初三数学压轴题求最小值.docx

初三数学压轴题求最小值或最大值
线段最值：将军饮马模型
一、线段最值

1.如图1，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小.
(2)如图2，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小.
(3)如图3，在直线l上找一点Q，使AQ－BQ最大.
(4)如图4，在直线l上找一点Q，使AQ－BQ最大.
(尺规作图，保留作图痕迹，用铅笔作图.)

答案
解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
（3）如图3所示；
（4）如图4所示．

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边0A和OB上各找一点E，F，使得△PEF的周长最小.试画图形，并说明理由.

答案
解：如下图：

分别作点P关于OA，OB的对称点 P' ， P'' 连接 P' ， P'' 分别交OA于点E，交OB于F，则点E、F就是使△PEF的周长最小的两点；理由：因为P与 P' 关于OA对称，所以PE＝ P'E ，同理PF＝ P''F ，所以PE＋PF＋EF＝ P'E ＋EF＋ P''F ＝ P'P'' ；因为 P' 与 P'' 两点之间 P'P'' 最短，所以△PEF的周长此时最小.
故答案为：
略.
借助轴对称的性质将线段进行转化是解题的关键.
对称点．
如图，已知点A、B在∠MON内，在射线OM、ON上分别求作点C、D，使四边形ABCD的周长最小.

答案
解：如图所示：C、D为所求点.

故答案为：
；C、D为所求点.
如图，已知点A、B分别在直线l的两侧，试在l上找一点P，使︱PA－PB︱最大.

答案
解：
作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．

故答案为：
略．
本题考查的是作图-轴对称变换，比较简单．熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键，此类问题要能归结到作对称点的问题，且同侧和最小，两侧差最大．
解析
作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA-PB|=|P′A-PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA-PB|的值最大．

例：已知如图，抛物线y=x2+4x-3 过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（2）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

答案
解：（1）令x=0，则y=3，
∴点C（0，3），
则直线AC的解析式为y=-x+3，
设点P（x， x2 -4x+3），
∵PD∥ y轴，
∴点D（x，-x+3），
∴PD=（-x+3）-（x2 -4x+3）=-x2 +3x=-⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠x- 322+ 94 ，
∵a=-1＜0，
∴当x= 32 时，线段PD的长度有最大值 94 ；
（2）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，
∴MA=MB，
由三角形的三边关系，|MA-MC|＜BC，
∴当M、B、C三点共线时，|MA-MC|最大，为BC的长度，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩k+b＝0b＝3 ，
解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩k＝−3b＝3 ，
∴直线BC的解析式为y=-3x+3，
∵抛物线y=x2 -4x+3的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y=-3x2 +3=-3，
∴点M（2，-3），
即，抛物线对称轴上存在点M（2，-3），使|MA-MC|最大．

故答案为：
(1)  94   ; (2)抛物线对称轴上存在点M（2，-3），使|MA-MC|最大．
解析
（1）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（2）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA-MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解.
解析
（1）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（2）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA-MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解.

2.已知如图，抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与点重合），过点作轴交直线于点。

（1）求抛物线的解析式。
（2）求点在运动的过程中线段长度的最大值。
（3）能否构成直角三角形？若能请直接写出点坐标，若不能请说明理由。
（4）在抛物线对称轴上是否存在点使最大？若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由。
答案详解
（1）因为抛物线过点，，所以，得：，解得：，代入得：，故原方程的解为，所以抛物线的解析式是。
（2）当时，，所以点的坐标是，则直线的解析式是。设，因为，所以，则。因为，当时，线段的长度有最大值是。
（3）①当时，点与点重合，则。②当时，因为抛物线，所以抛物线的顶点是。又因为，所以当点在抛物线顶点时，，则。综上所述，或时，能构成直角三角形。
（4）由抛物线的对称性得对称轴垂直平分，所以。由三角形的三边关系得，所以当、、三点共线时，最大，且是的长度。设直线的解析式是，则，解得，所以直线的解析式是。因为抛物线的对称轴是，所以当时，，则点，故在抛物线对称轴上存在点，使最大。

解析:
本题主要考查二次函数的应用。
（1）把点、的坐标代入抛物线解析式中得到、的值，即得到抛物线解析式。
（2）求出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，设，表示出的长，然后利用二次函数的性质求得线段长度的最大值。
（3）①当，点与点重合，即得到的坐标。②求出抛物线顶点坐标，然后判断点在抛物线顶点时，是直角，得到的坐标。
（4）由抛物线的对称性得对称轴垂直平分，所以。再根据三角形的三边关系得到当、、三点共线时，最大，且是的长度。解出直线的解析式，求得点的坐标即可。

初三数学压轴题求最小值
1. 在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点， A、 B、 C三点的坐标为（ ，0）、（3 ，0）、（0，5），点 D在第一象限，且∠ ADB＝60 º，则线段 CD的长的最小值为__2﹣2____.
解析
如图，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，

∵A（，0）、B（3，0），
∴E（2，0）
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2，1），
∵C（0，5），
∴PC==2，
又∵PD=PA=2，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）
∴CD最小值为：2-2；
故答案为：2-2。

2.直线分别与x轴、y轴相交与点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是                           （  ▲  ）

A．          B．           
C．             D．1班
答案详解A
解:在和中, 
, 
, 
, 
,, 
, 

在以MN为直径的圆上, 
,, 
圆心G为,半径为
当圆心G,点P,三点共线时,P到的最小值, 
,, 
, 
这个最小值为
所以A选项是正确的.
解析:
首先证明,推出,推出P在以MN为直径的圆上,所以当圆心G,点P,三点共线时,P到的最小值.求出此时的PC即可.

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