初中数学勾股定理知识点总结及解析.doc

初中数学勾股定理知识点总结及解析

一、选择题
1．如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，已知，点在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是（ ）

A． B． C． D．1
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（　　）

A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm
4．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2018的值为(　　)

A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=，则△ABC的面积是（ ）．

A．36 B． C．60 D．
6．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点 B．BC的中点
C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点
7．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）

A． B． C． D．
8．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2
C．a=2，b=3，c=4 D．(b+c)(b-c)=a²
9．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A． B． C．5或 D．3或4
10．如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（ ）

A．cm B．4cm C．3cm D．6cm
二、填空题
11．如图所示的网格是正方形网格，则__________°（点，，是网格线交点）．

12．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到＇处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．

13．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．

14．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则的周长为_______________．
15．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是______.

16．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的边长分别为5和12，则b的面积为_________________.

17．已知、、是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为___________
18．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 ， 其中阴影部分面积是_____________平方单位．

19．在中，，其中一个锐角为，，点在直线上（不与，两点重合），当时，的长为__________．
20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为_______.

三、解答题
21．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．
（1）求BF的长；
（2）求CE的长．

22．已知a，b，c满足＝|c﹣17|+b2﹣30b+225，
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
23．已知中，.
（1）如图1，在中，，连接、，若，求证：
（2）如图2，在中，，连接、，若，于点，，，求的长；
（3）如图3，在中，，连接，若，求的值.

24．如图，在中，，.

(1)如图1，点在边上，，，求的面积.
(2)如图2，点在边上，过点作，，连结交于点，过点作，垂足为，连结.求证：.
25．如图，己知，，，斜边，为垂直平分线，且，连接，.

（1）直接写出__________，__________；
（2）求证：是等边三角形；
（3）如图，连接，作，垂足为点，直接写出的长；

（4）是直线上的一点，且，连接，直接写出的长.
26．如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接，. 与交于点，且∥.

（1）求证:；
（2）若，. 求的长 .
27．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，，均为等边三角形，在轴正半轴上，点，点，点在内部，点在的外部，，，与交于点，连接，，，.

（1）求点的坐标；
（2）判断与的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出的周长.
28．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；
②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．

29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．
（1）如图1，求∠BGD的度数；
（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；
（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝4，求菱形ABCD的面积．

30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE＝　 　（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是　 　度；
（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；
（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；
（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．

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一、选择题

1．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD.
【详解】
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴,
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
在Rt△BCD中， ,
∴,
解得CD=，
故选：C.
【点睛】
此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.
2．D
解析：D
【分析】
作点A关于OM的对称点E，AE交OM于点D，连接BE、OE，BE交OM于点C，此时△ABC周长最小，根据题意及作图可得出△OAD是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以∠OAE=∠OEA=45°，从而证明△BOE是直角三角形，然后设AB=x，则OB=3+x，根据周长最小值可表示出BE=6－x，最后在Rt△OBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】
解：作点A关于OM的对称点E，AE交OM于点D，连接BE、OE，BE交OM于点C，
此时△ABC周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE，
∵△ABC周长的最小值是6，
∴AB+BE=6，
∵∠MON=45°，AD⊥OM，
∴△OAD是等腰直角三角形，∠OAD=45°，
由作图可知OM垂直平分AE，
∴OA=OE=3，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠AOE=90°，
∴△BOE是直角三角形，
设AB=x，则OB=3+x，BE=6－x，
在Rt△OBE中，，
解得：x=1，
∴AB=1.
故选D.

【点睛】
本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，，，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，=3cm，

根据勾股定理得， ，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm.
故选：D.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.
【详解】∵OP=1，OP1=
OP2=，OP3==2，
∴OP4=，
…，
OP2018=．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
作于点D，设，得，，结合题意，经解方程计算得BD，再通过勾股定理计算得AD，即可完成求解．
【详解】
如图，作于点D

设，则
∴，
∴
∵AB=10，AC=
∴
∴
∴
∴△ABC的面积
故选：A．
【点睛】
本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
6．A
解析：A
【分析】
先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．
【详解】
解：如图

∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴活动中心P应在斜边AB的中点．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．
7．D
解析：D
【分析】
由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．
【详解】
解：如图所示，

∵BC∥AD，
∴∠DAE=∠ACB，
又∵BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠DEA=90°，
又∵AB=DE=400m，
∴△ABC≌△DEA，
∴EA=BC=300m，
在Rt△ABC中，AC=
∴CE=AC-AE=200，
从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，
∴最近的路程是500m．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．
8．C
解析：C
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【详解】
A、∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，是直角三角形，错误；
B、∠A：∠B：∠C＝1：3：2，可得∠B＝90°，是直角三角形，错误；
C、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；
D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，故是直角三角形，错误；
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
9．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．
【详解】
由题意可得，当3和4为两直线边时，第三边为：＝5，
当斜边为4时，则第三边为：＝，
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．
10．A
解析：A
【分析】
先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE的长.
【详解】
∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE=AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE=BD=,
∴BE= cm.
故选A.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
二、填空题

11．45
【分析】
如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ，只需证△ADC是等腰直角三角形即可
【详解】
如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD

设正方形网络每一小格的长度为1
则根据网络，AB=，AD=，CD=，BC=5，∴BD=2
其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理
∴∠CDA=90°
∵AD=DC
∴△ADC是等腰直角三角形
∴∠DAC=45°
故答案为：45°
【点睛】
本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD
12．
【分析】
连接AC＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC＇长，再比较大小即可得出结果．
【详解】
解：如图

展开成平面图，连接AC＇，分三种情况讨论：
如图1，AB=4，BC＇=1+2=3，
∴在Rt△ABC＇中，由勾股定理得AC＇==5（cm），
如图2，AC=4+2=6，CC＇=1
∴在Rt△ACC＇中，由勾股定理得AC＇==（cm），
如图3，AD =2，DC＇=1+4=5，
∴在Rt△ADC＇中，由勾股定理得AC＇==（cm）
∵5<<，
∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，
故答案为：5cm．
【点睛】
本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．
13．15厘米
【分析】
要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把和展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．
【详解】
解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，
∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB=厘米，矩形的宽BC=12厘米．
∴蚂蚁需要爬行最短路程厘米．

故答案为：15厘米
【点睛】
求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．
14．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
【详解】
当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；

当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴，
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；

综上，△ABC的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.
15．．
【分析】
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，

由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，
由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=2，
∴B′N=2×=，
即BM+MN的最小值是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
16．169
【解析】
解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△DCE，∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc==169．
故答案为：169．

点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
17．等腰直角三角形
【解析】
根据非负数的意义，由，可知，a=b，可知此三角形是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.
18．49
【分析】
先计算出BC的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90 ，,
∴,
∴阴影部分的面积=，
故答案为：49.
【点睛】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC的平方是解题的关键.
19．或或4
【分析】
根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．
【详解】
解：如图1：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴；
如图3：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°-30°=30°，
∴PC=PB，
∵，
∴，
在Rt△APB中，根据勾股定理,
即,
即，解得，
如图4：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴
在Rt△BCP中，根据勾股定理,
即,解得PC=4（已舍去负值）．
综上所述，的长为或或4．
故答案为：或或4．
【点睛】
本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键．
20．32
【分析】
由题意设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a＋2b=b，由此分析即可．
【详解】
解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=
由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a＋2b=b，
∵AM＝EF，

∵正方形EFGH的面积为4，
∴，
∴正方形ABCD的面积=
故答案为32.
【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
三、解答题

21．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在ABF中，可由勾股定理求出BF的长；
（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在CEF中，可由勾股定理求出CE的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10，
又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在ABF中，由勾股定理得：，
故BF的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，
又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，
∴FE=DE=8-x，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
在CEF中，由勾股定理得：，
∴，解得：x=3，
故CE的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
22．（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）能，60
【分析】
（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长
【详解】
解：（1）∵a，b，c满足＝|c﹣17|+b2﹣30b+225，
∴，
∴a﹣8＝0，b﹣15＝0，c﹣17＝0，
∴a＝8，b＝15，c＝17；
（2）能．
∵由（1）知a＝8，b＝15，c＝17，
∴82+152＝172．
∴a2+c2＝b2，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的周长＝8+15+17＝40；
三角形的面积＝×8×15＝60．
【点睛】
此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
23．（1）详见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS证△ACE≌△ABD可得；（2）连接BD，证，证△ACE≌△ABD可得,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则，利用勾股定理得AE，BE=，根据（1）思路得AD=BE=.
【详解】
(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
即∠EAC=∠DAB.
在△ACE与△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴；
(2)连接BD
因为， ，
所以是等边三角形
因为,ED=AD=AE=4
因为
所以
同(1)可知△ACE≌△ABD(SAS)，
所以,CE=BD=5
所以
所以BE=

(3)作CE垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则
所以AE=
因为
所以AE
又因为
所以
所以
因为
所以BC=CD,
因为同(1)可得△ACD≌△ECB(SAS)
所以AD=BE=
所以

【点睛】
考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.
24．（1）3；（2）见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理可得AC，进而可得BC与BD，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG=∠EBH，由已知易得BE∥AC，于是∠E=∠EFC，由于，，则根据余角的性质得∠EFC=∠BCG，于是可得∠E=∠BCG，然后根据ASA可证△BCG≌△BEH，可得BG=BH，CG=EH，从而△BGH是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．
【详解】
解：（1）在△ACD中，∵，，，∴，
∵，∴BC=4，BD=3，∴；
（2）过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则∠CBG+∠CBH=90°，
∵，∴∠EBH+∠CBH=90°，∴∠CBG=∠EBH，
∵，，∴BE∥AC，∴∠E=∠EFC，
∵，，∴∠EFC+∠FCG=90°，∠BCG+∠FCG=90°，
∴∠EFC=∠BCG，∴∠E=∠BCG，
在△BCG和△BEH中，∵∠CBG=∠EBH，BC=BE，∠BCG=∠E，∴△BCG≌△BEH（ASA），
∴BG=BH，CG=EH，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．（1），（2）证明见解析（3）（4）或
【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC的长；
（2）由为垂直平分线可得DB=DA，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE，故∠BDE为60°，即可证明是等边三角形；
（3）由（1）（2）可知，，AD=4，进而可求得CD的长，再由等积法可得，代入求解即可；
（4）分点P在线段AC上和AC的延长线上两种情况，过点E作AC的垂线交AC于点Q，构造Rt△PQE，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵，，，斜边，
∴，∴；
（2）∵为垂直平分线，∴ADB=DA，
在Rt△BDE中，
∵，，
∴，
∴BD=2BE，∴∠BDE为60°，
∴为等边三角形；
（3））由（1）（2）可知，，AD=4，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）分点P在线段AC上和AC的延长线上两种情况，
如图，过点E作AC的垂线交AC于点Q，

∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，
∵，∴，
①若点P在线段AC上，
则，
∴；
②若点P在线段AC的延长线上，
则，
∴；
综上，PE的长为或.
【点睛】
本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF的长，二是对点P的位置要分情况进行讨论.
26．（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC，BC的长．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴△是等边三角形.
∴.
∵∥，
∴.
∴.
（2）解：连接交于点，

∵，，
∴垂直平分.
∴.
∵△是等边三角形，
∴，
∴.
∵∥，
∴.
∴, .
∵.
∴.
∴△是等边三角形.
∴,
∴,.
在Rt△中，
∴.
在Rt△中，
∴.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
27．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出，，由勾股定理得出，即可得出点的坐标；
（2）由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，即可得出；
（3）证出，求出，由全等三角形的性质得出，证出，由等边三角形的性质得，即可得出答案．
【详解】
解：（1）是等边三角形，点，点，
，，，
点的坐标为，；
（2）；理由如下：
，均为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
；
（3），
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，为等边三角形，
为斜边的中点，
，
的周长．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
28．(1)45°；(2)GF=AG+CF，证明见解析；(3)①6； ②，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接BE．利用全等三角形的性质证明EB=ED，再利用等角对等边证明EB=EF即可解决问题．
（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，证明△GDH≌△GDF（SAS）即可解决问题．
（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，利用勾股定理构建方程求出x即可．
②设正方形边长为x，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图1中，连接BE．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，
∵EC=EC，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，
∵∠DEF=∠DCF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°，
∵∠EFB+∠EFC=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴DE=EF，
∵∠DEF=90°，
∴∠EDF=45°
故答案为45°．
（2）猜想：GF=AG+CF．
如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，

∴∠CDF=∠ADH，DF=DH，CF=AH，∠DAH=∠DCF=90°，
∵∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠DAH=180°，
∴H、A、G三点共线，
∴GH=AG+AH=AG+CF，
∵∠EDF=45°，
∴∠CDF+∠ADG=45°，
∴∠ADH+∠ADG=45°
∴∠GDH=∠EDF=45°
又∵DG=DG
∴△GDH≌△GDF（SAS）
∴GH=GF，
∴GF=AG+CF．
（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，
则有（3+x）2=（6-x）2+32，
解得x=2
∴S△BFG=•BF•BG=6．
②设正方形边长为x，
∵AG=a，CF=b，
∴BF=x-b，BG=x-a，GF=a+b，
则有（x-a）2+（x-b）2=（a+b）2，
化简得到：x2-ax-bx=ab，
∴S=（x-a）（x-b）=（x2-ax-bx+ab）=×2ab=ab．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
29．（1）∠BGD＝120°；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝26．
【解析】
【分析】
（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；
（2）如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可证明2GH=DG+GB；
（3）解直角三角形求出BC即可解决问题；
【详解】
（1）解：如图1﹣1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，
在△DAE和△BDF中，
，
∴△DAE≌△BDF，
∴∠ADE＝∠DBF，
∵∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，
∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．
（2）证明：如图1﹣2中，延长GE到M，使得GM＝GB，连接CG．

∵∠MGB＝60°，GM＝GB，
∴△GMB是等边三角形，
∴∠MBG＝∠DBC＝60°，
∴∠MBD＝∠GBC，
在△MBD和△GBC中，
，
∴△MBD≌△GBC，
∴DM＝GC，∠M＝∠CGB＝60°，
∵CH⊥BG，
∴∠GCH＝30°，
∴CG＝2GH，
∵CG＝DM＝DG+GM＝DG+GB，
∴2GH＝DG+GB．
（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt△CGH中，CH＝4，∠GCH＝30°，
∴tan30°＝，
∴GH＝4，
∵BG＝6，
∴BH＝2，
在Rt△BCH中，BC＝，
∵△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴S四边形ABCD＝2•S△BCD＝2××（）2＝26．
【点睛】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30．（1）t，45；（2）详见解析；（3）90°；（4）t的值为﹣1或+1，BE=．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）根据SAS即可证明△ADE≌△CDF；
（3）由△ADE≌△CDF，即可推出∠ADE=∠CDF，推出∠EDF=∠ADC=90°；
（4）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
（1）由题意：AE=t．
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD=∠ACD=45°．
故答案为t，45．
（2）∵∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，∴CD=AD=BD，∴∠A=∠DCB=45°．
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）．
（3）∵点E在边AC上运动时，△ADE≌△CDF，∴∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADC=90°．

（4）①当点E在AC边上时，如图1．在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=CB，AB=2，CD⊥AB，∴CD=AD=DB=1，AC=BC．
∵CE=CD=1，∴AE=AC﹣CE1，∴t1．
∵BC=，∴BE===；
②当点E在AC的延长线上时，如图2，AE=AC+EC1，∴t1．
∵BC=，∴BE===；

综上所述：满足条件的t的值为1或1，BE=．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．