材料力学课后习题答案(单辉祖编).pdf

第一章绪论题号 页码（也可通过左侧题号书签直接查找题目与解）1-3图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的 正应力均为=100MPa,底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力 分量，并确定其大小。图中之。点为截面形心。解：由题图所示正应力分布可以看出，该杆横截面上存在轴力练和弯矩其大小 分别为Fn=-=-x(100 xl06 二)x(0.100mx0.040m)=2.00 xlO5N=200kN 2 2 mh h 1 1 a.M z=FJ-)=-FNh=-x(200 x 103 N)x(0.100m)=3.33 xlO3N-m=3.33kN-m2 3 6 61-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边Ab与AD的平均正应变以及A点处直 角BAD的切应变。0.1_Jd,0.21解：平均正应变为由转角题L4图如河=嗑察=2.00 x10-3aAD年需2。，1。一3 radaAB号蓝炉rad得A点处直角BAD的切应变为Ya=Ybad=aAD-aAB=1-00 x10 3 rad2第二章轴向拉压应力与材料的力学性能题号 页码2-3.12-5.22-7.22-9.32-10.32-15.42-16.52-18.62-19.72-21.72-22.8（也可通过左侧题号书签直接查找题目与解）2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2,载荷方=50kN。试求图示斜截 面机加上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2.3图解：该拉杆横截面上的正应力为a=7=F=100 xl8pa=100MPa斜截面m-m的方位角a-50,故有oa=crcos2oc=lOOMPa-cos2(-50)=41.3MPa工 0=|sin2a=50MPa-sin(-100)=-49.2MPa 杆内的最大正应力与最大切应力分别为啧”=lOOMPa工 max=1=50MPa2-5 某材料的应力.应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定 材料的弹性模量、比例极限%、屈服极限又、强度极限与与伸长率5,并判断该材料属于 何种类型（塑性或脆性材料）。o 5 10 15 20 25 300 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30e/%题2.5解：由题图可以近似确定所求各量。厂 Ao 220 x1()6 paE=-a-Z 0.001=220 xl09Pa=220GPa%a 220MPa,4 2 240MPa,*2440MPa,d 29.7%该材料属于塑性材料。27 一圆截面杆，材料的应力应变曲线如题2-6图所示。若杆径d=10mm,杆长 Z=200mm,杆端承受轴向拉力方=12kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。若 轴向拉力F=20kN,则当拉力作用时与卸去后，杆的轴向变形又分别为何值。400o O o O3 2no0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2/%2-6 图解：1.尸=12kN时F 4x12x103N(T=-A 7ix 0.0102m2=1.528xl08Pa=152.8MPa2查题2-6图。-2曲线，知该杆的轴向应变为=0.0022=0.22%拉力作用时，有M=M=(0.200m)x 0.0022=4.4x104 m=0.44mm拉力卸去后，A/=02.下=20kN 时F _ 4x20 x103NA 71X0.01012=2.55xl08Pa=255MPa查上述。-2曲线，知此时的轴向应变为2=0.0039=0.39%轴向变形为M=l8=（0.200m）X 0.0039=7.8 xW4m=0.78mm此拉力卸去后，有4=0.00364,=0.00026C P故残留轴向变形为M=fep=(0.200m)x 0.00026=5.2xl0-5m=0.052mm2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷厂作用。试求板件横截面上的最大拉应力（考 虑应力集中）。已知载荷F=32kN,板宽办=100mm,板厚S=15mm,孔径d=20mm。2-9 图解：根据d/6=0.020m/(0.100m)=0.2,查书中图 2-25(a),得K x 2.42根据F O_ max%-，K=-(1)0%得max-KnKF2.42 x 32 x IO?n(b-d)3(0.100-0.020)x 0.015m2=6.45xl07Pa=64.5MPa2-10图示板件，承受轴向载荷厂作用。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应3力集中）。已知载荷方二36kN,板宽瓦二90mm,ft2=60min,板厚S=10mm,孔径d=10mm,圆角半径R=12mmo题2-10图解：1.在圆孔处nd/bx=0.010m/(0.090m)=0.1111,gg 2-25(a),得KP2.6,故有max-KF(b、一d)d2.6x36x103N(0.090-0.010)x 0.010m2=1.17xlO8Pa=117MPa2.在圆角处根据 D/d=4/=0.090m/(0.060m)=l.5 及9/2=火/人2=0.012m/(0.060m)=02 查图 2-25(b),得K?21.74故有0max *20112k2fb81.74x36x103N0.060 x 0.010m2=1.04xl08Pa=104MPa3.结论Omax=117MPa（在圆孔边缘处）2-15 图示桁架，承受载荷方作用，已知杆的许用应力为b。若在节点5和。的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的a值（即确定节点4的最佳位置）。题2-15图解：1.求各杆轴力设杆AB和BC的轴力分别为外1和练2，由节点5的平衡条件求得4Fm=F/sina,FN2=Fctanoc2.求重量最轻的。值由强度条件可得/F/F4-9 4,ctanaasma a结构的总体积为F I Fl FZ 2V +A2?=-1-ctana=(-1-ctana)crsina cosa cr a sin2a由%da得3cos%-1=0由此得。=5444这是使结构体积最小、也就是重量最轻的。值。2-16 图示桁架，承受载荷方作用，已知杆的许用应力为0。若节点A和C间的指定距离为I,为使结构重量最轻，试确定。的最佳值。题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有2.求。的最佳值 由强度条件可得2 sin。结构总体积为5F由此得V=24=Fl sin。2cos。sin28cos2=0得由9=45此。值可使本桁架结构重量最轻，故为。的最佳值。2-18 图示摇臂，承受载荷F1与尸2作用。试确定轴销B的直径d。已知载荷F1=50kN,F2=35.4kN,许用切应力r=100MPa,许用挤压应力Qbs=240MPa。解：1.求轴销处的支反力由ZG=0求得FBx=片&cos450=25kN由Z4=0求得FBy=sin450=25kN轴销处的总支反力为Fb=V252+252kN=35.4kN2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）得A nd?2Fb _/2x35.4xl03TixlOOxlO6m=0.015m由轴销的挤压强度条件6得35.4x1030.010 x 240 xlO6m=0.01475m结论：取轴销直径d，0.015m=15mm。2-19 试画题2所示各杆的轴力图。解：各杆的轴力图如图2-19所示。(d)(c)图 2-192-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷方=45kN作 用。已知木杆的截面宽度b=250mm,沿木纹方向的许用拉应力S=6MPa,许用挤压应力 Ks=10MPa,许用切应力r=LMPa。试确定钢板的尺寸5与1以及木杆的高度瓦题2-21图解：由拉伸强度条件F o=-b(h-2d)7得得由挤压强度条件d由剪切强度条件h-2d45xl03bcr 0,250 x6xl06m=0.030m(a)45xl032 如 bs】2x0.250 xl0 xl06m=0.009m=9mm(b)FFFF t=45xl0326r-2x0.250 xlxl06m=0.090m=90mm取3=0.009m代入式(a),得6“0.030+2x0,009)m=0.048m=48mm结论：最后确定 3 9mm,I 90mm,h 48mm。2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。试计算接头的许用载荷。已知佛钉直径d=20mm,许用应力cr=160MPa,许用切应力r=120MPa,许用挤压应力6bs=340MPa。板件与佛钉的材料相同。题2-22图81 7*解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知，人=乩 FL3F/4%F F/N1 _ r了一(b-d)3WF(b-d)da=(0.200-0.020)x 0.015 x 160 x 106 N=4.32 x 105 N=432kN2 4 43-2d)54 4F j(/7-26/)57=j(0.200-0.040)x0.015x 160 xlO6N=5.12xlO5N=512kN2.考虑佛钉的剪切强度Fc=F/8工咛4F8兀/MF22t=2x7ix0.0202 xl20 xl06N=3.02xl05N=302kN3.考虑胡钉的挤压强度凡=尸/4p Pbs=U=V 匕bs od 4oaF*=与4.求3y处dy微段的缩短量为积分可得3=【曾=寻:黑(b)将式(a)代入式(b),最后得4EA43-8 长度为/=180mm的铸铁杆,以角速度。绕QO2轴等速旋转。若铸铁密度夕=7.54 X103kg/m3,许用应力b=40MPa,弹性模量=160GPa,试根据杆的强度确定轴的许用转 速，并计算杆的相应伸长。题3.8图解：1.求轴的许用转速离轴为x处的dx微段质量的离心惯性力为dF=(/Zz4dx)-692xX处杆截面的轴力为心(X)二122/*:PA；(一目(a)最大轴力在轴线处(x=0),其值为_ pAcofN.max q由强度要求“maxN,maxApa)2l2k8可得_ I 8x40 x106 _ V7.54xl03 x0.1802sec2=1144.51/sec计算中用到IN=1kg m/sec2 0相应之许用转速为60n=co=2兀2.计算杆的总伸长量由式(a)可得60 x11445r=10929 r/min2 兀 min5，=誓=噂!4)从而有M=(x)dx=212庄及p心E 7.54x103x1144.52 xO.18O3-=-7-m12E 12xl60 xl09=3.00 x 10-5 m=0.030mm计算中再次用到IN=1kg-m/sec2。3-10 图3,0a所示涡轮叶片，当涡轮等速旋转时承受离心力作用。设叶冠A的重量 为W,涡轮的角速度为切，叶片材料的弹性模量为E,密度为夕，许用应力为0。试按各 横截面的正应力均等于许用应力的原则，确定叶片“截面处的横截面面积A(x),并计算叶片 的轴向变形。与叶片的离心力相比，叶片的重量很小，可以忽略不计。解：当各横截面上的正应力均等于许用应力匕时，叶片微段dx的受力情况如图370(b)所示。由x方向力的平衡方程cos45=Fab在节点力处有变形协调关系(节点/铅垂向下)(c)物理关系为Mbc-Mab=Mad=8 bc AB cos450AD(d)A/=5il9 4nC l a AbEAFn,1 a/EA(e)得及将式(e)代入式(d),化简后得Fn,bc Frab=2Fn,ad(d)15联解方程(a)、(c)和(d),得小牛(拉)，FF但，F“Fn,Ag=Hf(拉)(b)解：此为一度静不定问题。考虑小轮力的平衡，由Z4=o,得由此得%sin450-F=0Fn=F在方作用下，小轮4沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，A/2 0,故有外2=Fn、的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-25 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为cr1=40MPa,(72=60MPa,cr3=120MPa,弹性模量分别为 Ei=160GPa,E2=100GPa,E3=200GPao若载荷方二160kN,A1=A2=2A3,试确定各杆的横截面面积。题3-25图解：此为一度静不定结构。节点。处的受力图和变形图分别示如图3-25(a)和(b)。静力学方面16由图(a)可得鼻=。,歹N1=五N2Z4=口 1Fn2+为3=/几何方面由图(b)得变形协调方程为sin30 物理方面根据胡克定律，有A/_ Ft _ 八 A 7 _&2,2 _ Fn2，t A 7 _ 八3,3 _ F、1-EA 264 2 E2A2 43E2A3 9 3 E3A3 3E3A3将式(d)代入式(c),化简后得15 双N1+32Fn2-8 尸N3(a)(b)(c)(d)联解方程(a)、(b)和(c),并代入数据，得=22.6kN(压)，Fm=26.1kN(拉)，=146.9kN(拉)根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：4 冬=6义1?m2=5.65x10 4 m2=565mm2 g 40 xl064 N 4g-=26/义,m2-4.35xl0-4m2=435mm2 凡60 xl06A3 乙=.Xi?m?=1,224xl0-3m2=1224mm2*120 xl06根据题意要求，最后取4=4=24 2 2450mm23-27 图示两端固定的等截面杆AH杆长为/。在非均匀加热的条件下，距A端工 处的温度增量为AT=AT22,式中的为杆件5端的温度增量。试求杆件横截面上的应 力。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为石与火。17Mb题3-27图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将5端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一 个微伸长d(A/t；=atATdx=dx全杆伸长为加。小小2 dx=也则Jo/2 32.求约束反力设固定端因阻止伸长而产生的约束反力为歹，杆件因少作用而引起的缩短量为EA EA由变形协调条件A/f=A/z可得EA atTBl EAaATBF=-=-I 3 33.求杆件横截面上的应力b n尸内，(J=-A A 33-28 图示桁架，杆5C的实际长度比设计尺寸稍短，误差为4。如使杆端5与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为以。18解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号I。由强制装配容易判断,杆13受拉，杆4和5受压。装配后节点G和。的受力图分别示如图3-28(a)和(b)。静力学方面 由图(a)可得(a)由图(b)可得厂N4=歹N5,歹N3=2FN4COS30=中 几何方面变形协调关系为(参看原题图)/A/1 M A 7/=-+M(c)cos60 cos30 物理方面依据胡克定律，有AZ.=(%=1 5)z EA(d)将式(d)代入式(c),得_ 2FN1/2FN4a/3/FZA-1-产-1-EA 43EA EA补充方程(e)与静力学方程(a)、(b)联立求解，最后得19（9-2 后 4 _（3 凤 2）4N3-23/5 nl 23/即口 一口 一口（9 2省）E4/、Fn,bc Frgd Frge /（拉）F-F-2）EA1 N,CD 1 N,CE-23（压）3-29 一种制作预应力钢筋混凝土的方式如图所示。首先用千斤顶以拉力f拉伸钢 筋（图a）,然后浇注混凝土（图b）。待混凝土凝固后，卸除拉力方（图c）,这时，混凝土受 压，钢筋受拉，形成预应力钢筋混凝土。设拉力方使钢筋横截面上产生的初应力b=820MPa,钢筋与混凝土的弹性模量之比为8:1,横截面面积之比为1:30,试求钢筋与混凝土横截面上的 预应力。C O（b）/预应力钢筋混凝土题3-29图解：此为一度静不定问题。卸除拉力尸后，钢筋仍受拉，而混凝土却受压。设它们的应力分别为4和4,由静力平 衡条件可得%4=%4（a）这里4以拉为正，不以压为正。变形协调方程为（b）式中，代表初加尸时钢筋的总伸长量，A/s代表卸除方后钢筋保留的伸长量，而M则代 表卸除尸后混凝土产生的缩短量，并以缩短为正。20物理关系为M=&Es s EsM=Ec(c)将式(c)代入式(b),稍作化简，得考虑到式(a),有。=4(1+”：)Ec 419=u 15由此得q=(7.=x820MPa=647 MPa(拉)s 19 19根据式(a),最后得到A 1%.=x647MPa=21.6 MPa(压),4 s 303-30 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜 管组成，二者由两个直径为10mm的胡钉连接在一起。钾接后，温度升高40,试计算钾钉 剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为瓦=200GPa与4=100GPa,线膨胀系数分别 为 als=12.5 X lO C1 与/c=16 义 10 640题3-30图解：设温度升高AT时钢杆和铜管自由伸长量分别为5Ts和分/由于二者被佛钉连在一 起，变形要一致，即或写成这是本题的变形协调方程。这里，伸长量At和缩短量A,c均设为正值。引入物理关系，得21F+FEsAs EcAc二(%c 一 他)M将静力平衡条件以s=稣c=下代入上式，得F=ESASECAC 区4+44(Q/%s)AT注意到每个斜钉有两个剪切面，故其切应力为T=f 二生444(蠹-四s)at A-2/-2/(凡4+44)200 x109 x0.03()2 xl00 xl()9 义(0.05。2 0.03()2)x(16 12.5八10一6 x40N 2x0.0102 x200 xl09 x0.0302+100 xl09 x(0.0502-0.0302)m2=5.93 x IO,pa=59.3MPa3-32 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A,E 与5,试确定该桁架的许用载荷为。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度/变为解二此为一度静不定问题。节点。处的受力及变形示如图3-32(a)和(b)。静力学方面由图(a)可得Fn、=Fn2,2Fn1cos30+FN3=F(a)几何方面由图(b)可得Mx=AZ3cos30(b)22物理方面依据胡克定律，有产警(:123)(c)EA将式(c)代入式(b),化简后得4尸N3 尸N1(b将方程(b)与方程(a)联解，得3 4%=82=小万尸N3=G万max=谭=(4+3扬/(忖由此得(4+3gMz(4+3向司/方-;-，L 户 J=-4 4为了提高方值，可将杆3做长A,参考图(b)给的几何关系，这里有A/3+/=cos30式中，A/八A/1均为受载后的伸长，依题意，有了/后，应使三根杆同时达到内，即0+,由此得/二(%)处=回3 E 3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有用 max=2(5 4COS30。)+61=(1+23第四章扭转题号 页码4-7.24-8.34-9.44-11.64-13.74-14.94-19.94-20.104-21.114-22.124-23.144-24.164-26.174-27.184-28.204-29.214-33.224-34.224-35.244-36.25（也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解）4-4 图示圆截面轴，A5与5C段的直径分别为功与心，且为=4必/3。试求轴内的 最大扭转切应力。Me 4-4 图解：由题图可知，48段和5C段的扭矩分别为T、=2M,T2=M48段内的最大扭转切应力为_167 _ 16(2M)x33 _ 13.5M 兀 d；7t(7T(4d2)3 7t d；5。段内的最大扭转切应力为_ 167；_ 16Mr2max 71dB Rd：结论：轴内的最大扭转切应力为/ax=16M/(兀退)o4,5 受扭薄壁圆管，外径。=42mm,内径d=40mm,扭力矩M=500Nm,切变模量G=75GPao试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为1 D d Dd(-1)=20.5mm,o-=1mm 2 2 2 2 2于是，该圆管横截面上的扭转切应力为T _500N2itR5 271 x 0.02052 x 0.001m2=1.894xl08Pa=189.4MPa依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 rf=T=189.4MPa该圆管表面纵线的倾斜角为T=M2.53xlOd4-7 试建立薄壁圆管的扭转切应力公式，即式(4-7),并证明当A 0 2 10时，该公式的最大误差不超过4.53%o解：我们设薄壁圆管的平均半径和壁厚分别为几和3。微剪力:cL4对截面圆心(矩心)的微力矩为4尤4,由构成关系知，该截面的扭矩为T=j科勒(a)JA由于中心对称，7沿圆周方向大小不变；又由于管壁很薄，了沿壁厚方向也可近似地认为是均 匀分布的。这样一来，式(a)可以写成T=RqtA(b)对于薄壁圆管，其横截面面积可表示为A 2 2叫3(c)将式(c)代入式(b),得薄壁圆管的扭转切应力公式为22兀总5(4-7)设%=B，按照公式（4-7）计算的扭转切应力为工2冗磔2珅2按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径依次为d=2R0-d9。=24+3横截面的极惯性矩为4=考。J/）=W（2.+犷-Q风-=80mm,壁 厚3=6mm,许用切应力=40MPa。试求扭力矩M的许用值。6固定格板题4-11图解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于1.由圆轴48求M的许用值MiM、16此T =L=-1V 匕ma Wx nd3-L J由此得M、7?0/1022此管不是薄壁圆管。80802 aL ti D(l-a)由此得必兀。3(i 一 仪，上2_ 兀 x0.0803 x(1-0 85。x40 x 10$1616 1.922 xlO3N-m=1.922kN-m结论：扭力矩的许用值为M=1.922kN-m。4-13 图示阶梯形轴，由A5与5C两段等截面圆轴组成，并承受集度为机的均匀分 布的扭力矩作用。为使轴的重量最轻，试确定A5与5C段的长度4与4以及直径也与治。7已知轴总长为,许用切应力为r。解：1,求4题4-13图在截面4处有最大扭矩，其值为Miaxl=ml由该截面的扭转强度条件_&xl _ 16M r i max喝一兀4工得4=彳16ml万忖(a)2.求4出）段上的最大扭矩在截面B处，其值为(nax2=由截面方的扭转强度条件可得4=116m4 万工3.求W)该轴的总体积为胃喘严（一）+（甯产刃4.求，2根据极值条件8得一(心产+(回产X泞/3=。7Tt 7Tt 3即2 一工 0.465/5.求4和4aZ1=Z-Z2=l-(-)3/2Z0.535Z(b)(c)(d)甯=0.77543该轴取式(a)(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。4-14 一密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F=IkN作用。设弹簧的平均直径D=40mm,弹簧丝的直径d=7mm,许用切应力c=480MPa,试校核弹簧的强度。解：由于D 40 5m=5.71 10d 7故需考虑曲率的影响，此时，_ 87D(4m+2)_ 8 x 1.00 x 103 x 0.040 x(4 x5.71+2)N一兀屋(4 加一3)7ix0.0073 x(4 x 5.71-3)m2=3.72 x 1(/pa=372MPa结论：/axK，该弹簧满足强度要求。4-19 一薄壁圆管，两端承受扭力矩M作用。设管的平均半径为A。，壁厚为b,管 长为I,切变模量为G,试证明薄壁圆管的扭转角为Ml(P-2G兀曝证明：解此证明题的思路是了 7 f。薄壁圆管的扭转切应力为_ T _ M 工=此=及暗从而有t M y=-G 2G 戒 B9注意到切应变/代表了圆管母线45的倾斜角，示如图4-19。右端点5绕所在截面圆心转过图 4-19弧段5肥，在小变形条件下，其值 Ml s=yi=-2G谒5弧段55,所对应的圆心角，正是圆管右端面相对于左端面的扭转角，即5 _ MlR 2Gti%34-20 图示圆锥形薄壁轴Ab,两端承受扭力矩M作用。设壁厚为b,横截面A与5 的平均直径分别为心与源，轴长为/，切变模量为G。试证明截面A和5间的扭转角为_ 2MI dA+dB(Paib 兀 G.点题4-20图证明：自左端4向右取坐标x,轴在x处的平均半径为1 d o d A 1R(x)=-(+X)=5(d/+以)式中,dB da c 二-I轴在X处的极惯性矩为Ip=2叫5=2tiS|(+cx)3=弓(d4+cx)3依据&(p _ T(x)_ 4Mdx G/p Gud(dA+ex)3得截面Z和5间的扭转角为ioAM r i d(dA+ex)TtGd0 c(d/+ex)32M 2 iX(d4+ex)|0TlCrde-2MI 1_1_ _ 2Ml(dA+dB)TtGd(dB-dAydl 下一兀G3dj 媪4-21图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为 已知常数。题4-21图(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。设/、5两端的支反力偶矩分别为和71,它们的转向与扭力矩/相反。由于左右 对称，故知ma=mb由=0可得Ma+Mb=2Ma=2M即M A=Mr=MA D(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩示如图4-21(b)。图 4-21(b)变形协调条件为%=0(a)11利用叠加法求05,得到Ma M(ld)MB(3a)(P R=-1-GIP GIp GIp将式(b)代入式(a),可得Mr=M b 3进而求得Ma=：M(转向与儿的相反)(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到(b)Mq 的转向与相相反。(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩儿。，从变形趋势不难判断，Mb的转向与加相反。变形协调条件为%二(c)利用叠加法求Oh得到(从左端向右取)9b-%,冽+Wb,Mbra ma-x)=Jo _ ma2 2MBa(d)%将式(d)代入式(c),可得“，maMr=B 4进而求得x,x,3maM A=ma M B=4Ma的转向亦与加相反。说明：用书中例4-7介绍的方法求解本题，结果相同，但工作量要大一些。4-22 试确定图示轴的直径。已知扭力矩Mi=400N m,M2=600N m,许用切应力r=40MPa,单位长度的许用扭转角9=0.25(。)/m,切变模量G=80GPa。12500750125048%题4-22图解：L求儿的，画扭矩图此为静不定轴，设6端支反力偶矩为屈入该轴的相当系统示如图4-22(a)。5007501250ABM】m2(a)220380(单位:Nm)(b)图 4-22用叠加法求05,(pB=-400 x 0.500-600 xl.250+M5x 2.500 G/p将其代入变形协调条件%=0,得Mr n(600 x1.250-400 x0.500)N-m2 _ 22ON m2.500m该轴的扭矩图示如图4-22(b).2.由圆轴扭转的强度条件求d 由扭矩图易见，T=380NmI I max将其代入扭转强度条件,TLx _ 16图2Tmax矶416rL-%一兀/y t,d2/d T d2在/作用下，V所在截面。只有一个扭转角，故知变形协调条件为ac =9c(a)这里足标中的力和6系指轴的左端面和右端面。2.物理方面依据剪切胡克定律，有丫 ImaxllmaxGy 2max,2 maxG(b)要使轴最轻，只有使Gmax=C2max=r才能实现(等强度观点)，由式8)可得71 max-Xlmax注意到了 Imax将式(d)代入式(c),得到9c(4/2)a_ 9c(-2/2)/2 max-c(d)(e)d 11 d、2143.静力学方面从M作用截面处取一轴段，由该轴段的力矩平衡条件，可得解法21.静力学方面(+闾(f)又从等强度要求可知，(二町，4四=”由此可得?奇咛 联解方程(g)与(f),得Q 园=87=/进而由昨也中得到轴的直径为,3|16x8M 0 116M”%=r=2硒”设该轴左、右端的支反力偶矩分别为此和M小并设它们均与M反向。由O 得ma+mb-m=o或以扭矩表示为T1+T2-M=Q(a)2.几何方面设M所在截面为C,可写出变形协调条件为 AC+WCD=0或写成0zc=|OcM(b)3.物理方面Wac=GI,%/G1 Pl P215将式(c)代入式(b),得ZL四P22d：d为使该轴最轻，引入等强度条件max=上由此得11叫2用比较式(d)和(f),得d 2=2dl将方程(a)与补充方程(f)联解，并注意到式(g),有(d)(e)(g)=72 max=即T JN监”Q 四=81丁 y进而由式(e)得到由此可得讣喂=|.4 二 2VW 14-24图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷方作用。试求轴端的扭转角。已知 载荷F=750N,轴1和轴2的直径分别为Ji=12mm和d2=15mm,轴长均为Z=500mm,摇臂长 度=300mm,切变模量 G=80GPa。题4-24图16解：这是静不定问题。变形协调条件为11=/2或|闻=。2(a)这里，4和4分别为刚性摇臂1,2在接触点处的竖向位移。设二摇臂的接触力为F.,则轴1和2承受的扭矩分别为因=尸(自一为，T2=F2a(b)物理关系为将式(c)代入式(a),并注意到式(b),可得F-dF2 2(d：+d；)由此得_ _ 16Fal _ 16x750 x0.300 x0,500m6 GI 兀G(d：+-x 80 x 109 x(0.0124+0.0154)m=0.1004 rad=5.75=|4-26 如图所示，圆轴Ab与套管CD借刚性突缘焊接成一体，并在突缘承受 扭力矩M作用。圆轴的直径d=38mm,许用切应力q=80MPa,切变模量Gi=80GPa；套管 的外径。=76mm,壁厚5=6mm,许用切应力%=40Mpa,切变模量G?=40GPa。试求扭 力矩M的许用值。题4-26图解：1.解静不定，求北、t217此为静不定问题。静力学关系和变形协调关系分别为和物理关系为T+%=MG4 2 GJp2(a)(b)(c)9=9?%将式(c)代入式(b),并注意到76-12 cco,兀4、,兀陵 a=-=0.8421,/n=-(1-cr4),/n=-76 2 32 P1 32可得T _ GJp T _ 2d4 2T 4x384 小1-G2Ilx 2 Dl-a4)3 2 3x764(1-0.84214)2-2()将方程(a)与(d)联解，得5=0.856跖 Tx=0A44M2.由圆轴的强度条件定/的许用值T.16xO.144M 八 IGmax 一 73 一出j nd由此得M兀 d3r(16x0.1447i x0.03 83 x 80 x106 n 5 99x1()3n 99kN16x0.1443.由套管的强度条件定M的许用值72 maxJ6xO.856M j 兀。)由此得M 0.0763 x(1 0.84214)x40 x1()6 n-16x0.856 16x0.856=2.00 x 1。3 n.m=2.OOkN-m结论：扭力矩的许用值为M=2.00kN-m。4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体。该轴承受 扭力矩M=100N-m作用，试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为q=80MPa与 rc=20MPa,切变模量分别为 Gs=80GPa 与 Gc=40GPao18题4-27图解：1.解静不定，求(和北1此为静不定问题。为看清楚起见,可将钢轴与铜管拆开，二者的受力图分别示如图4-27(a)和(b)。(b)图 4-27静力学方面Ts+TC1=M,Tc2=Ts(a)几何方面9s=9c=化1=化2(b)物理方面将式(c)代入式(b),并注意到式(a)中的第二式及Gs/G=2,得=0.875,/ps=O：m4=1.571xlo-W19/pc=兀 x；4 x(1 _ o.8754)m4=1.040 x 10 7m4代入式(d),得7.627；=&(e)再将式(e)代入式(a)中的第一式，得到7；=0.116M=11.6N-m,Tci=0.884/=88.4N-m2.校核强度 对于钢轴，16xll.6N7i x0.0203m2=7.38 xlO6Pa=7.38MPa rs对于铜管,Tci _ 16x88.4N-7i x0.0403(l-0.8754)m2=1.700 xlO7Pa=17.00MPa rc结论：二者均满足扭转强度要求。4,28 将截面尺寸分别为0 100mmX 90mm与090mmX 80mm的两钢管相套合，并 在内管两端施加扭力矩M)=2kNm后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力矩跖后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。解：1.解静不定，求刀、Te此为静不定问题。内管两端施加后，产生的扭转角为G/p,(a)去掉后，有静力学关系几何关系为物理关系为上，心卫 G/p,GIp,(b)(c)(d)%+乳=。将式(d)和式(a)代入式(c),得覃 Q=Ml%GiJg%20或写成Te=Mf由此得Te=(M0-Ti)=1.395(M0-Ti)将方程(e)与(b)联解，得T=Te=O.5825Mo=1.165kN-m2.计算最大扭转切应力内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为T=JL=-=2.17 x 107Pa=21.7MPa5ax w 兀 x 0.0903l-(8/9)4m2(e)maxTe _ 16xll65N7ix0.1003 x(l-0.94)m2=1.725 xlO7 Pa=17.25MPa4-29图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为。=100mm的圆周上，突缘的厚度为3=L0mm,轴所承受的扭力矩为5.0kN m,螺栓的许用切应力c=LOOMPa,许用挤压应力Sbs=300MPa。试确定螺栓的直径d。解：1.求每个螺栓所受的剪力 由Z%=。,M3D2.由螺栓的剪切强度条件求d由此得Fs _ 4M A 3nDd24M 3tiDt4x5.0 xl03m23tix0.100 x100 x106=1.457x10 2m=14.57mm3.由螺栓的挤压强度条件求dK M 八、（Tbs-V（Tbs bs 5d 3。5 d bs由此得=_5.0 x*_3。况 bbs 3 x 0.100 x O.OlOx 300 x 106=5.56 x 10-3m=5.56mm结论：最后确定螺栓的直径d 2 14.57mm。4-33 图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm,6=160mm,=3mm,32=4mm,T=6kN mo试求最大扭转切应题4-33图解：该薄壁杆截面中心线所围面积为a=（。-3一?）（，-2）/4=7rx(0.200-0.0015-0.002)x(0.160-0.004)m2/4=2.41xl(T2m2由此得最大扭转切应力为max2皿m6x103N2 x 2.41 xl02 x 0.003m2=4.15xlO7Pa=41.5MPa4-34 图a所示等厚度薄壁圆管，内、外壁的半径分别为小与尺2,即壁厚5=-4o 因加工原因，圆管内壁轴线与外壁轴线间存在偏差C（图b）。若图a和b所示圆管的许用扭 力矩分别为外与7,试建立二者间的关系式，并计算当偏差e=5/10与e=5/2时，许用 扭力矩的降低量（用4的百分比表示）。22(a)(b)题4-34图解：对于等厚度薄壁圆管，平均半径和壁厚分别为凡=氏手，根据扭转强度条件T得由此得JT=5(招+&)2(a-8)可对于有加工偏差e的变厚度薄壁圆管，平均半径同上，但最小壁厚成为min=R2Rle根据扭转强度条件T=_r_ 2叫盘m 一得742兀(旦产)2(%-凡-6)田由此得厂1=58+&)2(凡-凡-e)旬比较式(b)和式(a),不难找到二者的关系，其关系式为为=芭今笔1=1”()(火2 居)O(a)当偏差e=3/10和e=5/2时，T与区的比值依次为。/%=(1-5)=黑和23四研七）嗑即许用扭力矩的降低率依次为10%和50%o4-35图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以 及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。:1+上26题4-35图解：由于三者中心线的长度相同，故有2 x(2b+6)=4a=兀4由此得b=Ttd/6,a-nd/A据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的0,其值