资源描述
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每题3分，满分36分）
1．﹣的倒数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算中，结果是a6的式子是（ ）
A．a2•a3 B．a12﹣a6 C．（a3）3 D．（﹣a）6
4．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
5．若x＝﹣4，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
6．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（ ）
A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±7
7．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
9．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
11．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二．填空题（满分18分，每小题3分）
13．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为 万元．
14．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为 ．
15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为 cm．
16．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为 ．
17．若一次函数y＝（1﹣2m）x+m的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，且与y轴相交于正半轴，则m的取值范围是 ．
18．如图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE．如（2），小杰身高为1.6米，小杰在A处测得博物馆楼顶G点的仰角为27°，前进12米到达B处测得博物馆楼顶G点的仰角为39°，斜坡BD的坡i＝1：2.4，BD长度是13米，GE⊥DE，A、B、D、E、G在同一平面内，则博物馆高度GE约为 米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）
三．解答题
19．（6分）计算：
（1）sin30°﹣cos45°+tan260°
（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|
20．（6分）求不等式组的非负整数解．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
22．（8分）今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球（2kg）；B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球；E、其它．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
23．（9分）随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．
（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？
（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？
24．（9分）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
25．（10分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．
（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；
（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；
（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．
26．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：﹣的倒数是：﹣．
故选：B．
2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、不能进行计算，故本选项错误；
C、（a3）3＝a9，故本选项错误；
D、（﹣a）6＝a6，正确．
故选：D．
4．解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；
C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；
D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；
故选：A．
5．解：∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，
∴2＜﹣4＜3，
故x的取值范围是2＜x＜3．
故选：A．
6．解：∵|a|＝3，
∴a＝±3；
∵b2＝16，
∴b＝±4；
∵|a+b|≠a+b，
∴a+b＜0，
∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，
（1）a＝3，b＝﹣4时，
a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7；
（2）a＝﹣3，b＝﹣4时，
a﹣b＝﹣3﹣（﹣4）＝1；
∴代数式a﹣b的值为1或7．
故选：A．
7．解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义；
当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义；
无论a取何值时，a2+1≠0，
故选：D．
8．解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，
∴A′的坐标为（﹣1，1）．
故选：A．
9．解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
10．解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
∴S扇形AOC＝；
S扇形BOC＝．
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝，CD＝，BC＝R，
∴S△OBC＝，S弓形＝＝，
＞＞，
∴S2＜S1＜S3．
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∴∠ADB＝×140°＝70°，
故选：D．
12．解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B、∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D、∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
二．填空题
13．解：5 400 000＝5.4×106万元．
故答案为5.4×106．
14．解：因为l＝，l＝4π，n＝120，
所以可得：4π＝，
解得：r＝6，
故答案为：6
15．解：连结OB，如图，
∵∠BCD＝22°30′，
∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，
∵AB⊥CD，
∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝BE＝2（cm）．
故答案为：2．
16．解：∵平移后解析式是y＝x﹣b，
代入y＝得：x﹣b＝，
即x2﹣bx＝5，
y＝x﹣b与x轴交点B的坐标是（b，0），
设A的坐标是（x，y），
∴OA2﹣OB2
＝x2+y2﹣b2
＝x2+（x﹣b）2﹣b2
＝2x2﹣2xb
＝2（x2﹣xb）
＝2×5＝10，
故答案为：10．
17．解：∵当1＜2时，y1＜y2，
∴函数值y随x的增大而增大，
∴1﹣2m＞0，
解得m＜
∵函数的图象与y轴相交于正半轴，
∴m＞0，
故m的取值范围是0＜m＜
故答案为0＜m＜
18．解：如图，延长CF交GE的延长线于H，延长GE交AB的延长线于J．设GE＝xm．
在Rt△BDK中，∵BD＝13，DK：BK＝1：2.4，
∴DK＝5，BK＝12，
∵AC＝BF＝HJ＝1.6，DK＝EJ＝5，
∴EH＝5﹣1.6＝3.4，
∵CH﹣FH＝CF，
∴﹣＝12，
∴﹣＝12，
∴x＝12.6≈13（m），
故答案为13．
三．解答题
19．解：
（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
20．解：解不等式组得﹣2＜x≤5，
所以原不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，5．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
22．解：（1）被调查的学生总人数：150÷15%＝1000人，
选择B的人数：1000×（1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%）＝1000×20%＝200；
补全统计图如图所示；
（2）5500×40%＝2200人；
（3）根据题意画出树状图如下：
所有等可能结果有9种：
BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，
同时选择B和D的有2种可能，即BD和DB，
P（同时选择B和D）＝．
23．解：（1）设现场购买每张电影票为x元，网上购买每张电影票为y元．
依题意列二元一次方程组∵
经检验解得
（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m元，那么会多卖出张电影票．
依题意列一元二次方程：（45﹣m）[（600+）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+）（1﹣）
整理得：16m2﹣120m＝0
m（16m﹣120）＝0
解得m1＝0（舍去） m2＝7.5
答：（1）2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元；（2）1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了7.5元．
24．（1）证明：连接OC． （1分）
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°． （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠OCE＝90°．
∴OC∥AE．
∴∠OCA＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠BAC． （4分）
∴．
∴DC＝BC． （5分）
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴BC＝＝3． （6分）
∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC． （7分）
∴．
∴，． （8分）
∵DC＝BC＝3，
∴．（9分）
∴tan∠DCE＝． （10分）
25．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
则﹣8a＝3，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）如图所示，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，
∵△AMB是等边三角形，则点C是MB的中点，
则BC＝MC＝1，则BO＝BC＝，同理OC＝，
OA＝2﹣＝，
则点A、B、C的坐标分别为（﹣，0）、（，0），（0，﹣），
则函数的表达式为：y＝a（x+）（x﹣）＝a（x2+x﹣），
即﹣a＝﹣，解得：a＝，
则函数表达式为：y＝x2+x﹣；
（3）y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，
则x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，
AB＝x2﹣x1＝＝|mt+3|≥|2t+n|，
则m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，
即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，
由题意得：m2﹣4＞0，△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，
解得：mn＝6，
故：m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．
26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F
∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3
∴A（0，3）
∴直线AB解析式为y＝x+3
∵点P在线段AB上方抛物线上
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）
∴F（t，t+3）
∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+
∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴对称轴为直线x＝﹣1
∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称
∴＝﹣1
∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°
∴PD＝PE
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2
∴P（﹣2，3）
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t
∴﹣t2﹣3t＝2+2t
解得：t1＝，t2＝（舍去）
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（ ）元．
A．9×1011 B．9×104 C．9×1012 D．9×1010
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．2的相反数是2 B．2的绝对值是2
C．2的倒数是2 D．2的平方根是2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a5
C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（ ）
A．75° B．85° C．60° D．65°
7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．3
10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2＝x的解是 ．
12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝ ．
13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为 ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是 ．
15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°
18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．
19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．
（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）证明：△ABC∽△BDC．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：
（1）本次接受问卷调查的学生总人数是 ；
（2）补全折线统计图．
（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ，m的值为 ；
（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．
21．（7分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
22．（7分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．
（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；
（2）当∠BAE＝30°时，求CF的长．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．
（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下中，如图②，△PA1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．
24．（9分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB＝2，求图中阴影部分的面积；
（3）假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4时，求动点M经过的弧长．
25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求a，c的值；
（2）求线段DE的长度；
（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
【解答】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇边形有关的一定不是中心对称图形．
2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（ ）元．
A．9×1011 B．9×104 C．9×1012 D．9×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：90000亿＝9×1012，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．2的相反数是2 B．2的绝对值是2
C．2的倒数是2 D．2的平方根是2
【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可．
【解答】解：A、2的相反数是﹣2，错误；
B、2的绝对值是2，正确；
C、2的倒数是，错误；
D、2的平方根是±，错误；
故选：B．
【点评】此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a5
C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a6，不符合题意；
C、原式＝a，符合题意；
D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据数轴判断即可．
【解答】解：由数轴可得：﹣2＜x≤1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（ ）
A．75° B．85° C．60° D．65°
【分析】先根据平行线的性质，得出∠3的度数，再根据三角形外角性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3＝115°，
又∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1＝∠3﹣∠A＝115°﹣30°＝85°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数，再利用三角形的外角的性质即可求解．
【解答】解：∵OC∥AB，
∴∠C＝∠A＝20°，
又∵∠O＝2∠A＝40°，
∴∠1＝∠O+∠C＝20°+40°＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得∠O的度数是关键．
8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中点（a，b）在第二象限的有2种结果，
所以点（a，b）在第二象限的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．3
【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据tan∠AOE＝＝，构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．
由题意：tan∠AOE＝＝，
∵A（t，2），
∴AE＝2，OE＝﹣t，
∴＝，
∴t＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．由翻折的性质可知QE＝QP，从而可表示出QF、EF、EQ的长度，然后在△EFQ中利用勾股定理可得到函数的关系式．
【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．
由翻折的性质可知：EQ＝QP＝y．
∵∠EAP＝∠APF＝∠PFE＝90°，
∴四边形EAPF是矩形．
∴EF＝AP＝x，PF＝EA＝1．
∴QF＝QP﹣PF＝y﹣1．
在Rt△EFQ中，由勾股定理可知：EQ2＝QF2+EF2，即y2＝（y﹣1）2+x2．
整理得：y＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、勾股定理的应用，表示出QF、EF、EQ的长度，在△EFQ中利用勾股定理列出函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝ 3（x+1）2 ．
【分析】原式提取3，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2+2x+1）＝3（x+1）2，
故答案为：3（x+1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为 y＝2x2 ．
【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加1即可得新函数解析式y＝2x2．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度，
∴新抛物线为y＝2x2．
故答案为y＝2x2．
【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是 17cm ．
【分析】根据平行四边形的对边相等以及对角线互相平分进而求出即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，
∴CO＝AC＝7cm，BO＝BD＝4cm，BC＝AD＝6cm，
∴△OBC的周长＝BC+BO+CO＝6+7+4＝17（cm）．
故答案为：17cm．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练根据平行四边形的性质得出BO，BC，CO的长是解题关键．
15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 2 ．
【分析】由根的判别式求出AC＝b＝4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，
∴△＝16﹣4b＝0，
∴AC＝b＝4，
∵BC＝2，AB＝2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长＝AC＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为 ．
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2＝＝＝＝3×；OA3＝＝＝3×（）2；OA4＝＝＝3×（）3，…，于是可得到OA2016＝3×（）20
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