离散数学教案全案设计—--教案.学案.doc

滁州学院计算机与信息工程学院

课程教案

课程名称：
离散数学
授课教师：
赵欢欢
授课对象：
11级网络工程专业3、4班
授课时间：
2012年9月-2012年12月

滁州学院计算机科学与信息工程学院
2012年8月

《离散数学》教学大纲
（Discrete Mathematic）
课程代码： 学时：48 学分：3
一、课程简介
本大纲根据2009版应用型人才培养方案制订。
（一）教学对象：网络工程、计算机科学与技术专业本科学生
（二）开课学期：第三学期
（三）课程类别：专业基础课
（四）考核方式：考试
（五）参考教材：《离散数学》第2版 邓辉文 清华大学出版社 2010.
主要参考书目：
[1]邵学才,叶秀明. 离散数学[M].北京电子工业出版社，2009.
[2]邵志清,虞慧群. 离散数学[M].北京电子工业出版社，2003.
[3]屈婉玲. 离散数学习题解析[M].北京大学出版社，2008.
本课程的先修课程是高等数学、线性代数，后续课程包含数据结构、数据库原理及应用、操作系统、数字逻辑、人工智能、算法分析与设计等。
二、教学基本要求与内容安排
（一）教学目的与要求
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的学科,它在各学科领域特别在计算机科学领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程必不可少的先行课程。
本课程的教学目的旨在通过对离散数学的教学，让学生不但可以掌握处理如集合、代数结构和图等离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且为学生今后提高专业理论水平，从事计算机行业的实际工作提供必备的抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
（二）教学内容安排
教学内容
教学要求
教学
方法
重点
(☆)
难点
(Δ)
学时分配
备注
讲课
实验
上机
其他
第一部分 数理逻辑

讲授

15.5

1命题逻辑的基本概念

2

1.1命题与联接词
B

☆

1

1.2命题公式及其赋值
A

☆
Δ
1

2命题逻辑等值演算

3.5

2.1等值式
B

☆

1

2.2析取范式与合取范式
A

☆
Δ
1

2.3联接词的完备集
C

0.5

2.4可满足性与消解法
B

1

3命题逻辑的推理理论

2

3.1 推理的形式结构
A

☆

1

3.2 自然推理系统P
B

Δ
1

4一阶逻辑基本概念

2

4.1一阶逻辑命题符号化
A

☆

1

4.2 一阶逻辑公式及解释
A

☆
Δ
1

5一阶逻辑等值演算与推理

3

5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
A

☆

1

5.2 一阶逻辑前束范式
A

☆

1

5.3 一阶逻辑的推理理论
A

☆
Δ
1

6数理逻辑在计算机中的应用

3

第二部分 集合论

讲授

13

1集合代数

2

1.1 集合的基本概念
B

0.5

1.2 集合的运算
A

☆

0.5

1.3 有穷集的计数
C

0.5

1.4 集合恒等式
A

☆

0.5

2二元关系

6

2.1 有序对与笛卡尔积
A

☆

1

2.2 二元关系
A

☆

1

2.3 关系的运算
A

☆

1

2.4 关系的性质
A

☆
Δ
1

2.5 关系的闭包
A

☆

1

2.6 等价关系与划分
A

☆
Δ
1

3函数

3

3.1 函数的定义与性质
A

☆

0.5

3.2函数的复合与反函数
A

☆

0.5

3.3双射函数与集合的基数
C

Δ
1

3.4 一个电话系统的描述实例
C

Δ
1

4集合论在计算机中的应用

2

第三部分 代数结构

讲授

6

1.5

1代数系统

3

1.1 二元运算及其性质
A

☆

1

1.2 代数系统
A

☆

1

1.3 代数系统的同态 与同构
B

Δ
1

2群与环

3

2.1 群的定义及其性质
A

☆

1

2.2 循环群与置换群
A

☆
Δ
2

第四部分 图论

讲授

12

1图的基本概念

2.5

1.1 图
A

☆

0.5

1.2 连通与回路
A

☆

0.5

1.3 图的连通性
A

☆

0.5

1.4 图的矩阵表示
A

☆

0.5

1.5 图的运算
A

☆
Δ
0.5

2欧拉图与哈密顿图

2

2.1 欧拉图
A

☆

0.5

2.2 哈密顿图
A

☆

0.5

2.3 最短路问题与货郎担问题
C

Δ
1

3树

1.5

3.1 无向树及其性质
A

☆

0.5

3.2 生成树
A

☆

0.5

3.3 根树及其应用
B

0.5

4平面图

3

4.1 平面图的基本概念
B

0.5

4.2 欧拉公式
B

☆

0.5

4.3 平面图的判断
B

1

4.4 平面图的对偶图
C

1

5 图论在计算机中的应用

3

（教学要求：A—熟练掌握；B—掌握；C—了解）
三、实验内容
本课程无实验
制订人（签字）： 审核人（签字）：
教 学 进 度 表

2012～2013学年第1学期
周 数 16 周 计划学时 48学时
讲 课 48 学时 课堂讨论 0 学时
实验课 0 学时 习题课 0 学时
其他环节 0 学时

授课教师姓名 赵欢欢 职称 助教
授课专业 网络工程 班级 2011级
课程名称 离散数学
教材名称 离散数学
出版社 清华大学出版社
周次
日期
周学时
其中
教学内容摘要
（章节名称、讲述的内容提要、实验的名称、课堂讨论的题目等）
讲课
实验课
习题课
课堂讨论
其他环节
第一周
9月3日至9月9日
4
4

第一讲 集合、映射与运算（一）
1.1 集合的基本概念
理论：集合、子集、幂集、n元组、笛卡尔积
第二讲 集合、映射与运算（二）
1.2 映射的有关概念
理论：映射的定义、映射的性质、逆映射、复合映射
第二周
9月10日至9月16日
2
2

第三讲 集合、映射与运算（三）
1.3运算的定义和性质
理论：运算的定义、运算的性质
第三周
9月17日至9月23日
4
4

第四讲 集合、映射与运算（四）
1.4 集合的运算 1.5 集合的划分 1.6 集合的对等
理论：集合的并、交、差、补、对称差等基本运算，集合的划分与覆盖、集合对等、可数集合、不可数集合
第五讲 关系（一）
2.1 关系的概念
理论：n元关系的定义、2元关系、关系的定义域和值域、关系的表示、函数的关系定义
第四周
9月24日至9月30日

2

2

第六讲 关系（二）
2.1 关系的运算
理论：关系的集合运算、逆运算、复合运算、关系的其他运算
第五周
10月1日至10月7日
4
4

国庆放假
第七讲 关系（三）
2.3 关系的性质 2.4 关系的闭包
理论：关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性；自反闭包r(R)、对称闭包s(R)、传递闭包t(R)
第六周
10月8日至10月14日
2
2

第八讲 关系（四）
2.5 等价关系 2.6相容关系 2.7偏序关系
理论：等价关系的定义、等价类；相容关系的定义；偏序关系的定义、哈斯图的、偏序集中的特殊元素
第七周
10月15日至10月21日
4
4

第九讲 命题逻辑（一）
3.1 命题的有关概念 3.2 逻辑联接词
理论：命题的定义与真值、原子命题和复合命题、各种逻辑连接词的含义，真假的判断
第十讲 命题逻辑（二）
3.3 命题公式及其真值表
理论：命题公式的定义、命题的符号化、命题公式的真值表、命题公式的类型
第八周
10月22日至10月28日
2
2

第十一讲 命题逻辑（三）
3.4 逻辑等值的命题公式
理论：逻辑等值的定义、基本等值式、等值演算法、对偶原理
第九周
10月29日至11月4日
4
4

第十二讲 命题逻辑（四）
3.5 命题公式的范式
理论：命题公式的析取范式和合取范式的定义域求法
命题公式的主析取范式及主合取范式的定义和求法
第十三讲 命题逻辑（五）
3.7 命题逻辑中的推理
理论：推理形式有效性的定义；基本推理规则；命题逻辑的自然推理系统
第十周
11月5日至11月11日
2
2

第十四讲 谓词逻辑（一）
4.1 个体、谓词、量词和函词
理论：谓词逻辑概念，谓词的概念与表示，量词的概念与表示，个体域，辖域，约束变元和自由变元的含义
第十一周
11月12日至11月18日
4
4

第十五讲 谓词逻辑（二）
4.2谓词公式及命题的符号化 4.3 谓词公式的解释及类型
理论：谓词公式的定义，将命题用用符号（个体，量词，谓词）来表示，消去量词的逻辑等值式，永真式，科满足式，永假式及中性式的概念
第十六讲 谓词逻辑（三）
4.4逻辑等值的谓词公式 4.5谓词公式的前束范式
理论：谓词公式等值的定义，基本等值式，前束范式
第十二周
11月19日至11月25日
2
2

第十七讲 图论（一）
6.1 图的基本概念 6.2 节点的度数6.3 子图，图的运算和图同构
理论：图的定义，邻接，关联，简单图，节点的度数，子图
第十三周
11月26日至12月2日
4
4

第十八讲 图论（二）
6.4 路与回路 6.5图的连通性
理论内容：路，回路，无向图的连通性，无向连通图的点连通度与边连通度，有向图的连通性
第十九讲 图论（三）
6.6 图的矩阵表示 6.7 赋权图及最短路径
理论内容：图的邻接矩阵，可达矩阵，关联矩阵，赋权图，最短路径
第十四周
12月3日至12月9日
2
2

第二十讲 图论（四）
7.1 欧拉图
理论内容：欧拉图的有关概念，欧拉定理，中国邮递员问题、Hamilton 图
第十五周
12月8日至12月16日
4
4

第二十一讲 图论（五）
7.2 无向树 7.3 有向树
理论内容：树的基本概念，最小生成树，二叉树的遍历与表达式的计算
第二十二讲 代数结构（一）
5.1 代数结构简介
理论内容：代数结构的定义，半群及独异点，子代数，代数结构的同态与同构
第十六周
12月17日至12月23日
2
2

第二十三讲 代数结构（二）
5.2 群的定义及性质
理论内容：群的有关概念，子群，群的同态
第十七周
12月24日至12月30日
2
2

第二十四讲 总复习

系主任签名： 院长签名：
年 月 日 年 月 日
说明：1．本教学进度表由主讲教师负责填写，于每学期开学第一周内送交教师所在系，经领导审定、签字后备查。
2．此表一式三份，其中，任课教师一份，教师所在系一份，教务处一份。

第一讲：集合、映射和运算（一）

一、教学目标
1. 掌握集合的概念与表示
2. 理解子集、幂集、 n元组与笛卡儿积的概念
3.掌握子集，幂集，笛卡尔积的求法
二、重点与难点分析
1.重点：集合的概念，子集，幂集，笛卡尔积的概念及求法
2.难点：幂集
三、 教学内容与教学过程
1.进行自我介绍（5分钟）
姓名，联系方式，专业方向。建议学生用电子邮件方式联系。
2.进行课程简介（10分钟）
离散数学是研究离散量的结构及相互之间关系的学科
是一门专业基础课，是数据结构、操作系统、计算机组成原理、数据库原理等课程的数学基础。
特点：知识点集中，概念，定理多；方法性强；学数学就要做数学
成绩评定：平时成绩(到课情况，书面作业，平时测验)占30%,期末考试占70%
3.进入主题，开始第一讲
(1) 集合的有关概念(20分钟)
①集合
定义：集合是具有某种特定性质的对象汇集成的一个整体，通常用大写字母A,B,C,D表示。
例如：滁州学院全体学生
计算机与信息工程学院所有女生
常见的数的集合：N,N+,Z,Q,R,C
②元素
集合中的每一个对象称为该集合的元素，通常用小写字母a,b,c,d,x,等表示
例如：滁州学院的每个学生
计算机与信息工程学院的每个女生
N：0、1、2、3…
③集合的表示方法
列举法：Z={…,-2,-1,0,1,2,…}
描述法：{x|x是自然数且x小于10}
递归法
文氏图：
特殊集合：全集U,空集
④元素与集合
x∈A或
|A|表示集合A中的元素个数
注意：集合中的元素可以是集合，如A={a,{a,b},b,c},|A|=4,{a,b}∈A
注：集合中的元素无顺序；集合中无重复元素
例：指出下列哪些是集合，哪些不是集合？
中国人的集合；
百货商店里好看的花布的集合；
1000以内的素数的集合；
26个英文字母组成的集合；
这个班里高个子学生的集合；
直线y＝2x-5上的点的集合。
(2)集合之间的关系
①子集（15分钟）
定义：若A中的任意元素都属于B，则A是B的子集，称A包含于B或B包含A，，包括的两层含义：包含与真包含（A≠B），，A是B的真子集
注意：属于（元素与集合的关系）与包含于（集合与集合的关系）的区别
例：A={1,2,3,4}，B={2,4}
或
定理1-1：A
定理1-2：（自反性）
则A=B
则（传递性）
用定义进行证明
定理1-3：A=B的充要条件是
注：该定理是证明两个集合相等的基本方法
该定理与定理1-2中的(2)的区别
例1-2
注：A中有一个元素不属于C，则，反证法是一种很好的方法
②幂集（15分钟）
定义：由X的所有子集组成的集合，
例：x={1,2}
，
Y={a,b,c}

例1-3
注：若|X|=n,P(x)的元素有：；由一个元素构成的子集；由两个元素构成的子集；…由n个元素构成的子集
计数的基本原理：
加法原理：图示
乘法原理：图示
定理1-4：若|X|=n,|P(X)|=2n
证明：
加法原理：二项式定理：

乘法原理：
注：每个元素的参与与否构成不同的子集
③n元组（5分钟）
定义：论域U中选取的n个元素按照一定的顺序排列，得到n元有序组，称n元组，记为：(x1,x2,x3,…,xn)或<x1,x2,x3,…,xn>
例：平面直角坐标系中点的坐标是2元组；空间直角坐标系中点的坐标是3元组；n元组在数据结构中是一个表
有序对，序偶：2元组
注：(x,y)≠(y,x)
④笛卡尔积（10分钟）
定义：设是集合，称为A1,A2,…An的笛卡尔积（直积，叉积），记为：
例：A={a,b},B={1,2}，
例1-4
注：
一般来说，
定理1-5：若|A|=m,|B|=n,则||=m×n

4. 教学小结（5分钟）
本讲首先介绍了集合的概念与表示方法，接着介绍了集合之间的关系——子集与幂集，n元组，笛卡尔积的概念及相关定理。

四、 作业与实验（5分钟）
1. 书面作业：习题1.1 1、2、3、7、10
2. 上机作业：无

第二讲：集合、映射和运算（二）
一、教学目标
1. 掌握映射的概念与表示
2. 理解映射的三种性质：单射、满射、双射，会判断某个具体映射是否具有这些性质
3.掌握逆映射的含义，复合映射的定义及性质
二、重点与难点分析
1.重点：理解和判断映射的三种性质，逆映射，复合映射
2.难点：映射三种性质的判断，复合映射的性质
三、教学内容与教学过程
1.习题讲解（10分钟）
2.上讲内容回顾（3分钟）
集合的概念：集合、元素、集合的表示方法
集合间的关系：子集、幂集、n元组、笛卡尔积
(1)映射的定义（15分钟）
定义：对于A,B,若存在对应法则f，对于，唯一的与它对应，称f是A到B的一个映射或一个函数。记为：f:A→B （图示）
例：Ceiling function
Floor function
取整函数
定义域：自变量x的取值范围
值域：函数值y的取值范围
像：为X在映射f下的像
原像：为Y在映射f下的原像
注：全函数即=A；为x在映射f下的像
：A到B的所有映射组成的集合
定理1-6：|A|=m,|B|=n,则（证明）
(2)映射的性质
①单射(一对一映射)（10分钟）
定义：，可推出x1=x2
或 ，若x1≠x2，可得出
例1-6：设则f是N到N的单射，试证明之。
证：对于，由得出，进而x1=x2
(使用定义证明)
②满射（10分钟）
定义：对于，使得y=f(x)
充要条件：=B
例1-7：设，则f是Z到N的满射，试证明之。
证：对于取,显然有
（使用定义证明）
③双射（一一对应）（5分钟）
定义:既单射又满射
例1-8
例1-9：建立一个（0,1）到R的一一对应
解：
置换：A到A的双射
(3)逆映射（逆函数，反函数）（10分钟）
定义：f:A→B，将f的方向逆转后，得到的集合B到集合A的映射
定理1-7：f的逆映射存在的充要条件是f是双射
（加以说明解释）
注：若f是双射，则也是双射，且
例1-11：判断所给出的映射是否有逆射，若有，求出其逆映射
①
②
解：①∵f(2)=f(-2)=4,
∴根据单射定义知f不是单射，进而其不是双射，根据定理1-7知其不存在逆映射
②显然g是双射，其逆映射为
(4)复合映射（20分钟）
定义:设对于，令，则h是A到C的映射，h为f和g的复合映射或复合函数，记为（图示）
注：
条件:
例1-12
例1-13
注：一般来说即使和都有意义，也不能保证成立
恒等映射(IA)：
定理1-9：若是双射，则
若是双射，则

定理1-10：
若f和g是单射，则是单射（证明）
若f和g是满射，则是满射（证明）
若f和g是双射，则是双射且

定理1-11：设
若是单射，则f是单射，但g不一定（证明）
若是满射，则g是满射，而f不一定（证明）

定理1-12 设，则

4. 教学小结（5分钟）
本讲首先介绍了映射（函数）的定义及定义域、值域、像、原像等相关概念；接着介绍了映射的三种性质：单射，满射，双射；最后介绍了逆映射的定义及复合映射的定义及其具有的相关性质。

四、 作业与实验（2分钟）
1. 书面作业：习题1.2 1、2、6、11、14.
2. 上机作业：无
第三讲：集合、映射和运算（三）

一、教学目标
1. 理解运算的定义
2. 掌握运算的表示及常用运算
3. 理解运算的性质并能判断具体运算是否具有某些性质
二、重点与难点分析
1.重点：运算的定义，运算的性质
2.难点：运算性质的判定
三、教学内容与教学过程
　 1.习题讲解（5分钟）
2.上讲内容回顾（5分钟）
映射的定义
映射的性质：单射，满射，双射
逆映射
复合映射
3.进入主题，开始第二讲。
本讲知识点概括
(1)运算的定义（25分钟）
①定义:设和B是集合，若，称f为到B的n元运算。
A到B的n元运算，或A上的n元运算：
A上的n元封闭运算（代数运算）：
，有
例：判定取绝对值运算||、加法运算+、取大运算max是否是自然数集合N(Z)上的代数运算。
解：

例：判定减法运算-,取小运算min是否是自然数集合N上的代数运算。
解：
例：判断数的加法运算是否是集合A={2n |n∈N}上的代数运算？
解：
例：将十进制数273转换成八进制
解： 273=, ,

②模运算
定义：，是使成立的整数r,即x除以m的余数。
例：16(mod 3)、-8(mod 5)、9(mod 2)
模m加法，模m乘法

例：m=5,
③最大公约数，最小公倍数
若d|m且d|n,则d是m,n的公约数，用gcd(m,n)表示m,n的最大公约数
若m|d且n|d，则d是m,n的公倍数，用lcm(m,n)表示m,n的最小公倍数。
注：Gcd与lcm分别记为[,]和（，）
gcd(m , n)= gcd(|m| ,| n|)且lcm(m, n)=lcm(|m|, |n|)
素因数分解：（对于大于1的正整数n都可以分解成一些素数乘积）

Euclid算法

例1-19
若gcd(m,n)=1,称m和n互素。
欧拉函数：表示小于等于n且与n互素的正整数的个数
④运算表
给定集合A，则集合A上的1元或2元运算可以用运算表来表示
例：A={a,b,c},*
*
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
c
c
b
c
a
思考：A上的封闭的1元，2元，3元运算的个数是多少？
33 39 327
(2)运算的性质
①对合性（5分钟）
定义：设*是A上的一元代数运算，
例：

？
②幂等性（5分钟）
幂等元：
定义：A中的每个元素对于*都是幂等元
例：
*
1
2
3
1
1
2
3
2
2
3
2
3
3
1
3
例：
③交换性（5分钟）
定义：对于A上的二元运算*,,均有
例：R上的+具有交换性
R上的-，映射的复合运算?
④结合性（5分钟）
定义：
例:映射的复合运算具有结合性
R上的+具有结合性
R上的- ？
⑤单位元素（幺元素）（5分钟）
定义：对于A上的二元运算*，，使得对于

例：R关于加法运算+的单位元素是0
R关于乘法运算的单位元素是1
R关于减法运算-的单位元素是？
定理1-3：若A关于* 有单位元素，则单位元素是唯一的
证明：设e1,e2是A关于*的单位元素，则e1=e1*e2=e2
⑥零元素（5分钟）
定义：对于A上的二元运算*，，使得对于

例:R关于乘法运算的零元素是0
R关于减法运算-的零元素是？
R关于加法运算的零元素是？
定理1-4：若A关于* 有零元素，则零元素是唯一的
证明：设e1,e2是A关于*的零元素，则e1=e1*e2=e2
⑦逆元素（5分钟）
前提：A关于二元运算*有单位元素e
定义：，使得：

例：R上的加法运算+：x+(-x)=0=(-x)+x
R上的乘法运算：
注：逆元不一定存在，存在不一定唯一，参见表1-5
定理1-5：若A关于*运算有单位元素为e且*运算满足结合律，若对于A中的x有左逆元y与右逆元z，则y=z,此逆元唯一
证明：y*x=e,x*z=e
y=y*e=y*(x*z)=(y*x)*z=e*z=z
⑧消去性（分钟）
定义：若A关于*有零元，则记为，对于，若

例1-31 Z上的加法运算+和乘法运算×均满足消去律.
⑨分配性（5分钟）
定义：是A上的两个二元运算，对于

则称*关于是可分配的
⑩吸收性（2分钟）
定义：是A上的两个二元运算，对于

则称*关于是可吸收的
德摩根律（3分钟）
定义：是A上的一元运算，是A上的两个二元运算，对于

4. 教学小结（3分钟）
本讲首先介绍了运算的定义并介绍了几种常用的运算，接着介绍了运算的性质：对合性、幂等性、交换性、结合性、单位元素、零元素、逆元素、消去性、分配性、吸收性、德·摩根律，并结合之前所学知识讲解运算的性质。
四、 作业与实验（2分钟）
1. 书面作业：习题1.3：1、3、5、6、8
2. 上机作业：无

第四讲：集合、映射和运算（四）

一、教学目标
1.掌握集合的各种运算
2.理解各种集合运算所满足的性质
3.掌握集合的划分与覆盖的概念
4.了解集合的对等，集合的基数，可数集合等概念
二、重点与难点分析
1.重点：集合的运算——并、交、补、差、对称差
集合运算性质
2.难点：集合运算等值式的证明，集合的对等、基数
三、 教学内容与教学过程
1.上讲内容回顾（5分钟）
运算的定义
运算的性质：对合性、幂等性、交换性、结合性、单位元素、零元素、逆元素、消去性、分配性、吸收性、德·摩根律
2.进入主题、开始第四讲
本讲知识点概括
(1)集合的运算
①并运算（15分钟）
定义：

定理1-16：是包含A和B的最小集合

定理1-17：并运算满足的性质：
（交换律）
（结合律）
（幂等律）
（是∪运算的单位元素）
（是∪运算的零元素）
例1-38:设f : A ® B, X, Y Í A, 则证明：
证明：

②交运算（15分钟）
定义：

定理1-18：是包含在A和B的最大集合

定理1-19：交运算满足的性质：
（幂等律）
（交换律）
（结合律）
（是运算的零元素）
（U是运算的单位元素）
例：
定理1-20：并运算与交运算之间满足的性质：

例1-41：
证：

③补运算（10分钟）
定义：

例1-42：（A的补集依赖于全集U的选取）
A={a,b,c}
U={a,b,c,d}

定理1-21：
定理1-22：德·摩根律：

P25：
④差运算（10分钟）
定义：

例1-43：
定理1-23：
证明：
例1-45：证明：
证：
例1-46：
例1-47：

⑤对称差运算（10分钟）
定义：

例
定理1-24：
容斥原理
形式：
或：
例：求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整
除数有多少个？
解： |S| = 1000
|A|=ë1000/5û=200, |B|=ë1000/6û=166
|AÇB| = ë1000/lcm(5,6)û = ë1000/33û = 33

（2）集合的划分与覆盖（12分钟）
①划分
定义：

其中：
例1-53： 设A = {a, b, c}, 则A的所有不同的划分分别为:

②覆盖
设A是集合, 由A的若干非空子集构成的集合称为A的覆盖, 如果这些非空子集的并等于A.

（3）集合的对等（10分钟）
定义：A ～B 存在双射f : A ® B.
例：(0, 1) ～ R
集合的基数：无限集合A
若集合A和B对等, 则称这两个集合的基数相同.例：
可数集合：能与自然数集合N对等的集合
3. 教学小结（2分钟）
本讲首先介绍了集合的各种运算（并，交，补，差，对称差）及其满足的性质，接着介绍了集合的划分与覆盖的概念；最后介绍了集合对等、集合的基数及可数集合。
四、 作业与实验（1分钟）
1. 书面作业： 习题1.4 5、8、10、13.
习题1.5：1、7
2. 上机作业：无

第五讲：关系（一）

一、教学目标
1. 掌握关系的概念尤其是二元关系的概念
2. 掌握关系的定义域和值域
3. 掌握关系的三种表示方法
4. 理解函数的关系定义
二、重点与难点分析
1.重点：二元关系概念、关系的三种表示方式、函数的关系定义
2.难点：关系的概念
三、 教学内容与教学过程
1.习题讲解（15分钟）
2.上章内容回顾（5分钟）
集合的有关概念
映射的有关概念
运算的定义与性质
集合的运算、集合的划分与覆盖、集合的对等
3.进入主题，开始第五讲
本讲知识点介绍
(1)关系的定义
①关系的概念（15分钟）
引例：A = {张三, 李四, 王五};
B = {英语, C语言, 离散数学, 数据结构, 汇编语言};
C = {优, 良, 合格, 不合格}.
A与B之间的关系R = {(张三, 离散数学), (张三, 数据结构), (张三, 英语), (李四, 数据结构), (王五, C语言), (王五, 汇编语言)} Í A ´ B.
A, B与C之间的关系S = {(张三, 离散数学, 优), (张三, 数据结构, 良), (张三, 英语, 优), (李四, 数据结构, 优), (王五, C语言, 合格), (王五, 汇编语言, 良)} Í A ´ B ´ C.
定义：是集合， ，则R为间的n元关系
特别的 为A上的n元关系
注（两层含义）：集合、关系
例：A={王，李，张，黄}，B={100米，400米，铅球，跳远}，C={第一名，第二名，第三名，优秀奖}
R={(王，100米，第二名)，（李，铅球，优秀奖），（张，100米，第一名），（黄，跳远，第二名）}
二元关系的定义：两个集合A和B（可以相同）之间的关系称为二元关系
A到B的关系：
A上的关系：
例：A={甲，乙，丙}
R={(乙，甲)，（乙，丙），（甲，丙）}
注：(x,y)表示x胜y
例：A={张三，李四，王五}，B={教师，辅导员，导师}
R={（张三，辅导员），（张三，教师），（李四，教师），（王五，导师），（王五，教师）}
例2-1：
例：A={a,b},R是P(A)上的包含关系，R={(x,y)|x,y∈P(A)且}
P(A)=
注意：关系的次序
定理2-1：若，则A到B的关系有
若，则A上的关系有
注：A到B的关系是A×B的子集
②三种特殊的关系（5分钟）
空关系：A到B的空关系
A上的空关系
全关系：A到B的全关系
A上的全关系
恒等关系：
例：A={0,1,2}
={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
IA={(0,0),(1,1),(2,2)}
③关系符号（10分钟）
定义：若(x,y) ,则可记为
例：实数集合R上的大于“>”关系：
例：整数集Z上的整除关系“|”

整除性质：
例：模m同余关系