专题分类与整合思想.doc

个性化教案
专题　分类与整合思想
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
苏教版
课时时长（分钟）
120
知识点
由数学概念而引起的分类讨论
由数学运算要求而引起的分类讨论
由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论
由图形的不确定性而引起的分类讨论
由参数的变化而引起的分类讨论
教学目标
掌握分类与整合思想，学会应用
教学重点
利用分类与整合思想求解问题
教学难点
利用分类与整合思想求解问题
教学过程
一、复习预习
在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．
二、知识讲解
考点1 由数学概念、运算引起的分类讨论
考点2 由图形或图象引起的分类讨论
考点3 由参数引起的分类讨论
三、例题精析
【例题1】
【题干】函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为 ________
【例题2】
【题干】 设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且＞.求的值．

【例题3】
【题干】 已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1.讨论函数f(x)的单调性．

四、课堂运用
【基础】
1.
【题干】已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是 (　　)
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．以上都不对
2.
【题干】若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是 __________

3.
【题干】 已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值．

4.
【题干】 是否存在非零实数a，使函数f(x)＝ax2＋(a－2)x＋1在[－2,3]上的最大值为？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

5.
【题干】(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【巩固】
1.
【题干】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ等于 ________

2.
【题干】(2012·四川)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是 (　　)

3.
【题干】(2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A若
⊆A，则实数a的取值范围是_________

【拔高】
1.
【题干】(2012·北京)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．

2.
【题干】函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是 (　　)
A．[0,1] B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4
3.
【题干】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1都相切，则双曲线C的离心率是 (　　)
A.或 B．2或
C.或2 D.或
课程小结
1． 分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．
2． 中学数学中可能引起分类讨论的因素：
(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．
(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．
总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．
课后作业
【基础】
1.
【题干】直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝________.

2.
【题干】若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则它的通项公式an＝________
3.
【题干】 若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围为________________．
4.
【题干】 若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝∅，则实数p的取值范围是
(　　)
A．p>－4 B．－4<p<0
C．p≥0 D．R
【巩固】
1.
【题干】抛物线y2＝4px (p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
2.

【题干】(2012·湖北)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
3.
【题干】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)

4.
【题干】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为 (　　)
A. B．4 C. D．4或
5.
【题干】已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为 (　　)
A. B.
C.或 D.或

6.
【题干】函数f(x)的图象如图所示，f(x)为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为 (　　)

A．(－3,0)∪(0,3)
B．(－∞，－3)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3,0)∪(3，＋∞)

【拔高】
1.
【题干】(2012·山东)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
2.
【题干】已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为________．
3.
【题干】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是____________．

．
4.
【题干】已知a>0，命题p：函数y＝ax (a≠1)在R上单调递减，命题q：不等式|x－2a|＋x>1的解集为R，若p和q有且只有一个是真命题，则a的取值范围是________．

5.
【题干】已知函数f(x)＝－aln x＋＋x(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．

6.
【题干】已知函数f(x)＝2asin2x－2 asin xcos x＋a＋b(a≠0)的定义域是，
值域是[－5,1]，求常数a，b的值．