高二期末复习圆锥曲线第三讲——抛物线.doc

期末复习圆锥曲线第三讲——抛物线
一、基础练习：
1. 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 .
2. 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.
3. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线有 条.
4．已知抛物线y＝x2，则过其焦点垂直于其对称轴的直线方程为________．
5．已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2，2)，则|AB|等于________．
6．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.
8．(原创题)已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．
9．抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2，y1>0，y2<0)在抛物线上，且存在实数λ，使＋λ＝0，||＝.
(1)求直线AB的方程；
(2)求△AOB的外接圆的方程．

二、知识梳理：
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：
标准方程

图形

焦点

准线

范围

对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率

2.抛物线的焦半径、焦点弦
①的焦半径;的焦半径；
② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.
③ AB为抛物线的焦点弦，则 ，，=
3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.
★重难点突破★
重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质
难点: 与焦点有关的计算与论证
重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质
三、互动展示
1、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(-3,2)
(2)焦点在直线上

2、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程.

3、在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标.

4、已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．
（1）求的坐标；
（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？

5、椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.
（1）求椭圆方程；
（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.

四、随堂检测及反馈
1．抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是_____．
2．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为__________．
3．(2010年苏州调研)已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是________．
4．已知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ⊥l于Q，则抛物线的焦点坐标是________；梯形PQRF的面积是________．
5．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝______.
6．在平面直角坐标系xOy中有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
7．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．
9．已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是________．
10．已知F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，自点F1引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M.设＝λ.
(1)求曲线C的方程；(2)证明：＝－λ.

11．已知抛物线x2＝4y及定点P(0,8)，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ(λ>0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
(1)证明：点M的纵坐标为定值；
(2)是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP＝∠BQP？证明你的结论．

12．(2009年高考浙江卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为.
(1)求p与m的值；
(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线，求t的最小值．

一、基础练习答案：
1、[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3.
2、【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置
［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为
解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点.
3、 [解析] ，而通径的长为4,故1条或2条.（p=1,直线有两条！）
4、解析：抛物线的焦点是(0,1)，且对称轴为x＝0，故所求直线方程为y＝1.答案：y＝1
5、解析：设A(x1，)，B(x2，)，由已知得⇒即A(0,0)，B(4,4)，故|AB|＝4.答案：4
6、解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y12＝ax1，　①
y22＝ax2，　② ∴①－②得y12－y22＝a(x1－x2)，
∴(y1＋y2)·＝a，∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.
7、解析：如图，过点N向准线引垂线，垂足为P，由抛物线的定义知|NF|＝|NP|，又|NF|＝·|MN|，即|NP|＝|MN|，所以在Rt△NMP中，sin∠NMP＝＝，即∠NMP＝，故∠NMF＝.答案：
8、解析：据抛物线的定义可知d1等于点P到焦点的距离，故求d1＋d2的最小值即为确定抛物线上的点到焦点的距离与到直线的距离之和最小，又抛物线与已知直线无交点，易知当且仅当点P为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时，d1＋d2有最小值，故(d1＋d2)min＝.答案：
9、解：(1)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，F(1,0)．∵＋λ＝0，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||＝x1＋x2＋2.由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：y＝k(x－1)，而k＝，x1>x2，y1>0，y2<0，
∴k>0.由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.∴||＝x1＋x2＋2＝＋2＝，∴k2＝.从而k＝，
故直线AB的方程为y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
(2)由求得A(4,4)，B(，－1)．设△AOB的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋H＝0，则
解得故△AOB的外接圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.
三、互动展示答案
1、【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.
[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,
∵过点(-3,2) ∴
∴
∴抛物线方程为或,
前者的准线方程是后者的准线方程为
(2)令得，令得，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,
∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时
∴，此时抛物线方程.
∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.
2、

3、[解析]解法1：设抛物线上的点，
点到直线的距离，
当且仅当时取等号，故所求的点为
解法2：当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，
由得，故所求的点为
4、解：（1）抛物线方程为
故焦点的坐标为
（2）设

直线的方程是

5、解：（1）∵上的点M在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.
∴c=-4，p=8……①
∵M（-4，）在椭圆上
∴……②
∵……③
∴由①②③解得：a=5、b=3
∴椭圆为
由p=8得抛物线为
设椭圆焦点为F（4，0），
由椭圆定义得|NQ|=|NF|
∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|
=，即为所求的最小值.
四、随堂检测及反馈答案
1、解析：由抛物线定义可得A、B两点到准线x＝－的距离之和为5，则线段AB中点到y轴的距离为－＝2.答案：2
2、解析：由抛物线方程y2＝4x易得准线l的方程为：x＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，所以S△MPF＝×5×4＝10.
3、解析：由两点式直线方程得AB的方程为y＝x－1，代入抛物线C的方程得2x2－x＋1＝0，由Δ＝－8<0得t2>2，则t∈(－∞，－)∪(，＋∞)．答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
4、解析：代入(1,2)得a＝2，所以抛物线为x2＝y，故焦点F(0，)．又R(0，－)，|FR|＝，|PQ|＝2＋＝，所以梯形的面积为×(＋)×1＝.答案：(0，)　
5、解析：由焦点弦长公式|AB|＝，得|AB|＝，∴2p＝|AB|·，∴p＝8×＝2.
6、解析：由于OA的中垂线方程为y－＝－2(x－1)，令y＝0，得x＝，即抛物线的焦点坐标为(，0)，因此，准线方程为x＝－.
7、解析：由于抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，由＋＋＝0，可取＝(－1,0)，此时，＋＝(1,0)，由对称性，得A(，)、C(，－)．于是，可得||＋||＋||＝2 ＋1＝5＋1＝6.
8、解析：建立平面直角坐标系如图，设开始水面与抛物线的交点为A，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y＝－x2，水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为－，代入抛物线方程y＝－x2，可求出B点的横坐标为2，所以水面宽为4.
9、解析：如图，设P(x，y)，C为圆心，则根据圆的切线的性质可知，PC垂直平分MN，
且CM与PM，CN与PN分别垂直，则S△PMC＝×1×|PM|＝|PM|，
又S△PMC＝×|PC|×|MN|＝|PC|·|MN|，
所以|MN|＝，则|MN|2＝＝＝
＝4(1－)＝4[1－]，所以当x＝2时，|MN|有最小值.答案：
10、解：(1)椭圆＋＝1的右焦点F2的坐标为(1,0)，∴可设曲线C的方程为y2＝2px(p>0)，∴p＝2，曲线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，① y1＝λy2.②
∴y12＝λ2y22.∵y12＝4x1，y22＝4x2，∴x1＝λ2x2.③ ③代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ，∴λx2(λ－1)＝λ－1.
∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，∴＝(x1－1，－y1)．由②知，－y1＝－λy2，∴＝－λ(－1，y2)＝－λ，故＝－λ.
11、解：(1)证明：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x，所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别为y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22，解得M(，)．又＝λ(λ>0)，得(－x1,8－y1)＝λ(x2，y2－8)，即将①式两边平方并代入y1＝x12，y2＝x22，得y1＝λ2y2，再代入②式得λy2＝8，解得y1＝8λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－32，所以点M的纵坐标为－8.
法二：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y＝kx＋8.A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由可得x2－4kx－32＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－32，抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x，∴过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，∴MA：y－x12＝x1(x－x1)；
MB：y－x22＝x2(x－x2)，解得yM＝＝x1x2＝－8，即点M的纵坐标为定值－8.
(2)考虑到AB∥x轴时，显然要使∠AQP＝∠BQP，则点Q必定在y轴上，设点Q(0，t)，此时kAQ＝，kBQ＝，结合(1)x1＋x2＝4k，x1x2＝－32，故kAQ＋kBQ＝＋＝＝0对一切k恒成立，即k(8＋t)＝0，
故当t＝－8，即Q(0，－8)时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP＝∠BQP.
12、解：(1)由抛物线的定义，得4－(－)＝，又m2＝8p，所以p＝，m＝±2.
(2)由p＝，得抛物线的方程为y＝x2.由题意可知，直线PQ的斜率存在且不为0.
设直线PQ的方程为：y－t2＝k(x－t)(k≠0)，令y＝0，得M(t－，0)．
解方程组得Q(k－t，(k－t)2)．
由NQ⊥PQ，得直线NQ的方程为：y－(k－t)2＝－(x＋t－k)，
解方程组得N(t－k－，(t－k－)2)．
于是抛物线C在点N处的切线方程为y－(t－k－)2＝2(t－k－)(x＋k＋－t)．　①
将点M的坐标代入①，得(t－k－)(k＋＋t－)＝0，　②
当t－k－＝0时，t＝k＋>0，故k>0，此时，t＝k＋≥2 ＝2；
当t－k－≠0时，由②得k＋＋t－＝0，即k2＋tk＋1－2t2＝0，此时，Δ＝9t2－4≥0.

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