上海民办茸一中学八年级上册期末数学模拟试卷及答案.doc

上海民办茸一中学八年级上册期末数学模拟试卷及答案

一、选择题
1．下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
2．如图，在锐角三角形ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．10
3．钝角三角形三条高所在的直线交于（　　）
A．三角形内 B．三角形外
C．三角形的边上 D．不能确定
4．我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着展开式中的系数，请你猜想的展开式中含项的系数是（ ）

A．10 B．12 C．9 D．8
5．如图，把沿对折．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（　　）

A．18° B．20° C．28° D．30°
7．已知：如图，下列三角形中，，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图,小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分,测得两个角的度数为32°、74°,于是他很快判断这个三角形是（ ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
9．下列计算正确的是( )
A．a2+a3=a5 B．a6÷a2=a3 C．(a2)3=a6 D．2a×3a=6a
10．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，补充下列一组条件，仍无法判定△ABC≌△DEC的是（ ）

A．BC=EC，∠B=∠E
B．BC=EC，AC=DC
C．∠B=∠E，∠A=∠D
D．BC=EC，∠A=∠D
二、填空题
11．若，则______．
12．如图，在等边中，、分别是、上的点，将沿直线折叠后，点落在点处，的边长为，则图中阴影部分的周长为_____．

13．若m+n=1，mn=-6，则代数式的值是____________________；
14．化简，结果是__________．
15．如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE= 度．

16．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式：______．

17．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为_____．

18．已知，，则的值为__________．
19．如图，，，.给出下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是__________.

20．将正三角形、正方形、正五边形，按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则__________度．

三、解答题
21．如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE⊥BC．

22．如图，已知△ABC．
（1）请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接CE，如果△ABC的周长为27，DC的长为5，求△BCE的周长．

23．已知分式：，解答下列问题：
（1）化简分式；
（2）当x=3时，求分式的值；
（3）原分式的值能等于－1吗？为什么？
24．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝　 　；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．

25．先化简，再求值：，其中，．
26．先化简，再求值：
（a＋2）2－（a＋1）（a－1），其中a＝．
27．已知：如图，中，∠ABC=45°，于D，BE平分∠ABC，且于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G
（1）求证：BF=AC；
（2）判断CE与BF的数量关系，并说明理由

28．（1）如图，中，点D、E在边上，平分，，，，求的度数；

（2）如图，若把（1）中的条件“”变成“F为延长线上一点，”，其它条件不变，求的度数；

（3）若把（1）中的条件“”变成“F为延长线上一点，”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数；
（4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？
29．如图，，点在直线上，射线经过点，平分交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
30．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4,12,20这三个数都是“巧数”.
（1）400和2020这两个数是“巧数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？
（3）求介于50到101之间所有“巧数”之和.

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一、选择题

1．C
解析：C
【解析】
解：A．能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误；
B．全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误；
C．所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确；
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误；
故选C．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
∵AD平分∠CAB，
∴点B关于AD的对称点B′在线段AC上，作B′N′⊥AB于N′交AD于M′．

∵BM+MN=B′M+MN，
∴当M与M′重合，N与N′重合时，BM+MN的值最小，最小值为B′N′，
∵AD垂直平分BB′，
∴AB′=AB=5 ，
∵∠B′AN′=45°，
∴△AB′N′是等腰直角三角形，
∴B′N′=5
∴BM+MN的最小值为5．
故选B．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
由图形可知：钝角三角形三条高所在的直线交于三角形外．
【详解】
解：如图可知：钝角△ABC三边的高交于三角形外部一点D，
即钝角三角形三条高所在的直线交于三角形外，
故选：B．

【点睛】
本题考查三角形的高线的交点问题，解答的关键是会画三角形的高线，并能根据三角形的形状得出三条高线所在的直线的交点与三角形的关系．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据“杨辉三角”的构造法则即可得．
【详解】
由“杨辉三角”的构造法则得：的展开式的系数依次为，
因为系数是按的次数由大到小的顺序排列，
所以含项的系数是第3个，即为10，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多项式乘法中的规律性问题，理解“杨辉三角”的构造法则是解题关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．
【详解】
解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°-120°=120°，
∵∠1=95°，
∴∠2=120°-95°=25°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的度数，进而求得∠BAD的度数，再利用正方形的内角得出∠BAG＝90°，进而得出∠DAG的度数．
【详解】
解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝∠BAE＝×540°＝108°，
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
∵正方形GABF的内角∠BAG＝90°，
∴∠DAG＝90°﹣72°＝18°，
故选：A．
【点睛】
本题考查正多边形的内角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．
【详解】
由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和是180°，求得第三个内角的度数，然后根据角的度数判断三角形的形状．
【详解】
第三个角的度数=180°-32°-74°=74°，
所以，该三角形是等腰三角形.
故选B.
【点睛】
此题考查了三角形的内角和公式以及三角形的分类．
9．C
解析：C
【解析】
试题分析： A、a2与a3是相加，不是相乘，不能运用同底数幂的乘法计算，故本选项错误；
B、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得a6÷a2=a4，故本选项错误；
C、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得（a2）3=a6，故正确；
D、单项式乘单项式：把系数和相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数，作为积的一个因式．因此可得2a×3a=6a2，故本选项错误．
故选C．
考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方
10．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
故选D．
考点：全等三角形的判定．
二、填空题

11．-1
【解析】
【分析】
由可得，然后整体代入求解即可．
【详解】
解：由可得，所以；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，关键是根据题意得到，然后整体代入求解即可．
解析：-1
【解析】
【分析】
由可得，然后整体代入求解即可．
【详解】
解：由可得，所以；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，关键是根据题意得到，然后整体代入求解即可．
12．12
【解析】
【分析】
由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
【详解】
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD=A′D，AE=A′
解析：12
【解析】
【分析】
由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
【详解】
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD=A′D，AE=A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=12cm．
故答案为：12．
【点睛】
此题考查翻折问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
13．-6
【解析】
【分析】
利用提公因式法因式分解，再把m+n=1，mn=-6代入计算即可．
【详解】
解：∵m+n=1，mn=-6，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=（-6）×1=-6．
故答案为
解析：-6
【解析】
【分析】
利用提公因式法因式分解，再把m+n=1，mn=-6代入计算即可．
【详解】
解：∵m+n=1，mn=-6，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=（-6）×1=-6．
故答案为：-6．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．
14．【解析】
【分析】
本题要先算出乘方，再把除法运算转化为乘法运算，然后进行约分化简.
【详解】
解：===.
故答案为：.
【点睛】
本题考查积的乘方、单项式除法的运算性质，解题关键是熟练掌握以上
解析：
【解析】
【分析】
本题要先算出乘方，再把除法运算转化为乘法运算，然后进行约分化简.
【详解】
解：===.
故答案为：.
【点睛】
本题考查积的乘方、单项式除法的运算性质，解题关键是熟练掌握以上运算性质.
15．【解析】
试题分析：根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知AD=CE，利用SAS判定△ADC≌△CEB，从而得出∠ACD=∠CBE，所以∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=
解析：【解析】
试题分析：根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知AD=CE，利用SAS判定△ADC≌△CEB，从而得出∠ACD=∠CBE，所以∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．
解：∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC
∵AD=CE
∴△ADC≌△CEB
∴∠ACD=∠CBE
∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．
故答案为60．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
16．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【解析】
【分析】
利用已知各项系数变化规律进而得出答案．
【详解】
解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
解析：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【解析】
【分析】
利用已知各项系数变化规律进而得出答案．
【详解】
解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
【点睛】
本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
17．70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC
解析：70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB＝AD和求出∠BAD＝∠EAC是解此题的关键．
18．6
【解析】
【分析】
直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．
【详解】
∵，，
∴
=3×2
=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值，正
解析：6
【解析】
【分析】
直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．
【详解】
∵，，
∴
=3×2
=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值，正确找出公因式是解题关键．
19．①②③
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理求出∠EAB=∠FAC，即可判断①；根据AAS证△EAB≌△FAC，即可判断②；推出AC=AB，根据ASA即可证出③；不能推出CD和DN所在的三角形
解析：①②③
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理求出∠EAB=∠FAC，即可判断①；根据AAS证△EAB≌△FAC，即可判断②；推出AC=AB，根据ASA即可证出③；不能推出CD和DN所在的三角形全等，也不能用其它方法证出CD=DN．
【详解】
∵∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，
∵∠E+∠B+∠EAB=180∘，∠F+∠C+∠FAC=180∘，
∴∠EAB=∠FAC，
∴∠EAB−CAB=∠FAC−∠CAB，
即∠1=∠2，∴①正确；
在△EAB和△FAC中

∴△EAB≌△FAC，
∴BE=CF，AC=AB，∴②正确；
在△ACN和△ABM中

∴△ACN≌△ABM，∴③正确；
∵根据已知不能推出CD=DN，
∴④错误；
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题关键在于根据全等的性质对选项进行判断.
20．102°
【解析】
【分析】
根据领补角的定义、正多边形的内角和及三角形内角和进行求解即可．
【详解】
解：
由题意得，如图所示，正五边形的每个内角为108°，正方形的每个内角为90°，正三角形的每
解析：102°
【解析】
【分析】
根据领补角的定义、正多边形的内角和及三角形内角和进行求解即可．
【详解】
解：
由题意得，如图所示，正五边形的每个内角为108°，正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，
所以，，，
因为，所以可得．
故答案为102°．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和、正多边形的内角，关键是根据图形得到角之间的等量关系，然后利用三角形内角和进行求解即可．
三、解答题

21．见解析．
【解析】
【分析】
过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC＝2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC＝2∠D，则∠BAM＝∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进而得到DE⊥BC．
【详解】
证明：如图，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAM，
∵AD＝AE，
∴∠D＝∠AED，
∴∠BAC＝∠D+∠AED＝2∠D，
∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，
∴∠BAM＝∠D，
∴DE∥AM，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥BC．

【点睛】
考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
22．（1）见解析（2）17
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作DE垂直平分AC；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，AD＝CD＝5，则利用△ABC的周长得到AB+BC＝17，然后根据等线段代换可求出△AEC的周长．
【详解】
（1）如图，DE为所作；

（2）∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，AD＝CD＝5，
∴AC＝10，
∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27，
∴AB+BC＝27﹣10＝17，
∴△AEC的周长＝BE+EC+BC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝17．
【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
23．（1）；（2）当时，分式的值为2；（3）原分式的值不能等于-1．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）先做括号内的减法，注意把各分子、分母先因式分解，约分后再做减法运算；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，然后约分化为最简形式；
（2）将x=3代入计算即可；
（3）令，求解即可判断．
【详解】
（1）

；
（2）当时，原式；
（2）如果，
那么，
解得，
又因为时，原分式无意义．
故原分式的值不能等于．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
24．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab；（2）±4；（3）-7
【解析】
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy，将x+y＝5，x•y＝代入(x+y)2-(x-y)2=4xy，即可求得x-y的值
（3）因为(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15，即可求解．
【详解】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等
∴(a+b)2-(a-b)2=4ab
故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy
∵x+y＝5，x•y＝
∴52-(x-y)2=4×
∴(x-y)2=16
∴x-y=±4
故答案为：±4
（3）∵(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1
∴[(2019﹣m)+(m﹣2020)]2=1
∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m﹣2020)+ (m﹣2020)2=1
∵(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15
∴2(2019﹣m)(m﹣2020)=1-15=-14
∴(2019﹣m)(m﹣2020)=-7
故答案为：-7
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
25．，．
【解析】
【分析】
先计算平方差公式、完全平方公式、整式的乘法，再计算整式的加减法，然后将x、y的值代入即可得．
【详解】
原式，
，
，
将，代入得：原式．
【点睛】
本题考查了平方差公式、完全平方公式、整式的加减法与乘法，熟记公式和整式的运算法则是解题关键．
26．－1.
【解析】
分析：原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
详解：原式=a2+4a+4﹣a2+1=4a+5
当a=时，原式=﹣6+5=﹣1．
点睛：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
27．（1）证明见解析；（2），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可以得到Rt⊿DFB≅Rt⊿DAC，从而得到BF=AC；
（2）由题意可以得到Rt⊿BEA≅Rt⊿BEC，所以．
【详解】
证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴BCD是等腰直角三角形，∠DBF=90°-∠BFD，∠A=90°-∠DCA，
又，∴∠EFC =90°-∠DCA，∴∠A=∠EFC
∵∠BFD=∠EFC，∴∠A=∠DFB，
∴在Rt⊿DFB和Rt⊿DAC中，∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=DC，
∴Rt⊿DFB≅Rt⊿DAC，∴BF=AC；
(2)
理由是：∵BE平分ABC，∴∠ABE=∠CBE，
在Rt⊿BEA和Rt⊿BEC中，∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠ABE=∠CBE，
∴Rt⊿BEA≅Rt⊿BEC，∴
由（1）得：．
【点睛】
本题考查三角形的综合问题，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．
28．（1）；（2）（3）；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）关键角平分线的性质和三角形内角和的性质求角度；
（2）作于H，由（1）的结论和平行的性质得到；
（3）作于H，由（1）的结论和平行的性质得到．
【详解】
解：（1），
∵平分，∴，∵，∴，
∴，∴；

（2）作于H，如图，有（1）得，
∵．∴，∴；

（3）作于H，如图，有（1）得，
∵，∴，∴；

（4）结合上述三个问题的解决过程，得到的角平分线与角平分线上的点作的垂线的夹角中的锐角为15°．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、三角形内角和、平行线的性质，解题的关键是能够举一反三，通过第一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题．
29．（1）见解析；（2）145°
【解析】
【分析】
（1）根据，可得，根据平分，可得，进而可得；
（2）根据，可得，根据平角定义可得，根据平分，可得，进而可得的度数．
【详解】
解：（1）证明：，
，
平分，
，
；
（2），
，
，
平分，
，
．
答：的度数为．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
30．（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）532．
【解析】
【分析】
（1）根据“巧数”的定义进行判断即可；
（2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可；
（3）介于50到100之间的所有“巧数”中，最小的为：142-122=52，最大的为：262-242=100，将它们全部列出不难求出他们的和．
【详解】
解：（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”．原因如下：
因为，故400不是“巧数”，
因为2020=5062-5042，故2020是“巧数”；
（2）
∵n为正整数，
∴2n－1一定为正整数，
∴4(2n－1)一定能被4整除，
即由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数；
（3）介于50到100之间的所有“巧数”之和，
S=（142－122）+（162－142）+（182－162）+…+（262－242）=262－122=532．
故答案是：532．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用．能根据“巧数”的定义进行计算是解决此题的关键．（2）中能利用因式分解把所求的代数式进行变形是解题关键；（3）中不要先计算50到100之间的每一个巧数，根据题意先把它们的和列出来，会发现可以抵消部分，然后计算简单．