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高三数学冲刺三模综合训练

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.学
1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是　 　．
2．已知样本3，4，5，，的平均数是3，标准差是，则的值为　 　．
3．,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为 ．
4．执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: ．

While <10

End While
Print “”
5．已知向量，，若，则实数=　 　．
6．已知函数，，则的单调减区间是 ．
7．设为两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，，，则；
②若相交且不垂直，则不垂直；
③若，则n⊥；
④若，则．其中所有真命题的序号是　 　．
8．在数轴上区间内，任取三个点，则它们的坐标满足不等式：的概率为 ．
9．直径为2的半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值为　 　．
10．过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时 　　．
11．“”是“对正实数，”的充要条件，则实数 ．

12．已知正方形的坐标分别是,,，，动点M满足：则 ．

13．若正实数满足：，则的最大值为 。

14．设是一个公差为（>０）的等差数列．若，且其前6项的和，则=　 　．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．在中，角对的边分别为，且
（1）求的值；
（2）若，求的面积。

16．在如图的多面体中，⊥平面，,，，
，，，是的中点．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ)求多面体的体积.

17．将52名志愿者分成，两组参加义务植树活动，组种植150捆白杨树苗，组种植200捆沙棘树苗.假定，两组同时开始种植.
（1） 根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时.应如何分配，两组的人数，使植树活动持续时间最短？
（2） 在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从组抽调6名志愿者加入组继续种植，求植树活动所持续的时间.

18．已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线被圆M所截得的弦长
为，且圆心M在直线的下方． （1）求圆M的方程；
（2）设若AC,BC是圆M的切线，求面积的最小值．

19．已知函数，为常数。
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值。
（2）求的单调区间。
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围。

20．已知数列和的通项公式分别为和
（1）当时，
①试问：分别是数列中的第几项？
②记，若是中的第项，试问：是数列中的第几项？请说明理由。
（2）对给定自然数，试问是否存在，使得数列和有公共项？若存在，求出的值及相应的公共项组成的数列，若不存在，请说明理由。

15．解：（1）由正弦定理可设，
所以，
所以． …………………6分
（2）由余弦定理得，
即，
又，所以，
解得或（舍去）
所以． …………………14分
16．解：(Ⅰ)证明：∵，∴.
又∵,是的中点， ∴，
∴四边形是平行四边形，∴ .
∵平面，平面，∴平面.
(Ⅱ)证明：∵平面，平面，∴，
又，平面，∴平面.
过作交于，则平面.
∵平面， ∴.
∵，∴四边形平行四边形，∴，
∴，又，∴四边形为正方形，∴，
又平面，平面,∴⊥平面.
∵平面, ∴.
(Ⅲ) ∵平面，，∴平面，
由（2）知四边形为正方形，∴.
∴，

18．解：（1）设由题设知，M到直线的距离是……2分
所以解得……………4分
因为圆心M在直线的下方，所以，
即所求圆M的方程为……………6分
（2）当直线AC,BC的斜率都存在，即时
直线AC的斜率
同理直线BC的斜率………………8分
所以直线AC的方程为
直线BC的方程为………………10分
解方程组得………12分
所以
因为所以所以．
故当时，的面积取最小值．………14分
当直线AC，BC的斜率有一个不存在时，即或时，易求得的面积为．
综上，当时，的面积的最小值为．………………16分

19．解：（1）函数的定义域为，
．
又曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即． ………………………4分
（2）由，
当时，恒成立，所以，的单调增区间为．
当时，
由，得，所以的单调增区间为；
由，得，所以的单调增区间为． …………………10分

20．解：（1）由条件可得，．
（ⅰ）令，得，故是数列中的第1项．
令，得，故是数列中的第19项． ……………2分
（ⅱ）由题意知，， 由为数列中的第m项，则有，
那么，
因,所以是数列中的第项． …………………8分
（2）设在区间上存在实数b使得数列和有公共项，
即存在正整数s，t使，∴，
因自然数,s，t为正整数，∴能被整除．
①当时，． ②当 时，
当时，

，即能被整除．
此时数列和有公共项组成的数列，通项公式为.
显然，
当时，，即不能被整除．
③当时, ，
若，则，又与互质，故此时．
若，要，则要，此时，
由②知，能被整除， 故，即能被整除．
当且仅当时，能被整除．
此时数列和有公共项组成的数列，通项公式为.
综上所述，存在，使得数列和有公共项组成的数列，
且当时,数列；当时,数列.……………16分

高三数学冲刺三模综合训练二
数学Ⅱ（附加题）
命题人：沈征宇 审核人：沙志峰

一. [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（矩阵与变换）求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.

2. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为，其中为参数.以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.

二．[必做题] 每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，
A
B
C
A1
B1
C1
D
（第23题）

D为侧棱AA1的中点．
（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；
（2）求二面角B1－DC－C1的平面角的余弦值．

23. 已知数列满足：.
（Ⅰ）求证：使；
（Ⅱ）求的末位数字.

．解：⑴当
假设当
则当时，
…

其中….
所以
所以；
（2），故的末位数字是7.