高三理科数学附加题练习.doc

高三理科数学附加题练习（1）
命题人：沈征宇 审核人：高三理科数学组
1．求使等式＝M成立的矩阵M.
解：　设M＝，则由＝
M＝＝，得
所以即M＝.

2．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到
直线C3：(t为参数)距离的最小值．
解　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，是圆心为(－4,3)，半径为1的圆．
C2：＋＝1，是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为16，短轴长为6的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，设Q(8cos θ，3sin θ)，则M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)，C3
为直线x－2y－7＝0.故M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|=
时， dmin＝.
3、若二项式(＋)n的展开式中的常数项为第五项．
(1) 求n的值；
(2) 求展开式中系数最大的项．
解：(1) ∵ Tr＋1＝Cn－r()r
x的指数为－＋＝0，
∵ n的展开式中的常数项为第五项，∴ r＝4.
解得n＝10.
(2) ∵ Tr＋1＝C10－r()r，其系数为C·210－r.
设第k＋1项的系数最大，则(6分)
化简得：即≤k≤，∴ k＝3.
即第四项系数最大，T4＝C·27·＝15 360
4．已知动圆P过点F(0，)且与直线y＝－相切．
(1) 求点P的轨迹C的方程；
(2) 过点F作一条直线交轨迹C于A、B两点，轨迹C在A、B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．

解：(1) 解：根据抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x2＝y.
(2) 证明：设A(x1，x)，B(x2，x)，∵ y＝x2，∴ y′＝2x，
∴ AN、BN的斜率分别为2x1、2x2，
故AN的方程为y－x＝2x1(x－x1)，BN的方程为y－x＝2x2(x－x2)，
即两式相减，得xN＝.又xM＝，
∴ M、N的横坐标相等，于是MN⊥x轴．

高三理科数学附加题练习（2）
命题人：沈征宇 审核人：高三理科数学组
1、设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y方向伸长为原来5倍的伸压变换．
(1)求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；
(2)求M的特征值与特征向量．
解：(1)M＝
设(x′，y′)是所求曲线上的任一点，＝，
所以所以代入4x－10y＝1得，4x′－2y′＝1，
所以所求曲线的方程为4x－2y＝1.
(2)矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－1)(λ－5)＝0，
所以M的特征值为λ1＝1，λ2＝5.(6分)
当λ1＝1时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；
当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝.
2、已知A＝，
B＝，且A∩B≠，求实数m的取值范围．
解　将代入cos2α＋sin2α＝1，
得x2＋(y－m)2＝2.
由相加，得x＋y＝6.
所以A＝，
B＝，由≤，得m∈[4,8]．
3．某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列为： ；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元.
如销售不出，则每台每月需花保管费100元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使
月平均收益最大？
【解】设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑的情况.
设电器商每月的收益为y元，
则y是随机变量的函数，且 …………………4分
于是电器商每月获益的平均数,即为数学期望

. …………………………8分
因为, 所以当时, 数学期望最大.
答：电器商每月初购进9台或10台电冰箱, 收益最大，最大收益为1500元.
………………………10分
4．已知抛物线的焦点为，直线过点.
（1）若点到直线的距离为，求直线的斜率；
（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.
解：（1）由已知，不合题意.设直线的方程为，
由已知，抛物线的焦点坐标为，
因为点到直线的距离为，所以，
解得，所以直线的斜率为 .
（2）设线段中点的坐标为，，
因为不垂直于轴，则直线的斜率为，直线的斜率为，
直线的方程为，
联立方程
消去得，
所以，
因为为中点，所以，即，
所以.即线段中点的横坐标为定值.

高三理科数学附加题练习（3）
命题人：沈征宇 审核人：高三理科数学组
1、设是矩阵所对应的变换，已知，且．设，当△的面积为，，求，的值；
（1）∵，∴．
∵，，，，，
∴，．

2、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，
曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标．
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解　(1)由ρcos＝1，得ρ＝1，所以C的直角坐标方程
为x＋y＝1，即x＋y－2＝0.
又θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)，θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为，所以MN中点P，
则点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
3、已知展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大．
（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项．
（3）求展开式中所有的有理项．
解：由题意，，
（1）展开式中二项式系数最大的项是，；
（2）由解得
为所求的系数最大的项．
（3）若为有理项，则为整数，
；

所以展开式中有理项为：，
4．某次考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生：
（1）得40分的概率；（2）所得分数的数学期望．
解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为，有一道题目做对的概率为，有一道做对的概率为，所以得40分的概率为
………4分
（2）依题意，该考生得分的范围为．
得25分是指做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为
得30分是指做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为

得35分是指做对5题，其余3题做对2题，所以概率为

得40分是指做对8题，所以概率为
得的分布列为：

25
30
35
40

所以 ………10分

高三理科数学附加题练习（4）
命题人：沈征宇 审核人：高三理科数学组
1、学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的，下周星期一则有30％改选A，若用A、B分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数.
(1)若，请你写出二阶矩阵M；（2）求二阶矩阵M的逆矩阵.
解：（1）；……………………………………………………4分
（2）设矩阵M的逆矩阵为，则由=得：，，解之得：，，………………………………………10分

2、求经过极点三点的圆的极坐标方程。
解：将点的极坐标化为直角坐标，点的直角坐标分别为，
故是以为斜边的等腰直角三角形，圆心为，半径为，
圆的直角坐标方程为，即，
将代入上述方程，得，
即.
3、已知，当时，求证： ；
⑵ .
4.（1）因为，
所以当时，=
.
　 所以． ………………………………………………………………4分
（2）由（1）得，即，

4、过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点.
（1）求证：不是直角三角形；
（2）当的斜率为时，抛物线上是否存在点C，使为直角三角形且B为直角（点B位于轴下方）？若存在，求出所有的点C；若不存在，说明理由
解：（1）①当直线斜率不存在时，显然不是直角三角形②当直线斜率存在时，焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为代入抛物线得，则有，进而，又
所以为钝角，即不是直角三角形．（2）AB方程：代入抛物线，求得，假设抛物线上存在点使为直角三角形且B为直角，此时，所以，解得对应点B，对应点C，则存在使为直角三角形，故满足条件的点C只有一个，
即．