函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、性质及简单应用.doc

高三数学（理）集体备课材料 主备人：杨洪亮
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、性质及简单应用
一、教学目标
1、掌握由函数图象变换得到函数且为常数的图象的方法；
2、能灵活运用函数且为常数的图象及其性质解决相关问题.
二、重点、难点、易错（混）点、常考点
函数且为常数的图象及其性质的应用.
三、知识梳理【《创新设计》P54】

四、精选例题+变式训练
考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
【例1】设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1) 求ω和φ的值；
(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(3) 说明y＝f(x)的图象可由y＝cos x的图象经过怎样的变换而得到．

规律揭示：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
【训练1】将函数的图象上的每一点的纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的倍，然后把所得的图象上的所有点沿轴向左平移个单位，这样得到的曲线和函数的图象相同，则函数的解析式是 .

【训练2】给出下列六种图象变换方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
③图象向右平移个单位；
④图象向左平移个单位；
⑤图象向右平移个单位；
⑥图象向左平移个单位．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换到函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的序号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的序号即可)．

考点二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．

规律揭示：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．

y
2
-2
O

【训练1】如图是函数的图象的一部分，则其解析式是 .

【训练2】如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么 |φ|的最小值为________．

考点三 　三角函数的单调性
【例3】(2014·临沂月考改)设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ； 　(2)求函数y＝f(x)的对称中心； (3)求函数y＝f(x)的单调区间．

规律揭示：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝.
(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
【训练1】(2012·湖南卷改编)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝是其图象的一条对称轴.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．

【训练2】设函数的图象经过点，且的最大值是，最小值为，其中实数.
（1）求函数的表达式；
（2）若射线与图象交点的横坐标由小到大依次为，求的值，并求的值.

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】
1．在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
2．由图象确定函数解析式：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．
3．对称问题：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．　
六、课后反思
（1）本节课我回顾了哪些知识：

（2）本节课我重新认识了哪些道理：

（3）本节课学习中还存在哪些不足：

备用题：
1、已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？

2、已知函数，将的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到函数的图象关于直线对称.
（1）求实数的值；
（2）已知，求的值.

3、设函数（其中），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
（1）求的值；
（2）如果在区间上的最小值为，求的值.

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