“一分为二”看问题.doc

　一、对函数自变量的取值范围一分为二

例1（2010年高考全国卷Ⅰ第20题）已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）证明:.

分析 （1）略；（2）对自变量的取值范围一分为二，则只要证：①当时，；②当时，.

证明  ①当时，，所以在上单调递增，所以

，所以，当且仅当时等号成立.

②当时，因为，所以，所以在上单调递减，所以，从而在上单调递增，所以，故当时，.

综上可知.

点评  对自变量的取值范围一分为二实际上就是分类讨论的思想.

例2(2011年高考浙江卷理科第22题)设函数.（1）若为的极值点，求实数；（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.

分析  对于第(2)问，注意到，当时，不等式恒成立，因而问题等价于当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 由可分离参数，转化为当时，不等式及都恒成立.于是问题转化为求函数的最大值及函数的最小值，易求得的取值范围是.

点评  本题先将自变量的取值一分为二，再用分离参数法将函数一分为二.

二、对函数解析式一分为二成两种类型的函数

例3 讨论函数的零点个数.

解析  要讨论函数的零点个数，按对数型和二次函数将该函数一分为二，则只要讨论两函数图像的交点个数即可.由于，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.又时，；当时，.而，在同一坐标系画出这两个函数的图像如图所示.

从图像可知：

（1）当即时，两函数图像只有一个公共点，则只有一个零点；

（2）当即时，两函数的图像没有公共点，则没有零点；

（3）当即时，两函数图像有两个公共点，则有两个零点.

　　例4  求证:对任意的，都有.

分析  设，利用导数求最小值，只要证明即可.易求得，然而很难求出的零点，故可考虑按指数、对数的形式将函数一分为二成两个函数，从这两个函数的图像和最值寻找解题契机.

解  设，则只要证明即可.，当时，；

当时，，所以.因为，

当时，；当时，，

所以.因此，.因为两个等号成立的条件分别是和，故两个等号不能同时成立，所以.这两个函数的图像如图所示.

三、将函数一分为二成两个函数之积

例5（2011年湖南卷理科第22题）已知函数.（Ⅰ）求函数的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）略.

解 因函数，故零点的集合就是函数在上零点集合之并.显然有一个零点，又，由零存在性定理知，在上有零点，又在上单调递增，故在上有唯一零点.综上所述，函数有两个零点.

例6（2010年江西高考题）等比数列中，，函数，则（   ）

解 设，则，所以，所以，故选.