中考备考中的二次函数问题（李柏生）.doc

中考备考中的二次函数问题
——抛物线上求点的坐标的技巧与方法归纳
武汉市汉铁初中 李柏生
二次函数问题，一直是中考中的一个难点问题，近年来，二次函数问题经常被很多省市作为中考的压轴题，它是几何问题与函数问题的综合题，几乎涵盖所有的几何考点和函数考点，加之对代数中等式的变形，方程的思想等都有较高的要求。这个问题一直是教师在指导复习备考中的重点内容，也是学生感到困难的问题，而很多二次函数问题都涉及到抛物线上点的坐标的求法，对于这类问题的求解技巧与方法笔者作了以下的归类和总结：
一、当直线与抛物线相交时，可以采用直线的解析式与抛物线的解析式联立的方法求解。
例1：已知抛物线交轴于A、B两点（A点在B点的左边），且AB＝2，交y轴于点C。
（1）求这个抛物的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得锐角∠MCA的正切值大于3？若存在，求出点M横坐标的取值范围；若不存在，说明理由。
分析：本题第（2）题主要求出M横坐标的最大值和最小值的零界值，由画图象可知：当时，有最大值，当MC与AC垂直时，有最小值，而求解方法可以利用，所在的直线的解析式与抛物线的解析式联立，求出的坐标。
简解：①当时，过A作AC⊥AK交的延长线于K。
Rt中，，
过K作KD⊥轴，垂足为D。
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3
又∠KDA＝∠AOC＝90°，∴△KDA∽△AOC
∴，∴DA＝3CO＝9，∴DK＝3AO＝9
∴KC：
，∴（舍） ∴
②过C作AC⊥M2C交抛物线于M2
过M2作M2E⊥y轴，垂足为E，易得△M2CE为等腰Rt△
∴,∴
, ∴（舍）
∵成立，不成立
∴M的横坐标的范围为
例2：如图，抛物线经过，两点，与轴交于另外一点B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结BD，点P为抛物线上的一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标。
分析：由（1）（2）可知：
，，，，本题求解方法众多，其中一种方法利用BP直线的解析式与抛物线的解析式联立求得。
简解：过D作DK⊥BD交BP的延长线于K。
过D作DF⊥x轴，垂足为F，过K作KE⊥DF，垂足为E，
由△DKB为等腰Rt△, 可得△DKE≌△BDF
∴BF＝DE＝1，KE＝DF＝4，∴K（－1，3）
∴KB：，∴
解得（舍）
当时，，∴
二、可以利用几何手段求出抛物线上点的横、纵坐标的数量关系，用同一字母表示点的坐标代入抛物线的解析式求得。
求抛物线上的点的坐标，可由该点向轴，轴引垂线，可以考虑相似、全等、勾股定理、面积、特殊图形的性质等找出该点到轴，轴垂线段的长度的数量关系，从而用同一字母表示点的坐标，然后代入抛物线的解析式，即可解得。
例3：已知抛物线与轴交于点，与y轴交于点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标。
分析：由（1）可得
过P分别作轴的垂线，垂足分别为F、E点，
实际上是△POB与△POA的高之比。
利用面积比和底之比从而求出高之比。
简解：如图，当，
，∴，即AO＝3
又，＝AO×PF×，＝OB×PE×
∵＝2，∴
∴
设PF＝3m，PE＝2m，∴
将其代入解析式，中解得，
（舍）
∴
例4：抛物线经过点交轴于A，B（A在B的左侧）两点，且OC＝3OA。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为轴上方抛物线上的一点，若△PCB与△AOC相似，求P点坐标。
分析：由△PCB与△AOC相似，可能是△PCB∽△AOC，也可能是△CPB∽△AOC。
由（1）可得
①若△CPB∽△AOC，如图1过P分别作轴的垂线，垂足分别为E、F，
由△CPB∽△AOC，可得∠AOC＝∠CPB＝90°，
从而△PCF∽△PBE，∴
②若△PCB∽△AOC，如图2，
由△PCB∽△AOC，∴∠AOC＝∠PCB＝90°，
过P作PG⊥y轴。得△PGC∽△COB，从而可求P。
简解：①若△CPB∽△AOC，如图1，∴∠AOC＝∠CPB＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠2＝∠3.
又∠PFC＝∠PEB＝90°
∴△PFC∽△PEB，∴
设PE=m，PE＝3m，∴
将其代入解析式中，解得（舍）
∴
②若△PCB∽△AOC如图2，△BOC为等腰Rt△
∴∠BCO＝45°，又∠PCB＝90°，∴∠PCG＝45°
又∠PGC＝90°，∴△PCG为等腰Rt△，设
∴，代入解析式中，（舍），∴
三、设抛物线上的点为，用解方程组的方法求出的值，从而求得P的坐标。
法抛物线上的点向轴分别作了垂线之后，无法通过几何手段找出点的横、纵坐标的数量关系时，可以用两个字母设抛物线上的点的坐标，但需要两个等式联立成方程组来求。抛物线的解析式可作为一个等式，另一个等式可以通过几何手段，比如利用相似、勾股定理、面积、全等等找到等量。
例5：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且OB＝OC＝3OA。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若CH//轴交扫物线的对称轴于H，在抛物线上是否存在点M，使MH⊥DM？求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由。
分析：由本题（1）可知：
C（0，3），A（1，0），B（3，0）
第（2）问中，H（2，3）
若过M作轴与轴的垂线，找不到M到轴的垂线段的长，而且利用好条件MH⊥DM，我们可以设，一方面有，另一方面有可得，，从而通过联立解方程组求得。
简解：①当M在抛物线的对称轴右侧时，过M作MG⊥对称轴，垂足为G，设
Rt△HMD中，由MG⊥HD，∴，∴
又，，解得（舍）
∴，∴
②当M在抛物线的对称轴的左侧时，由与M关于对称轴对称，∴
例6：如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与轴交于C点，D为抛物线的项点，A（1，0），连结DA，DB，有DA⊥DB，且△ABD的面积为1.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）连结CD，在抛物线上是否存在点M，使得△CDM为以CD为底的等腰三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
分析：由画图可知，存在、分别在对称轴的两侧，由题可知垂直平分CD，但不能用的高中的知识求解。
在求M1时，过M1分别作轴的垂线，但无法找到两垂线段之间的数量关系，而且还没有用好这个条件。过作y轴的平行线，分别过C，D作这条平行线的垂线，垂足分别为E，F，可设，在Rt△M1CE中和Rt△M1DF中，
由勾股定理得 ，
又，所以有
与联立可求得
简解：①当M在抛物线对称轴右侧时，
∴，解得（舍）
∴，∴
四、当要求抛物线上两个点的坐标时，两个点的横、纵坐标都有关系，用两个字母表示这两个点的坐标，同时代入抛物线的解析式中，联立成为方程组而求解。
例7：抛物线经过A（－1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与轴交于另一点B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点E（1，－1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内的某点旋转180°后得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F点对应），使点M、N在抛物线上，求点M、N的坐标。
分析：由中心对称的知识可知：MNAE，NQEF，MQAF，画出图形△MNQ，如图所示。
∵MQ＝AF＝2，EF＝NQ＝1，
可设
同时代入解析式中，联立即可得到。
简解：联立得方程组为
用加减消元法即可很快可得：，∴
例8：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的项点A在轴上，与y轴交于点B（0，1），且。
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线AB平移至EF，使EF＝2AB，E、F正好落在抛物线上，求E、F的坐标。
分析：过点E作轴的平行线，过点F作y轴的平行线，两线交于H点。
得△FHE∽△BOA
∴，∴
可设，代入解析式联可求得
简解：
由加减消元法可得
∴
以上通过实例介绍了求抛物线上点的坐标的技巧和方法，即：一、利用直线和抛物线的解析式联立求；二、用同一字母表示点的坐标代入解析式中；三、用两个字母表示点的坐标，再找两个等式联立成为方程组的方法求，其中一个方程由抛物线的解析式转化得到，另一个通过几何手段得到；四、两个点同时求，两个点的横、纵坐标都有关系，用两个字母表示，同时代入抛物线的解析式中，联立成为方程组而求解。
教师在教学过程中，如果能够引导学生按照这些技巧和方法来分析、解决问题，那么学生在面对求二次函数求抛物线上的点的坐标的问题时，将有规律可循，有方法可用，有思路可想，大大提高学生处理二次函数问题的能力和自信心。

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