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椭圆的定义与标准方程
年 级
高中二年级
科 目
数学
时间安排
2课时
课 题
椭圆的定义与标准方程

教学目标

（1）知识与能力目标：学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推
导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程.
（2）过程与方法目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探
索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.
（3）情感、态度与价值观目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论.
重 点
椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程
难 点
椭圆标准方程的建立和推导
教学方法
讲授法、讲练结合法
课的类型
新课
教学手段
使用了多媒体辅助教学,充分发挥其快捷、清晰、形象的特点

教材分析

《椭圆的标准方程》是继学习必修2圆以后又一个二次曲线的实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从方法上说，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法.椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用.
教 学 步 骤 和 内 容 及 时 间 分 配
（一）设置情景，引出课题
问题：2008年9月28日上午9时，“神州七号”载人飞船顺利升空，实现多人航天天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州七号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州六七号”运行轨道图片和视频．请学生列举生活中椭圆的例子.
（二）实验探索,建构新知
1.玻璃杯装半杯水,适度倾斜,观察水面是个什么形状?
2. 手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在
画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉
近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆
分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？
（2）在这个运动过程中，什么是不变的？
答：两个定点，绳长
即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上的点与两个定点距离之和不变）
（三）小组讨论,定义形成
先让学生回顾圆的定义，然后小组合作讨论,形成椭圆定义: 平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
椭圆定义的再认识
问题：假设与两定点的距离之和为d,为什么要满足d>2c呢？
（1）当d=2c时，轨迹是什么？（2）当d<2c时，轨迹又是什么？
结论：（1）、当d>|F1F2|时，是椭圆；（2）、当d=|F1F2|时，是线段；
（3）、当d<|F1F2|轨迹不存在.

（四）方程推导,学会建系
取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴
设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.
则，又设M与距离之和等于()（常数）

，

，
化简，得 ，
由定义,
令代入，得 ，
两边同除得
此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程
如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得
，也是椭圆的标准方程
理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小)
（五）应用方程,实际演练
范例1.求下列椭圆的焦点坐标以及椭圆上每一点到两焦点距离的和.
(1) (2) (3)
范例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10.
（2）.
范例3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的范围 .
变式1把上面的方程变为,那么结果将如何呢?
变式2如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
（A）（0，+∞） （B）（0，2） （C）（1，+∞） （D）（0，1）

（六）课堂训练,反思调节
A组
1 椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A.5 B.6 C.4 D.10
2.椭圆的焦点坐标是（ ）
A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)
3．已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ）
（A）6 （B）3 （C） （D）6
4．是定点，且，动点满足，则点的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段
B组
5.已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ ）
A.2 B.2
C.2 D.
6．椭圆的焦距是2，则实数的值是（ ）
（A）5 （B）8 （C）3或5 （D）3
C组
7．已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于A、B两点，则的周长为（ ）
（A）8 （B）20 （C）24 （D）28
（七）课堂小结,及时复习
标准方程
+=1
x
y

M
O
+=1
图形
x
y

M
O

a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置
在x轴上
在y轴上
（八）作业布置
必做题:教科书P41第3大题(1)(2),第4大题
探究题: 方程什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在轴上的椭圆？什么时候表示焦点在轴上的椭圆？

板书设计

教学后记

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