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做数学题不能光凭直觉和猜想

【摘要】通过教学六年级数学《容积的练习课》一课，我首先创设情
境，拿出一张白纸让学生用不同角度去围成两个圆柱体，然后学生凭直
觉和猜想都认为它们的容积是相等的，但是经过计算才发现原来的猜测
是错误的，这样学生产生了认知冲突，进一步刺激学生去探索知识的奥
秘。当学生又一次猜想“围成的两个圆柱容积之比等于这张白纸的长与
宽之比”时，经过我的点拨，引导学生推理、验证，得到证明，让学生
体验了成功的快乐，同时使学生悟出了一个道理：做数学题不能光凭直
觉和猜想，还要理论验证我们发现的结论。

一、案例背景
我在数学课堂教学中，发现学生做数学题目的时候，往往凭自己的直觉和猜想的，缺乏理论验证。当然，直觉和猜想是非常重要的，直觉和猜想是培养学生思维能力的重要途径和方法，但是，有时直觉和猜想是完全错误的，会让人上当的。
《数学新课程标准》指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”因此，学生做数学题时仅仅凭直觉和猜想是远远不够的，还要通过计算、推理验证等活动，让学生真正经历获取知识的过程。
我在上六年级数学《容积的练习课》时，有足够的时间和空间让学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，全班学生悟出了一个道理：做数学题有时候不能光凭直觉和猜想，还要理论验证我们发现的结论。
二、案例描述
下面是我教学六年级数学《容积的练习课》的课堂片断实录：
（一）教学片断一：创设情境，提出问题
师：（拿出一张长方形白纸）同学们，这张白纸你能把它围成一个圆柱吗？
男生：我能。
（这位同学上讲台演示，只见他横着围，以白纸的长围成圆柱的底面的周长，宽就成了圆柱的高。）
师：你还有其他的围法？
男生：我还有另外一种围法。（只见他把白纸竖着围成一个圆柱，把白纸的宽围成圆柱的底面周长，长变成了圆柱的高。）
师：同学们，刚才围成的两个圆柱，侧面积相等吗？
生：（大家异口同声地回答）相等。
师：接头处、白纸厚度都不考虑，两个圆柱的容积相等吗？
生：（大部分同学回答）相等。
师：凭什么说这两个圆柱的容积相等？
生：这两个圆柱同是一张白纸围成的，我是凭直觉和猜想，容积应该相等。（大家都点头表示赞同这位同学的观点。）
（二）教学片断二：通过计算，发现问题
师：同学们说这两个圆柱的容积相等是凭直觉和猜想的，有没有办法去验证？
生：老师，这张白纸的长与宽都没有告诉我们，那怎么算？
师：我就告诉学生这张白纸的长是18.84厘米，宽是12.56厘米，让大家计算刚才围成的两个圆柱的容积。（一会儿，有人算出答案了。）
生：沿着长围成的圆柱容积是354.9456立方厘米，沿着宽围成的圆柱容积是236.6304立方厘米。
（同学们感到很奇怪，两个圆柱体明明是同一张白纸围成的，为什么容积不一样呢？）
（三）教学片断三：引导探索，推理验证
师：同学们，有时光凭直觉和猜想是远远不够的。那么，这两个圆柱的容积之比是多少？
（有人借助计算器很快算出结果是3 ：2，我又叫学生算出白纸的长与宽的比，一会儿他们惊奇地发现白纸的长与宽的比也是3 ：2。）
生：这两个圆柱的容积之比等于这张白纸的长与宽之比，这是不是巧合呢？(大家又在猜想。)
生：老师，换成其它的白纸，算一算，是否也一样？
(我就拿出另外一张白纸，长12.56厘米，宽9.42厘米，让他们计算。)
生：（惊叫起来）老师，我发现围成的两个圆柱容积之比还是等于这张白纸的长与宽之比。
师：同学们，有没有办法用理论去证明我们的发现呢？（大家都被难住了，无法从理论上证明它。）
师：（后来，经过我的点拨）同学们，把白纸的长设为a，宽设为b，你们再做一做吧！
生：老师，那围成的两个圆柱容积之比就是：3.14×（a÷3.14÷2）×（a÷3.14÷2）×b与3.14×（b÷3.14÷2）×（b÷3.14÷2）×a之比，利用比的基本性质，然后化简成最简比就是a ：b，白纸的长与宽之比也是a ：b，这样完全得到了理论证明。
师：你真棒！掌声鼓励！（课堂上响起一阵雷鸣般的掌声，有的学生高兴得叫起来，大家都沉浸在成功的喜悦中……）
三、问题讨论
在数学课堂上，利用直觉和猜想是探索知识的重要步骤，可是直觉和猜想有时会错误的，影响了学生的学习研究，这就需要我们引导学生去计算、验证，理论证明发现的正确结论。但是，从理论上去证明不是一件容易的事，学生往往束手无策，那怎么办呢？我认为这时，有必要给学生做适当的点拨和提示。否则，放手让学生自己去独立研究，课堂上是难以把握时间的。
四、案例反思
1．创设情境，发现问题，产生认知冲突，激发探索热情。
《数学课程标准》提出数学教学的“过程性目标”，并且要达到“经历”、“体验”、“探索”三个层次要求。这表明小学数学教学不但要完成向学生传授知识训练技能的任务，而且还要引导学生参与到探索知识发展的过程中。尤其是学生产生认知上的冲突，就会激起主动去探索的欲望和热情，学生的思维处在饱满的状态。本案例中，我首先创设情境，拿出一张白纸让学生用不同角度去围成两个圆柱体，然后学生凭直觉和猜想都认为它们的容积是相等的，但是通过计算发现原来的猜测是错误的，这样学生产生了认知冲突，猜测与实际不符，进一步刺激学生去探索知识的奥秘。
2．适当点拨，引导学生用理论去验证，不能光凭直觉和猜想。
在上述案例中，一张白纸竖着和横着围成的两个圆柱，学生凭直觉和猜想都认为它们的容积是相等的，但是通过计算发现原来的猜测是错误的，在事实面前，学生感悟到做数学是不能光凭直觉和猜想的，还需要理论验证。
当学生又一次猜想“这两个圆柱的容积之比等于这张白纸的长与宽之比，是不是巧合呢？”用另外一张白纸做实验，学生发现“围成的两个圆柱容积之比还是等于这张白纸的长与宽之比”。仅仅停留在此，我觉得不够，这两个实例是否还是特例呢？因此，需要理论去验证。可是，从理论上证明，对小学生说有时确实很难，怎么办呢？正需要教师的点拨、引领。上述片段三中，我就引导学生从理论上一步一步去假设、推理、验证，终于得到证明，让学生体验了成功的快乐。再一次，让学生经历“猜想——推理——验证”的过程。
3．遇到的困惑
在上述案例中，我发现学生对自己的猜想作出理论证明有时非常困难，如何适当启发学生去推理、证明？这是我遇到的教学困惑，如果都按照教师自己预设的思路去推理验证，恐怕会熄灭学生思维碰撞的火花，不利于学生的创新能力的培养；如果放手让学生去探索理论验证，课堂上时间难以把握。这有待于我们进一步去研究。
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