资源描述
一、填空题
1．定义一种新运算，其规则是：当时，，当时，，当时，，若，则____________．
答案：或﹣5
【分析】
根据新定义运算法则，分情况讨论求解即可．
【详解】
解：当x＞﹣2时，则有，解得：，成立；
当x=﹣2时，则有，解得：x=3，矛盾，舍去；
当x＜﹣2时，则有，解得：x=﹣5，成立
解析：或﹣5
【分析】
根据新定义运算法则，分情况讨论求解即可．
【详解】
解：当x＞﹣2时，则有，解得：，成立；
当x=﹣2时，则有，解得：x=3，矛盾，舍去；
当x＜﹣2时，则有，解得：x=﹣5，成立，
综上，x=或﹣5，
故答案为：或﹣5．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算、解一元一次方程，理解新定义运算法则，运用分类讨论思想正确列出方程是解答的关键．
2．一副三角板按如图所示（共定点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝___°时，DE∥AB．
答案：30或150
【分析】
分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】
解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图2所示，当ED∥AB时，∠D
解析：30或150
【分析】
分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】
解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图2所示，当ED∥AB时，∠D=∠BAD=180°，
∵∠D=30°
∴∠BAD=180°-30°=150°；
故答案为：30°或150°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
3．在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|＋（b﹣3）2＝0．点M的坐标为（，1），点N是坐标轴的负半轴上的一个动点，当四边形ABOM的面积与三角形ABN的面积相等时，此时点N的坐标为___________________．
答案：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）
【分析】
分点N在x轴的负半轴上或y轴的负半轴上两种情况讨论即可．
【详解】
∵|a﹣2|＋（b﹣3）2＝0．
∴a＝2，b＝3，
∴A（0，2），B（3，0），
∵
解析：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）
【分析】
分点N在x轴的负半轴上或y轴的负半轴上两种情况讨论即可．
【详解】
∵|a﹣2|＋（b﹣3）2＝0．
∴a＝2，b＝3，
∴A（0，2），B（3，0），
∵点M的坐标为（，1），
∴四边形ABOM的面积＝S△AMO＋S△ABO22×3，
当点N在y轴的负半轴上时，•AN•OB，
∴AN＝3，ON＝AN﹣OA＝1，
∴点N的坐标为（0，﹣1），
当点N在x轴负半轴上时，•BN•AO，
∴BN＝4.5，ON＝BN﹣OB＝1.5，
∴点N的坐标为（﹣1.5，0），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（0，﹣1）或（﹣1.5，0）．
故答案为：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，多边形面积等知识，关键是学会利用分割法求四边形的面积，用分类讨论思想思考问题．
4．如图所示，已知A1（1，0），A2（1，﹣1）、A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…，按一定规律排列，则点A2021的坐标是________．
答案：（506，505）
【分析】
经过观察可得在第一象限的在格点的正方形的对角线上的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加1，在第二象限的点的横坐标依次加﹣1，纵坐标依次加1；在第三象限的点的横坐标依次加﹣1
解析：（506，505）
【分析】
经过观察可得在第一象限的在格点的正方形的对角线上的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加1，在第二象限的点的横坐标依次加﹣1，纵坐标依次加1；在第三象限的点的横坐标依次加﹣1，纵坐标依次加﹣1，在第四象限的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加﹣1，第二，三，四象限的点的横纵坐标的绝对值都相等，并且第三，四象限的横坐标等于相邻4的整数倍的各点除以4再加上1，由此即可求出点A2021的坐标．
【详解】
解：根据题意得4的整数倍的各点如A4，A8，A12等点在第二象限，
∵2021÷4＝505…1；
∴A2021的坐标在第一象限，
横坐标为|（2021﹣1）÷4+1|＝506；纵坐标为505，
∴点A2021的坐标是（506，505）．
故答案为：（506，505）．
【点睛】
本题考查了学生阅读理解及总结规律的能力，解决本题的关键是找到所求点所在的象限，难点是得到相应的计算规律．
5．如图，一个点在第一象限及轴、轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，那么第42秒时质点所在位置的坐标是______．
答案：（6，6）
【分析】
根据质点移动的各点的坐标与时间的关系，找出规律即可解答．
【详解】
由题意可知质点移动的速度是1个单位长度╱秒，
到达(1，0)时用了3秒，到达(2，0)时用了4秒，
从(2，
解析：（6，6）
【分析】
根据质点移动的各点的坐标与时间的关系，找出规律即可解答．
【详解】
由题意可知质点移动的速度是1个单位长度╱秒，
到达(1，0)时用了3秒，到达(2，0)时用了4秒，
从(2，0)到(0，2)有四个单位长度，则到达(0，2)时用了4+4＝8秒，到(0，3)时用了9秒，
从(0，3)到(3，0)有六个单位长度，则到(3，0)时用了9+6＝15秒，
以此类推到(4，0)用了16秒，到(0，4)用了16+8＝24秒，到(0，5)用了25秒，到(5，0)用了25+10＝35秒，
故第42秒时质点到达的位置为(6，6)，
故答案为：（6，6）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律进而得出第42秒时质点所在位置的坐标是解题关键．
6．如图，正方形ABCD的各边分别平行于x 轴或y 轴，且CD边的中点坐标为（2，0），AD 边的中点坐标为（0，2）．点M，N分别从点（2，0）同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动．点M按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，点N按顺时针方向以3个单位/秒的速度匀速运动，则M，N两点出发后的第2020次相遇地点的坐标是____．
答案：（2，0）
【分析】
由图可知，正方形的边长为4，故正方形的周长为16，因为N和M的速度分别为3个和1个单位，所以用正方形的周长除以（3+1），可得第一次相遇时间，从而算出M所走过的路程，则第二次和
解析：（2，0）
【分析】
由图可知，正方形的边长为4，故正方形的周长为16，因为N和M的速度分别为3个和1个单位，所以用正方形的周长除以（3+1），可得第一次相遇时间，从而算出M所走过的路程，则第二次和第三次相遇过程中M所走过的路程和第一次是相同的，从而结合图形可求得第2020次相遇时的坐标．
【详解】
由图可知:
∴正方形ABCD的边长为4，周长为4 × 4= 16,
∴点M与点N第一次相遇的时间为:（秒）
∴此时点M所运动的路程为: 4×1 = 4即M从(2, 0)到了(0,2),
∴M、N第一次相遇的坐标为(0, 2),
又∵M、N的速度比为1：3,时间相同,
∵M、N的路程比为1：3,
∴每次相遇时，M点运动的路程均为
∴第二次相遇时，M在(- 2,0)， 即(-2, 0)为相遇地点的坐标，
第三相遇时，M在(0,-2)，即(0, -2)为相遇地点的坐标，
第四次相遇时，M在(2, 0),即(2, 0)为相遇地点的坐标，
第五相遇时，M在(0,2)，即(0, 2)为相遇地点的坐标，
……
∵
∴M和N两点出发后的第2020次相遇在(2, 0).
故答案为：(2, 0).
【点睛】
本题考查了物体在平面直角坐标系中运动的规律问题，明确相遇问题的计算公式及多次相遇中物体所走路程的规律是解题的关键．
7．在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣和﹣，则M，N间的距离为 ___，MN中点表示的数是 ___．
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ___．
答案：2
【分析】
（1）直接根据定义，代入数字求解即可得到两点间的距离；根据两点之间的距离得出其一半的长度，然后结合其中一个端点表示的数求解即可得中点表示的数；
（2）先根据|a﹣c|＝|b﹣c|与a≠
解析：2
【分析】
（1）直接根据定义，代入数字求解即可得到两点间的距离；根据两点之间的距离得出其一半的长度，然后结合其中一个端点表示的数求解即可得中点表示的数；
（2）先根据|a﹣c|＝|b﹣c|与a≠b推出C为AB的中点，然后根据题意分类讨论求解即可．
【详解】
解：（1）由题意，M，N间的距离为；
∵，
∴，
由题意知，在数轴上，M点在N点右侧，
∴MN的中点表示的数为；
（2）∵且，
∴数轴上点A、B与点C不重合，且到点C的距离相等，都为1，
∴点C为AB的中点，，
∵，
∴，
即：数轴上点A和点D的距离为，讨论如下：
1>若点A位于点B左边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，；
2>若点A位于点B右边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，；
综上，线段BD的长度为或，
故答案为：2；；或．
【点睛】
本题考查数轴上两点间的距离，以及与线段中点相关的计算问题，理解数轴上点的特征以及两点间的距离表示方法，灵活根据题意分类讨论是解题关键．
8．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值__________．
答案：351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点
解析：351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
9．若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝_____．
答案：1或5．
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，
则x﹣y＝1或5．
故答案为1
解析：1或5．
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，
则x﹣y＝1或5．
故答案为1或5．
【点睛】
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，，表示非负实数的整数部分，例如，. 按此方案，第6棵树种植点为________；第2011棵树种植点________.
答案：403
【解析】
当k=6时，x6=T（1）+1=1+1=2，
当k=2011时,=T()+1=403.
故答案是:2,403.
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk的表达
解析：403
【解析】
当k=6时，x6=T（1）+1=1+1=2，
当k=2011时,=T()+1=403.
故答案是:2,403.
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk的表达式并写出用T表示出的表达式是解题的关键．
11．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，按此规律排列下去，这列数中第个数及第个数（为正整数）分别是__________．
答案：；
【详解】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有，
又因为，，，，，所以第n个数的绝对值是，
所以第个数是，第n个数是，故答案为-82，.
点睛：本题主要考查了有理数的混合运
解析：；
【详解】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有，
又因为，，，，，所以第n个数的绝对值是，
所以第个数是，第n个数是，故答案为-82，.
点睛：本题主要考查了有理数的混合运算，规律探索问题通常是按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律，揭示的式子的变化规律，常常把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的规律．
12．对于正整数n，定义其中表示n的首位数字､末位数字的平方和．例如：，．规定，．例如：，．按此定义_____．
答案：145
【分析】
根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）=F8（4），然后根据所得的规律即可求解．
【详解】
解：F1（4）=16，F2（4）=F（16）=37，
F3（4
解析：145
【分析】
根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）=F8（4），然后根据所得的规律即可求解．
【详解】
解：F1（4）=16，F2（4）=F（16）=37，
F3（4）=F（37）=58，F4（4）=F（58）=89，
F5（4）=F（89）=145，F6（4）=F（145）=26，
F7（4）=F（26）=40，F8（4）=F（40）=16，
……
通过计算发现，F1（4）=F8（4），
∴，
∴；
故答案为：145．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，新定义运算，能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
13．若我们规定表示不小于x的最小整数，例如，，则以下结论：①；②；③的最小值是0；④存在实数x使成立．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）
答案：③④
【分析】
根据的定义逐个判断即可得．
【详解】
①表示不小于的最小整数，则，结论错误
②，则，结论错误
③表示不小于x的最小整数，则，因此的最小值是0，结论正确
④若，则
此时，
因此，存在实
解析：③④
【分析】
根据的定义逐个判断即可得．
【详解】
①表示不小于的最小整数，则，结论错误
②，则，结论错误
③表示不小于x的最小整数，则，因此的最小值是0，结论正确
④若，则
此时，
因此，存在实数x使成立，结论正确
综上，正确的是③④
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义是解题关键．
14．如图，数轴上点的初始位置表示的数为，将点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动6个单位长度至点，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是__________，如果点与原点的距离等于，那么的值是__________．
答案：-4, 8或11
【解析】
序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少2，分别为0，-2，-4，-6，-8，-10……，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加2，分
解析：-4, 8或11
【解析】
序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少2，分别为0，-2，-4，-6，-8，-10……，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加2，分别为4，6，8，10……，所以A5表示的数是-4，当点与原点的距离等于10时，n为8或11，故答案为-4；n为8或11.
15．若[x]表示不超过x的最大整数．如[π]＝3，[4]＝4，[﹣2.4]＝﹣3．则下列结论：
①[﹣x]＝﹣[x]；
②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；
③x＝﹣2.75是方程4x﹣[x]+5＝0的一个解；
④当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2．
其中正确的结论有 ___（写出所有正确结论的序号）．
答案：②④
【分析】
根据若表示不超过的最大整数，①取验证；②根据定义分析；③直接将代入，看左边是否等于右边；④以0为分界点，分情况讨论．
【详解】
解：①当x＝2.5时，[﹣2.5]＝﹣3，﹣[2.5]
解析：②④
【分析】
根据若表示不超过的最大整数，①取验证；②根据定义分析；③直接将代入，看左边是否等于右边；④以0为分界点，分情况讨论．
【详解】
解：①当x＝2.5时，[﹣2.5]＝﹣3，﹣[2.5]＝﹣2，
∴此时[﹣x]与﹣[x]两者不相等，故①不符合题意；
②若[x]＝n，
∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴x的取值范围是n≤x＜n+1，故②符合题意；
③将x＝﹣2.75代入4x﹣[x]+5，得：
4×（﹣2.75）﹣（﹣3）+5＝﹣3≠0，故③不符合题意；
④当﹣1＜x＜1时，
若﹣1＜x＜0，[1+x]+[1﹣x]＝0+1＝1，
若x＝0，[1+x]+[1﹣x]＝1+1＝2，
若0＜x＜1，[1+x]+[1﹣x]＝1+0＝1；故④符合题意；
故答案为：②④．
【点睛】
本题主要考查取整函数的定义，是一个新定义类型的题，解题关键是准确理解定义求解．
16．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、…，若点的坐标为（2,0），则点的坐标为__________.
答案：(2，0)
【详解】
分析：按题中所示规律，依次往后列举出一些点的坐标，观察这些点的坐标特征求解.
详解：根据题意得，P1(2，0)，P2(1，4)，P3(－3，3)，P4(－2，－1)，P5(2，
解析：(2，0)
【详解】
分析：按题中所示规律，依次往后列举出一些点的坐标，观察这些点的坐标特征求解.
详解：根据题意得，P1(2，0)，P2(1，4)，P3(－3，3)，P4(－2，－1)，P5(2，0)，P6(1，4)，…….可以得到从第一个点开始，每4个点的坐标为一个循环.
因为2017＝504×4＋1，所以P2017与P1的坐标相同.
故答案为(2，0).
点睛：找数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程中归纳出运算结果或运算结果的规律，当所得结果按一定的数量循环时，则可根据循环的规律来解答.
17．材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么_____，_____．
答案：3； ．
【分析】
由可求出，由，可分别求出，，继而可计算出结果．
【详解】
解：（1）由题意可知：，
则，
（2）由题意可知：
，，
则，，
∴，
故答案为：3；．
【点睛】
本题主
解析：3； ．
【分析】
由可求出，由，可分别求出，，继而可计算出结果．
【详解】
解：（1）由题意可知：，
则，
（2）由题意可知：
，，
则，，
∴，
故答案为：3；．
【点睛】
本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键．
18．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则2@6 =____．
答案：4
【分析】
把x=2，y=6代入x@y=中计算即可．
【详解】
解：∵x@y=，
∴2@6==4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．
解析：4
【分析】
把x=2，y=6代入x@y=中计算即可．
【详解】
解：∵x@y=，
∴2@6==4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．
19．已知，点、分别为、上的点，点、、为、内部的点，连接、、、、、，于，，，平分，平分，则（小于平角）的度数为______．
答案：【分析】
过点，做平行于，根据平行线的传递性及性质得，同理得出，令，则，，则，通过等量关系先计算出，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．
【详解】
解：过点，做平行于，如下图：
，
，
则，
解析：
【分析】
过点，做平行于，根据平行线的传递性及性质得，同理得出，令，则，，则，通过等量关系先计算出，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．
【详解】
解：过点，做平行于，如下图：
，
，
则，
，
同理可得：，
令，则，
，则，
则，
，
，
，
平分，平分，
，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，找到角之间的关系，利用等量代换的思想进行计算求解．
20．已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；
（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．
答案：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，
解得，t＝15（s）；
②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，
即4t﹣180＝180﹣（45+t），
解得，t＝63（s）；
③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t﹣360＝t+45，
解得，t＝135（s）；
综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．
故答案为：15秒或63秒或135秒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
21．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝_____，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．
答案：或或
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形： ①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC， ∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠E
解析：或或
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形： ①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC， ∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
②如图2中，当AD∥CE时，
∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．
③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．
∵AD∥BE， ∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，
∴∠ACE＝75°+90＝165°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．
故答案为30°或120°或165°．
【点睛】
本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
22．如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED的度数为_______.
答案：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
23．如图，已知AB∥CD,∠EAF =∠EAB,∠ECF=∠ECD ,则∠AFC与∠AEC之间的数量关系是_____________________________
答案：4∠AFC=3∠AEC
【详解】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=18
解析：4∠AFC=3∠AEC
【详解】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．
【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC=∠AEC，
即：4∠AFC=3∠AEC，
故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
24．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为________
答案：【解析】
试题分析：过B作BE∥m，则根据平行公理及推论可知l∥BE，然后可证明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°.
故答案为：20.
解析：【解析】
试题分析：过B作BE∥m，则根据平行公理及推论可知l∥BE，然后可证明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°.
故答案为：20.
25．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
答案：y=90°-x+z．
【分析】
作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90
解析：y=90°-x+z．
【分析】
作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．
【详解】
解：作CG∥AB，DH∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥HD∥EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
26．已知，，，，且，请直接写出、、的数量关系________．
答案：（上式变式都正确）
【分析】
过点E作，过点F作，可得出（根据平行于同一直线的两条直线互相平行），根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即可得出答案．
【详解】
解：如图
解析：（上式变式都正确）
【分析】
过点E作，过点F作，可得出（根据平行于同一直线的两条直线互相平行），根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考察平行线的性质及等式的性质，作出相应的辅助线、找出相应的角的关系是解题关键．
27．如图，△ABC沿AB方向平移3个单位长度后到达△DEF的位置，BC与DF相交于点O，连接CF，已知△ABC的面积为14，AB＝7，S△BDO﹣S△COF＝___．
答案：2
【分析】
如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于G．利用三角形面积公式求出CG，再根据S△BDO﹣S△COF＝S△CDB﹣S△CDF＝求解即可．
【详解】
解：如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于
解析：2
【分析】
如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于G．利用三角形面积公式求出CG，再根据S△BDO﹣S△COF＝S△CDB﹣S△CDF＝求解即可．
【详解】
解：如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于G．
∵S△ABC＝•AB•CG，
∴CG＝＝4，
∵AD＝CF＝3，AB＝7，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣3＝4，
∴S△BDO﹣S△COF＝S△CDB﹣S△CDF＝，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
28．如图，已知，平分，，且，则的度数为______．
答案：140°
【分析】
延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠AGD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD＝∠ABF，然后根据角平分线的定义得∠EBF＝∠ABF，再根据平
解析：140°
【分析】
延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠AGD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD＝∠ABF，然后根据角平分线的定义得∠EBF＝∠ABF，再根据平行线的性质解答．
【详解】
解：如图，延长DE交AB的延长线于G，
∵，
∴∠D＝∠AGD＝40°，
∵BFDE，
∴∠AGD＝∠ABF＝40°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABF＝40°，
∵BFDE，
∴∠BED＝180°﹣∠EBF＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
29．已知：如图，平分，，，，则___．
答案：100°
【分析】
先由同位角相等，证得，进而证得，再由平行线的性质得出与的数量关系，然后由已知条件求得，最后用减去，即可求得答案．
【详解】
解：，
平分，
故答案为：．
【点睛
解析：100°
【分析】
先由同位角相等，证得，进而证得，再由平行线的性质得出与的数量关系，然后由已知条件求得，最后用减去，即可求得答案．
【详解】
解：，
平分，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关判定定理与性质定理．
30．我们可以用符号f(a)表示代数式．当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f(a)＝0.5a；如果a为奇数，f(a)＝5a+1．例如：f(20)＝10，f(5)＝26．设a1＝6，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)…；依此规律进行下去，得到一列数：a1，a2，a3，a4…(n为正整数)，则2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2013﹣a2014+a2015＝_____．
答案：7
【分析】
本题可以根据代数式f（a）的运算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6 ，a7的值，根据规律找出部分an的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论
解析：7
【分析】
本题可以根据代数式f（a）的运算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6 ，a7的值，根据规律找出部分an的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论．
【详解】
解：观察，发现规律：a1=6，a2=f（a1）=3，a3=f（a2）=16，a4=f（a3）=8，a5=f（a4）=4，a6=f（a5）=2，a7=f（a6）=1，a8=f（a7）=6，…，
∴数列a1，a2，a3，a4…（n为正整数）每7个数一循环，
∴a1-a2+a3-a4+…+a13-a14=0，
∵2015=2016-1=144×14-1，
∴2a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2013-a2014+a2015=a1+a20
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