高三数学小题综合限时练（四）.doc

(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合M＝{x|x2－4x＜0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3＜x＜n}，则m＋n等于(　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
解析　∵M＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|m＜x＜5}，且M∩N＝{x|3＜x＜n}，∴m＝3，n＝4，∴m＋n＝3＋4＝7.故选C.
答案　C
2.复数1＋(i是虚数单位)的模等于(　　)
A. B.10
C. D.5
解析　∵1＋＝1＋＝1＋2＋i＝3＋i，
∴其模为.故选A.
答案　A
3.下列有关命题的说法正确的是(　　)
A.命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
B.“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C.命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
D.命题“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＞0”
解析　“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，∴其逆否命题也为真命题，则A正确；由x＝－1，能够得到x2－5x－6＝0，反之，由x2－5x－6＝0，得到x＝－1或x＝6，∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，则B不正确；命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，则C不正确；命题“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，则D不正确.故选A.
答案　A
4.某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X～N(100，a2)(a＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不合格(低于90分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为(　　)
A.400 B.500
C.600 D.800
解析　∵P(X≤90)＝P(X≥110)＝，∴P(90≤X≤110)＝1－＝，
∴P(100≤X≤110)＝，∴1 000×＝400.故选A.
答案　A
5.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加(　　)
A.尺 B.尺
C.尺 D.尺
解析　依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d，则5×30＋d＝390，解得d＝.故选B.
答案　B
6.多面体MN－ABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是(　　)

A. B.
C. D.
解析　将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE为正方形，SBCFE＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴VN－BCFE＝×4×2＝.可将三棱柱补成直三棱柱，则VADM－EFN＝×2×2×2＝4，
∴多面体的体积为.故选D.
答案　D
7.已知直线l：x＋y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0相交于A、B两点，若△ABC为等腰直角三角形，则m＝(　　)
A.1 B.2
C.－5 D.1或－3
解析　△ABC为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的.圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心到直线l的距离d＝，依题意得＝，解得m＝1或－3.故选D.
答案　D
8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n后，输出的S∈(31，72)，则n的值为(　　)

A.5 　　　 B.6
C.7 　　　 D.8
解析　由程序框图知，当S＝1时，k＝2；当S＝3时，k＝3；当S＝7时，k＝4；当S＝15时，k＝5；当S＝31时，k＝6；当S＝63时，k＝7.∴n的值为6.故选B.
答案　B
9.若函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈，则x0＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题意得＝，T＝π，ω＝2，又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，而x0∈，∴x0＝.故选A.
答案　A
10.已知向量a、b的模都是2，其夹角是60°，又＝3a＋2b，＝a＋3b，则P、Q两点间的距离为(　　)
A.2 B.
C.2 D.

解析　∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2×2×＝2，＝－＝－2a＋b，∴||2＝4a2－4a·b＋b2＝12，∴||＝2.故选C.
答案　C
11.设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交双曲线左支于A、B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)
A. B.11
C.12 D.16
解析　由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，两式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，∴|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.故选B.
答案　B
12.设x，y满足时，则z＝x＋y既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A.a＜1 B.－＜a＜1
C.0≤a＜1 D.a＜0
解析　满足的平面区域如图所示：而x－ay≤2表示直线x－ay＝2左侧的平面区域，
∵直线x－ay＝2恒过(2，0)点，
当a＝0时，可行域是三角形，z＝x＋y既有最大值也有最小值，满足题意；当直线x－ay＝2的斜率满足＞1或＜－2，
即－＜a＜0或0＜a＜1时，
可行域是封闭的，z＝x＋y既有最大值也有最小值，
综上所述，实数a的取值范围是－＜a＜1.
答案　B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形的面积是______.
解析　作出如图的图象，联立解得
或即点A(1，1)，
∴所求面积为S＝(－x2)dx＝0＝.
答案　
14.若x、y满足约束条件若目标函数z＝ax＋3y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围为________.
解析　画出关于x、y约束条件的平面区域如图所示，当a＝0时，显然成立.当a＞0时，直线ax＋3y－z＝0的斜率k＝－＞kAC＝－1，∴0＜a＜3.当a＜0时，k＝－＜kAB＝2，∴－6＜a＜0.综上所得，实数a的取值范围是(－6，3).
答案　(－6，3)
15.已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若区间[－1，3]上，函数g(x)＝f(x)－kx－k有3个零点，则实数k的取值范围是________.
解析　根据已知条件知函数f(x)为周期为2的周期函数；且x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|；而函数g(x)的零点个数便是函数f(x)和函数y＝kx＋k的交点个数.
∴①若k＞0，如图所示，当y＝kx＋k经过点(1，1)时，k＝；当经过点(3，1)时，k＝.∴＜k＜.②若k＜0，即函数y＝kx＋k在y轴上的截距小于0，显然此时该直线与f(x)的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k＝0，得到直线y＝0，显然与f(x)图象只有两个交点.综上所得，实数k的取值范围是.
答案　
16.已知数列{an}满足a1＝－1，a2＞a1，|an＋1－an|＝2n，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an＝________.

解析　由题意得a1＝－1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－11，a6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得an＋1－an＝(－1)n＋12n，则利用累加法即得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n2n－1＝＝.
答案