江苏省姜堰市蒋垛中学高三期初考试数学试题(含答案).doc

姜堰市蒋垛中学2012～2013学年度第二学期期初调研测试
高三数学试题
(考试时间：120分钟 总分160分)
命题人：刘小明 审题人：宋元海
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1.已知集合,且集合，则实数的值为 ▲
2.计算 ▲ （为虚数单位）
3.已知向量，则 ▲
4.圆的半径为 ▲
5.双曲线的离心率为 ▲
6.已知数列{an}满足a1 = 1，an + 1 = 2an，则该数列前8项之和S8 = ▲
7、点在函数的图像上，则该函数在点处的切线方程为 ▲
8.将个数平均分为两组，第一组的平均数为，第二组的平均数为，则整个数组的
平均数是 ▲
9.已知函数，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 ▲
10. 已知直线的充要条件是a= ▲
11. 已知实数满足，，则的取值范围是 ▲
12.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的
不等式恒成立，则的最大值为 ▲
13.已知数列的通项公式为，若对任意的，都有，则实数 的取值范围为 ▲
14. 已知∈R，则的最大值为
　　▲ 　　
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）设的内角的对边分别为
（1）求证：；
（2）若，试求的值

16．（本题满分14分）

第16题图
如图，在四棱柱中，已知平面平面且,.
（1） 求证：
（2） 若为棱上的一点，且平面，求线段的长度

17. （本题满分14分）已知函数，
(1)求函数的极大值和极小值；
（2）已知，求函数的最大值和最小值。
（3）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

18. （本题满分16分）如图，海岸线，,现用长为6的拦网围成一养殖场，其中．
(1)若BC = 6，,求养殖场面积最大值；
(2)若AB = 2，AC = 4，在折线内选点， 使
BD + DC = 6，求四边形养殖场DBAC的最大面积（保留根号）．

19．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20. （本题满分16分）定义数列：，当 时，。
（1）当时， 。
①求：； ②求证：数列中任意三项均不能够成等差数列。
（2）若r≥0，求证：不等式（n∈N*）恒成立。
姜堰市蒋垛中学2012～2013学年度第二学期期初调研测试参考答案
1、0 2、 3、 4、5 5、 6、255
7、 8、45 9、 10、-1 11、[1,5] 12、-4
13、[6,12] 14、

15、(1)运用余弦定理…………………………6分
（2）由（1）知：
即：
即：
即：
所以：……………………………………………………14分
16、（1）…………………………6分
（2）…………………………………………………14分…
17.解（1）
的极大值为
的极小值为…………………………4分
（2）令，则=，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
，，，
的最大值为，最小值为。…………………………9分
（3）由（1）可得，或
或…………………………14分
18. 解：(1)设
，
…………………………………………4分
，
所以，△ 面积的最大值为，当且仅当时取到．………7分
(2) BC = 2，由DB + DC = 6，知点在以、为焦点的椭圆上，
．…………………………………………10分
只需面积最大,需此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点．
面积的最大值为，
因此,四边形ACDB面积的最大值为……………………14分
19．解：（1），.，化简得，
故椭圆E的离心率为.…………………………………………5分
（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，
，从而，，左焦点，椭圆E的方程为.…………8分
设，，，，则直线的方程为，
代入椭圆方程，
整理得，.，.从而，
故点.同理，点.
三点、、共线，，从而.
从而
故，从而存在满足条件的常数。.…………………………………14分
20、解：（1）当时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8.从而猜出数列、均为等比数列。
∵，
∴数列、均为等比数列，∴。
①∴，
，
∴………………………………4分
②证明（反证法）：假设存在三项是等差数列，
即成立。
因均为偶数，设，，，（），
∴即
∴，而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾。……………8分
（2）∵，∴，
∴是首项为，公比为2的等比数列，
∴。
又∵，
∴，
∴是首项为，公比为2的等比数列，
∴ 。
∴，
∴
。
∵，∴。∴。………………………………………16分
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