“痛点”拓展一一复合函数的定义域问题.pdf

徐 勇 “痛点”是当下比较热的互联网术语,一般指市场不能充分满足的,而客户迫切需要满足的需求。在数学解题过程中,我们也会经常碰到类似的“痛点”,明明觉得思路清晰,解答正确,而最终还是出现偏差。下面就复合函数的定义域这一“痛点”加以剖析。一、表层“痛点”复合函数的定义域问题求复合函数的定义域就是求它的自变量x的取值范围,这是复合函数中的表层痛点所在。要注意函数y=f(x)中的x与y=fg(x)中的g(x)的取值范围是相同的。1.已知f(x)的定义域确定fg(x)的定义域例1 已知y=f(x)=2x-x2,求函数y=f(x)的定义域。分析:根据y=f(x)的解析式确定对应的定义域,再求函数y=f(x)的定义域。解:由y=f(x)=2x-x2,可得2x-x2 0,解得0 x2,即y=f(x)的定义域为0,2。函数y=f(x)中的x与函数y=f(x)中 的x取 值 范 围 相 同,所 以0 x 2,解得0 x 4,即函数y=f(x)的定义域为0,4。评析:由已知函数的定义域,求复合函数的定义域,只要把所求复合函数式中括号内的式子看成已知函数式中的x,再解不等式,即得复合函数的定义域。2.已知fg(x)的定义域确定f(x)的定义域例2 已知函数y=f(x2-1)的定义域为-3,3,则函数y=f(x)的定义域为。分析:根 据 自 变 量x的 取 值 范 围 确 定x2-1的取值范围,即为函数y=f(x)的定义域。解:由于y=f(x2-1)的定义域为-3,3,所以x-3,3,可得x2-1-1,2,即y=f(x)的定义域为-1,2。评析:函数fg(x)的定义域即为x的取值范围,再结合整体思维的应用,可得函数y=f(x)的定义域。3.运算类的复合型函数的定义域例3 若函数y=f(x)的定义域是1,2 0 2 3,则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是()。A.0,2 0 2 2B.0,1)(1,2 0 2 2C.(1,2 0 2 3D.-1,1)(1,2 0 2 2分析:由函数y=f(x)的定义域确定f(x+1)的定义域,再结合运算形式加以综合分析与处理。解:令t=x+1。由已知函数的定义域为1,20 2 3,可得1t20 2 3。要使函数f(x+1)有意义,需满足1x+120 2 3,解得0 x 2 0 2 2,所以函数f(x+1)的定义域为0,20 2 2。要使函数g(x)有意义,需满足0 x 2 0 2 2,x-10,解得0 x1或10,解 得-4 a 4。故实数a的取值范围为(-4,4。评析:求复合函数的综合应用问题,为避免因忽略内层函数或外层函数的定义域而造成的“痛点”,可以从复合函数自身的结构出发,采取“由内到外”或“由外到内”的方法,逐层分析复合函数的相关定义域。作者单位:江苏省兴化中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年1 0月