= k(一定)
x
总价÷单价=数量(一定)
总价和单价成正比例的量；总
价和单价成正比例关系。
反
比
列
两种相关联的量；一种量变化，另一种量
也随着变化；如果这两种量中相对应的两
个数的积一定，这两种量就叫做成反比例
的量。它们的关系叫做反比例关系。
x ×y=k(一定)
单价×数量=总价(一定)
单价和数量成反比例的量；单价
和数量成反比例关系。
名 称
举 例
用字母表示
作 用
加法交换律
1＋3=3＋1
a+b=b+a
整数、小
数和分数同样
适用，使计算
简便。
加法结合律
1＋3＋7=1＋（3＋7）
a+b+c=a+(b+c)
乘法交换律
3×5=5×3
a×b=b×a
乘法结合律
3×4×25=3×（4×25）
a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律
（4＋8）×5=4×5＋8×5
(a+b)×c=a×c+b×c
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六、运算的意义、关系和计算方法。
七、求比值和化简比
八、比例尺：
在一幅地图上，图上距离和实际距离的比，叫做这幅地图的比例尺。
比例尺分类：
①数值比例尺。如： 1︰10000 或
1
10000
5
加法
减法
乘法
除法
意义
把两个数合并
成一个数的运算。
已知两个数的和
与其中的一个加数，
求另一个加数的运
算。
一个数乘整数：表示求
几个相同加数的和的简便
运算。
一个数乘分数：求一个
数的几分之几是多少。
已知两个因数的积和其中
的一个因数，求另一个因数的
运算。
数量
关系
加数+加数=和
和－一个加数=另
一个加数
被减数－减数=差
被减数－差=减数
差＋减数=被减数
因数×因数=积
积÷一个因数=另一个因数
被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
商×除数=被除数
举例
3+6=9
9－3=6
9－6=3
9-3=6
9－6=3
3+6=9
4×6=24
24÷4=6
24÷6=4
24÷4=6
24÷6=4
4×6=24
计
算
方
法
小
数
小数点对齐，从最低位算起。
小数乘以整数，先按整
数乘法法则算出积，再看被
乘数有几位小数，就从积的
右边起数出几位，点上小数
点。
1、除数是整数的小数除法法
则：（1）按照整数除法的法则
去除，商的小数点要和被除数
的小数点对齐；（2）如果除到
被除数的末尾仍有余数，就在
余数后面补零，再继续除。
2、除数是小数的小数除法法
则：（1）先看除数中有几位小
数，就把被除数的小数点向右
移动几位，数位不够的用零补
足；（2）然后按照除数是整数
的小数除法来除
分
数
分数单位相同 ，分子相加减，
分母不变。
把各个分数的分子乘起来
作为分子，各个分数的分母
相乘起来作为分母（能约分
的先约分，然后在乘起来）。
把分数除法改写成乘法来算
（除以一个数相当于乘以这个
数的倒数）。然后再按照分数乘
法的计算法则进行计算。
一般方法
结 果
举 例
求比值
用比的前项除以后项
通常是分数，也可
以是小数或整数。
2
2︰5=2÷5=
5
化简比
比的前项和后项
同时扩大或缩小（利
用比的基本性质）。
最简单的整数比
(比的前、后项互质)
2 2
0.6︰ =（0.6×15）︰（ ×15）=9︰10
3 3
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②线段比例尺。如： 0
20
40 千米
即图上每 1 厘米代表实际 20 千米。
③文字比例尺。如：“十万分一”或“图上 1 厘米相当于实际 1 千米”
九、空间与图形
如果构成图形的所有点都在同一平面内，这个图形叫做平面图形。
物体表面或平面图形的大小叫做它们的面积。
十、线、点与角
6
平面图形
名称
符号
周长 C 和面积 S
特征
四条边相等四
个角都是直角
正方形
a—边长
C＝4a
2
S＝a a
对边相等，四
个角都是直角
三个内角和
180 度。
长方形
a 和 b－边长
C＝2(a+b)
a
S＝ab b
C=a+b+c
S＝ah/2
三角形
a,b,c－三边长
h－a 边上的高
对边平行而
且相等。
平行四边形
a,b－边长
h－a 边的高
C=(a+b)×2
S＝ah
有一组对边
平行。
梯形
a 和 b－上、下底长
h－高
S＝(a+b)h/2
同圆（等圆）
所有半径都相
等，所有直径
都相等。
圆
r－半径 r=d/2
d－直径 r=c/π/2
C＝πd＝2πr
2
S＝πr
2
S＝π(d/2)
外圆面积减小
圆面积等于环
形面积。
圆环
R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径
2 2
S 环＝π(R -r )
2 2
S 环=πR -πr
端点个数
是否可以延长
是否可以度量
直线
0
可以
不可以
射线
1
可以
不可以
线段
2
不可以
可以
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三角形按角分
锐角三角形
钝角三角形
四 边 形
四边形
直角三角形
平行四边形
三角形按边分
等边
三角形
长方形
正方形
梯形
等腰三角形
三角形
十一、体积
物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器所能容纳物体的体积大小叫做容器
的容积。
7
立体图形
名称
符号
面积 S 和体积 V
2
S＝6a
3
V＝a
正方体
a－边长
S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
长方体
a－长
b－宽
c－高
2
C＝πd＝2πr S 底＝πr
S 侧＝Ch
S 表＝Ch+2S 底
V＝S 底h
2
V＝πr h
圆柱
r－底半径
h－高
C—底面周长
S 底—底面积
S 侧—侧面积
S 表—表面积
V＝Sh÷3
2
V＝π（d÷2） h÷3
2
V＝πr h÷3
圆锥
S－底面积
h－高
d-底直径
r－底半径
2 2
V＝πh(R -r )
空心圆柱
R－外圆半径
r－内圆半径
h－高
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十二、解决问题
主要步骤：
（1）认真读题，理解题意；
（2）分析题目中的数量关系；
（3）判断解决问题的方法，列出算式；
（4）计算；（5）验算。
注意：
1、求一个数（量）的几倍是多少？
算式：一个数（量）×几倍
2、求一个数（量）的几分之几（百分之几）是多少？
算式：一个数（量）×几分之几（百分之几）
3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。算式：多少÷几分之几
4、a是（占）b的几分之几（百分之几）？
5、a比b多几分之几（百分之几）？
6、c比d少几分之几（百分之几）？
算式：a÷b
算式：（a－b）÷b
算式：（d－c）÷d
7、分数（百分数）应用题要找准单位“1”；具体数（量）所对应的分率（百分率）；会画线段图帮助理解题意；
单位“1”在分率（百分率）前。如：a的几分之几（百分之几），把a看作单位“1”
画线段图时通常先画出单位“1”的量，根据单位“1”的量作比较，画出其它量。
十三、按比例分配的应用题：
①先求出总份数，得出部分数量占总数量的几分之几。
②用总数量分别乘各部分数量占总数量的几分之几，就得各部分的数量。
算式：总数量×
每部分量的份数
总份数
=每部分量
十四、常见的数量关系：
1、工作时间×工作效率=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
2、行程问题：
（1）基本公式：速度×时间=路程
路程÷速度=时间
工作总量÷工作时间=工作效率
路程÷时间=速度
（2）相遇问题：速度和×相遇时间=路程
路程÷速度和=相遇时间
（3）追及问题：追及时间=路程差÷速度差
速度差=路程差÷追及时间
路程÷相遇时间=速度和
路程差=追及时间×速度差
（4）流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间
逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水速度=船速＋水速
逆水速度＝船速－水速
3、单价×数量＝总价
总价÷单价=数量
总价÷数量=单价
4、单产量×数量＝总产量
5、每份数×份数＝总份数
总产量÷单产量=数量
总份数÷每份数=份数
总产量÷数量＝单产量
总份数÷份数＝每份数
6、行数×列数=总人（棵）数
总人（棵）数÷行数=列数
总人（棵）数÷列数=行数
7、本金×利率×时间＝利息
利息×税率=税利息
利息－税利息=税后利息
收入×税率=应纳税额
收入－应纳税额=应得收入
8
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8、合格率=合格数÷总数×100%
出勤率=实到人数÷应到人数×100%
9、图上距离÷实际距离=比例尺
成活率=成活棵数÷总棵数×100%
岀粉率=岀粉量÷小麦总量×100%
图上距离÷比例尺=实际距离
实际距离×比例尺=图上距离
10、植树问题中的主要数量关系是：间隔数×每个间隔的米数＝一共的米数；
11、锯木头问题的主要数量关系是：锯的次数×锯一次用的时间＝一共要的时间；
12、爬楼梯问题中的数量关系式是：
楼梯的级数÷每两层楼之间楼梯的级数＝楼梯的段数。
13、敲钟问题的主要关系式是：等待的次数×等待一次用的时间＝一共用的时间
十五、常见的量
常见的量有：长度、面积、体积、容积、质量（重量）、时间和人民币（钱）等。应注意每种计量单位之
间的进率关系，正确的进行单位换算。
名数的改写
名数通常分单名数和复名数两种。名数改写中的低级单位和高级单位是相对每种计量单位的两个单位而言，
单位大的那个称高级单位，单位小的那个称低级单位。
1、单名数和单名数的改写。（单名数指代一个计量单位的名数）
×两个计量单位间的进率
×1000
高级单位
÷两个计量单位间的进率
低级单位
如：2.5 吨
÷1000
2500 千克
2、复名数和单名数的改写。（复名数指带两个或两个以上计量单位的数）
复名数
高级单位的数×进率＋低级单位的数
低级单位的单名数
如：3 千米 50 米
3×1000＋50
3050 米
低级单位的单名数
用单名数的数÷进率=（商）是高级单位（余数）是低级单位
复名数
如： 312 分
312÷60=（5）······（12） （6）小时（12）分
高级单位的单名数
用单名数的数×进率÷进率=（商）是高级单位（余数）是低级单位
或
（整数）高级单位，（小数、分数×进率的积）低级单位
复名数
如： 3.2 小时
3.2×60÷60=（3）······（12） （3）小时（12）分
3 小时，0.2×60=12（分）
十六、线、点与角
线段：用直尺把两点连起来，就得到一条直线。直线：把线段的两端无限延长就得到一条直线。
射线：把线段的一端无限延长就得到一条射线。
垂线：在同一个平面内相交成90°夹角（直角）的两条直线，叫做这两条直线互相垂直。
平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线，叫做这两条直线互相平行。
角：指从一点引出两条射线所组成的夹角。角的大小与角两条边的长短无关，只与两条边叉（张）开的大
9
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小有关，叉开的越大角就越大，叉开的越小角就越小。
角的分类：
锐角：小于90°
平角：等于180°
直角：等于90°
周角：等于360°
钝角：大于90°而小于180°
十七、计量单位表：
十八、统计与概率
1、我们学过的统计有统计表和统计图两种。
（1）统计表收集资料，整理数据，分单式和复式。
（统计中要会求平均数、中位数和众数）
（2）统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图。（条形统计图、折线统计图也分单式和复式）
10
质
量
公斤
斤
1 公斤=1 千克
1 公斤=2 市斤
1 市斤=10 两
时
间
季度
上旬
中旬
下旬
周
一刻
1 年=4 季度
1 季度=3 个月
1 个月=3 旬
上旬=10 天
中旬=10 天
下旬：平年 2 月 28 天；闰年 2
月 29 天；小月 30 天；大月 31 天。
1 周=7 天
一刻=15 分钟
长
度
公里
里
市尺
寸
1 公里=1 千米
1 公里=2 里
1 米=3 市尺
1 市尺=10 寸
人
民
币
元
角
分
1 元=10 角
1 角=10 分
1 元=100 分
我亲爱的孩子们，让我们每一天都有所收获！ （向强）
条形统计图的特征：能清楚表示出各种数量的多少。
折线统计图的特征：能清楚表示出各种数量的多少，还能表示出各种数量的增减变化情况。
扇形统计图的特征：能清楚表示出各部分数量同总数的比。(各种数量的占有率)
2、概率：有一定，可能和不可能三种形式。
一定表示某种必然发生或出现的结果（情况）。
（如：太阳每天从东方升起。）
可能表示某种会发生或者不会发生的结果（情况）。（如：明天是晴天。）
不可能表示某种不会发生或出现的结果（情况）。（如：明天太阳从西边升起。）
十九、轴对称及数学广角
轴对称、平移、旋转
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
例如：等腰三角形（1条）、等边三角形（3条）、长方形（2条）、正方形（4条）、等腰梯形（1条）和圆（无
数条）都是轴对称图形.有的轴对称图形有不止一条对称轴.圆有无数条对称轴，每个圆的直径所在的直线都是圆
的对称轴。
平移：简单图形沿水平或垂直方向平移后的图形。
旋转：按照顺时针和逆时针方向旋转（90°）后的图形。
鸡兔同笼问题：已知鸡、兔的总头数和总脚数，求两种动物各有多少。
方法一：列表法，把鸡和兔的头数和脚数按一定的顺序全部列出来，符合条件的就是问题所求。
方法二：假设法，A、假设全部是鸡；B、假设全部是兔。
方法三：方程法，用头数的关系设X（一般设兔脚有X只），用脚的关系列方程，关系式是：鸡的脚数＋兔的脚
数=总脚数
（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
例鸡兔同笼共50个头，170条腿。问鸡兔各有多少只？
兔子只数（170-2×50）÷2=35（只）
鸡的只数50-35=15（只）
二十、其他
常见的π
1ð=3.14，2ð=6.28，3ð=9.42，4ð=12.56，5ð=15.7，6ð=18.84，7ð=21.98，8ð=25.12，
9ð=28.26，10ð=31.4，12ð=37.68，16ð=50.24，25ð=78.5，36ð=113.04
常见的平方
2 2 2 2 2
18 2= 324，19 2= 361， 20 2= 400， 25 2= 625， 35 2= 1225， 45 2= 2025
11112= 121，12 2= 144，13= 169，14= 196，15= 225，16= 256，17= 289，
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