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第八章第八章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室8.5 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组及其导数及其导数及其导数及其导数目录上页下页返回结束高等数学高等数学复习复习例如,方程确定隐函数 y=f(x),在一定条件下,确定隐函数 y=f(x)求导方法求导方法:两边对 x 求导,再解关于导数的方程.在方程两边对 x 求导,得但并不是任何一个方程都能确定隐函数,本节给出隐函数存在的条件,及求导公式.目录上页下页返回结束高等数学高等数学一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1则方程连续的隐函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)在x0的某邻域内在点的某邻域内满足且满足条件导数,设函数F(x,y)具有连续的偏导数;仅就求导公式推导如下:能唯一确定一个同时同时满足同时满足目录上页下页返回结束高等数学高等数学两边对 x 求导则解方程求隐函数导数的方法有求隐函数导数的方法有:公式法公式法直接法直接法目录上页下页返回结束高等数学高等数学例例1 验证方程在点(0,1)的某邻域内可唯一确定一个有连续导数的隐函数解解:连续;由定理1 可知,有连续导数的隐函数则在(0,1)的某邻域内方程唯一确定一个且并求令目录上页下页返回结束高等数学高等数学目录上页下页返回结束高等数学高等数学令 x=0此时两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,导数的另一求法导数的另一求法直接法直接法此时目录上页下页返回结束高等数学高等数学例例2 设解解:令则目录上页下页返回结束高等数学高等数学定理定理2F(x,y,z)具有连续偏导数具有连续偏导数;则方程则方程在点在点确定一个连续隐函数确定一个连续隐函数 z=f(x,y),且满足且满足若函数若函数的某一邻域内能唯一的某一邻域内能唯一在点在点的某邻域内满足的某邻域内满足:并有连续偏导数并有连续偏导数,同时同时目录上页下页返回结束高等数学高等数学两边对 x 求偏导同理则设是由方程所确定的隐函数,仅就求导公式推导如下:解方程目录上页下页返回结束高等数学高等数学公式法公式法直接法直接法n 元方程元方程(n-1)元隐函数元隐函数推广推广:目录上页下页返回结束高等数学高等数学例例3 设解法解法1 设则目录上页下页返回结束高等数学高等数学解法解法2再对 x 求偏导方程两边分别对x 求偏导得直接法直接法目录上页下页返回结束高等数学高等数学例例4 解：解：则设目录上页下页返回结束高等数学高等数学二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.例如例如以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例,两边对两边对 x 求偏导得求偏导得解方程组即得解方程组即得P63公式公式.目录上页下页返回结束高等数学高等数学补充补充:Cramer 法则法则关于关于 x,y 的线性方程组的线性方程组目录上页下页返回结束高等数学高等数学两边对两边对 y 求偏导得求偏导得解方程组即得公式.目录上页下页返回结束高等数学高等数学例例5 设解解:方程组两边对 x 求偏导,得求移项得目录上页下页返回结束高等数学高等数学例例5 设解解:求方程组两边对方程组两边对 y 求偏导求偏导,得得移项得目录上页下页返回结束高等数学高等数学推广推广求法：求法：在方程组得两边对在方程组得两边对 x 求导求导,再解关于导数的方程组再解关于导数的方程组.公式法公式法直接法直接法总结总结目录上页下页返回结束高等数学高等数学例例6 设解解:在方程两边分别对 x 求导,得求解得目录上页下页返回结束高等数学高等数学内容小结内容小结1 隐函数(组)存在定理2 隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算方法2.代公式思考与练习思考与练习设求直接法公式法目录上页下页返回结束高等数学高等数学提示提示:v v v 目录上页下页返回结束高等数学高等数学解法2由d y,d z 的系数即可得备用题利用全微分形式不变性同时求出各偏导数目录上页下页返回结束高等数学高等数学两个隐函数方程两边对 x 求导,得备用题备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解解:(2001考研考研)解得因此目录上页下页返回结束高等数学高等数学 2.设是由方程和所确定的函数,求解解:分别在各方程两端对 x 求导,得(1999考研考研)作业目录上页下页返回结束高等数学高等数学雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.

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