运筹学运输问题68414.pptx

第五章第五章 运输与指派问题运输与指派问题运输问题的表示运输问题的表示运输问题模型、运价表运输问题的求解运输问题的求解 表上作业法表上作业法 指派问题指派问题 运输、指派和转运问题，实际上都可以用 L.P.模型加以描述，所以可以认为它们是 L.P.的特例单列一章的原因在于：应用面极广，实践性很强，而特有的数学结构使得人们设计出了特别有效的方法对此类模型进行求解本章的重点在：掌握表格化方法求解求解运输简述提出问题提出问题有A1，A2，A3三个砖瓦厂月产量分别为14，27，19万块，供应B1，B2，B3，B4四个工地，月需要量分别为22，13，12，13万块，每万块运费如下表，求总运费最少的方案。A114A227A31922131213B1B2B3B46(千元）千元）753842759106运输问题运输问题运输问题线性规划模型运输问题线性规划模型供应地约束需求地约束3.1 运输问题模型与性质运输问题模型与性质一、运输问题的数学模型一、运输问题的数学模型 1、运运输输问问题题的的一一般般提提法法：某某种种物物资资有有若若干干产产地地和和销销地地，现现在在需需要要把把这这种种物物资资从从各各个个产产地地运运到到各各个个销销地地，产产量量总总数数等等于于销销量量总总数数。已已知知各各产产地地的的产产量量和和各各销销地地的的销销量量以以及及各各产产地地到到各各销销地地的的单单位位运运价价（或或运运距距），问问应应如如何何组组织织调调运运，才才能能使使总总运运费费（或或总总运运输输量量）最省最省？运输问题的一般数学模型有有m个产地生产某种物资，有个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资个地区需要该类物资令令a1,a2,am表示各产地产量，表示各产地产量，b1,b2,bn表示各表示各销地的销量，销地的销量，ai=bj 称为产销平衡称为产销平衡设设xij表示产地表示产地 i 运往销地运往销地 j 的物资量，的物资量，cij表示对应的表示对应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：单位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：运输问题运输问题二、运输问题的特点与性质二、运输问题的特点与性质1约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构写出式（写出式（3-1）的系数矩阵）的系数矩阵A，形式如下：形式如下：m行行n行行 矩阵的元素均为矩阵的元素均为1或或0；每一列只有两个元素为每一列只有两个元素为1，其余元素均为，其余元素均为0；列向量列向量Pij=(0,，0，1，0，,0,1,0,0)T，其中两个元素其中两个元素1分别处于第分别处于第i行和第行和第m+j行。行。三、运输问题的求解方法1、单纯形法（为什麽？）、单纯形法（为什麽？）2、表上作业法、表上作业法 由于问题的特殊形式而采用的由于问题的特殊形式而采用的更简洁、更方便的方法更简洁、更方便的方法3.2 运输问题的表上作业法运输问题的表上作业法 一一、表表上上作作业业法法的的基基本本思思想想是是:先先设设法法给给出出一一个个初初始始方方案案,然然后后根根据据确确定定的的判判别别准准则则对对初初始始方方案案进进行行检检查查、调调整整、改改进进，直直至至求求出出最优方案最优方案，如图，如图3-1所示。所示。表表上上作作业业法法和和单单纯纯形形法法的的求求解解思思想想完完全全一一致致，但是具体作法更加简捷。但是具体作法更加简捷。确定初始确定初始方案方案(初初 始始 基本可行解基本可行解)改进调整改进调整（换基迭代）（换基迭代）否否 判定是否判定是否 最最 优？优？是是结结 束束最优方案最优方案图图3-1 运输问题求解思路图运输问题求解思路图 二、二、初始方案的确定初始方案的确定 1、作业表（产销平衡表）、作业表（产销平衡表）初始方案就是初始基本可行解。初始方案就是初始基本可行解。将运输问题的有关信息表和决策变量将运输问题的有关信息表和决策变量调调运量结合在一起构成运量结合在一起构成“作业表作业表”（产销平衡表产销平衡表）。）。表表3-3是两个产地、三个销地的运输问题作业表。是两个产地、三个销地的运输问题作业表。调调 销地销地 运运 量量产地产地 B1 B2 B3 产产 量量 A1 c11 X11 c12 X12 c13 X13 a1 A2 c21 X21 c22 X22 c23 X23 a2 销销 量量 b1 b2 b3表表3-3 运输问题作业表（运价表）运输问题作业表（运价表）3、举例 例例3-2 甲甲、乙乙两两个个煤煤矿矿供供应应A、B、C三三个个城城市市用用煤煤，各各煤煤矿矿产产量量及及各各城城市市需需煤煤量量、各各煤煤矿矿到到各各城城市市的的运运输输距距离离见见表表3-4，求求使使总总运运输输量量最最少少的的调运方案。调运方案。表3-4 例3-2有关信息表 450 200 150 100 日销量（需求量）250 75 65 80 乙 200 100 70 90 甲 日产量日产量（供应量）（供应量）C B A运距运距 城市城市煤矿煤矿例3-2 的数学模型初始解的确定初始解的确定一、最小元素法一、最小元素法&最小元素法的基本思想是最小元素法的基本思想是最小元素法的基本思想是最小元素法的基本思想是“就近供应就近供应就近供应就近供应”；二、西北角法二、西北角法&西北角法则不考虑运距（或运价），每次都选剩余表西北角法则不考虑运距（或运价），每次都选剩余表西北角法则不考虑运距（或运价），每次都选剩余表西北角法则不考虑运距（或运价），每次都选剩余表格的左上角（即西北角）元素作为基变量，其它过程格的左上角（即西北角）元素作为基变量，其它过程格的左上角（即西北角）元素作为基变量，其它过程格的左上角（即西北角）元素作为基变量，其它过程与最小元素法相同与最小元素法相同与最小元素法相同与最小元素法相同 ；三、沃格尔法（三、沃格尔法（VOGLE）调调 销地销地 运运 量量产地产地 B1 B2 B3 产产 量量 A1 90 X11 70 X12 100 X13 200 A2 80 X21 65 X22 75 X23 250 销销 量量 100 150 200 450 用最小元素法确定例用最小元素法确定例3-2初始调运方案初始调运方案 150100100100100100100调调 销地销地 运运 量量产地产地 B1 B2 B3 产产 量量 A1 90 X11 70 X12 100 X13 200 A2 80 X21 65 X22 75 X23 250 销销 量量 100 150 200 450 用西北角法确定例用西北角法确定例3-2初始调运方案初始调运方案 100100100 50 50200200 得到初始调运方案为：得到初始调运方案为：x11=100，x12=100，x22=50，x23=200 元元素素差差额额法法（Vogel近近似似法法）最最小小元元素素法法只只考考虑虑了了局局部部运运输输费费用用最最小小。有有时时为为了了节节省省某某一一处处的的运运费费，而而在在其其它它处处可可能能运运费费很很大大。元元素素差差额额法法对对最最小小元元素素法法进进行行了了改改进进，考考虑虑到到产产地地到到销销地地的的最最小小运运价价和和次次小小运运价价之之间间的的差差额额，如如果果差差额额很很大大，就就选选最最小小运运价价先先调调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案前一种按最小元素法求得，总运费是前一种按最小元素法求得，总运费是Z1=108+52+151=105后后一一种种方方案案考考虑虑到到C11与与C21之之间间的的差差额额是是82=6，先先调调运运x21，再是再是x22，其次是，其次是x12这时总运费这时总运费Z2=105+152+51=85 bj，增加一个虚收点增加一个虚收点Dn+1，bn+1=ai-bj,令令 wi,n+1=0,i=1,2,m供小于求，即供小于求，即 ai bj，增加一个虚发点增加一个虚发点Wm+1，am+1=bj-ai,令令 wm+1,j=0,j=1,2,n运输问题应用举例运输问题应用举例如产地3的产量变为130，又B地区需的115单位必须满足，试重新确定最优调拨方案B1B2B3B4B5aiA1101520204050A22040153030100A33035405525130A4(虚）虚）0M00020bj25115603070210得到这样的平衡表后得到这样的平衡表后应用举例应用举例1杭州某电视机厂在三个经济区建立分厂，生产产品销往上海，北京，广州。运价表如下，假定产地2的物资至少运出38个单位，产地3的物资至少运出27个电位，试列出新的运价表上海上海北京北京广州广州虚拟虚拟B4aiA1122020A2145M 38A2114502A3233M27A3123303bj30202020得到这样的平衡表后得到这样的平衡表后应用举例应用举例2已知某运输问题一个最优调运方案如下表，求K值范围指派问题指派问题例：有一份中文产品说明书需译成英、日、德、俄四种语言，现有甲、乙、丙、丁四人都可以胜任，他们译成不同语言所需时间不同，如下表。求如何分配使所需总时间最少（每人只译一种）语言人员EJGR甲215134乙1041415丙9141613丁78119整数规划整数规划55指派问题的标准形式及其数学模型指派问题的标准形式及其数学模型指派问题的标准形式（以人和事为例）是：指派问题的标准形式（以人和事为例）是：有有 n 个人和个人和 n 件事，已知第件事，已知第 i 人做第人做第 j 事的费用为事的费用为 Cij（i，j=1，2，n），），要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这件事的要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这件事的总费用最少。如总费用最少。如指派问题（指派问题（assignment problem）例：有一份中文产品说明书需译成英、日、德、俄四种语言，现有甲、乙、丙、丁四人都例：有一份中文产品说明书需译成英、日、德、俄四种语言，现有甲、乙、丙、丁四人都可以胜任，他们译成不同语言所需时间不同，如下表。求如何分配使所需总时间最少可以胜任，他们译成不同语言所需时间不同，如下表。求如何分配使所需总时间最少（每人只译一种）（每人只译一种）语言语言人员人员EJGR甲甲215134乙乙1041415丙丙9141613丁丁78119建立模型：建立模型：设 xij=10译英文：x11+x12+x13+x14=1译日文：x21+x22+x23+x24=1译德文：x31+x32+x33+x34=1译俄文：x41+x42+x43+x44=1甲：x11+x21+x31+x41=1乙：x12+x22+x32+x42=1丙：x13+x23+x33+x43=1丁：x14+x24+x34+x44=1xij=0或1 (i=1,2,3,4;j=1,2,3,4)Min z=aijxij(aij-效率)i=1j=14 4若第i项工作交与第j个人完成若第i项工作不交与第j个人完成57一般模型一般模型一般模型一般模型指派问题的标准形式，令指派问题的标准形式，令 1 当指派第当指派第 i 人完成第人完成第 j 项任务项任务 0 当不指派第当不指派第 i 人完成第人完成第 j 项任务项任务xij=min z=cijxij xij=1，j=1，2，n xij=1，i=1，2，n xij=1 或或 058匈牙利解法匈牙利解法匈牙利解法匈牙利解法 标准的指派问题是一类特殊的标准的指派问题是一类特殊的 0-1 整数规划问题，整数规划问题，可以用多种相应的解法来求解。但是，这些方法都没可以用多种相应的解法来求解。但是，这些方法都没有充分利用指派问题的特殊性质来有效减少计算量。有充分利用指派问题的特殊性质来有效减少计算量。1955年，库恩（年，库恩（W.W.Kuhn）利用匈牙利数学家康尼利用匈牙利数学家康尼格（格（D.Knig）的关于矩阵中独立零元素的定理，提的关于矩阵中独立零元素的定理，提出了指派问题的一种解法，由此，习惯上称之为匈牙出了指派问题的一种解法，由此，习惯上称之为匈牙利解法。利解法。59 匈牙利解法的关键是利用了指派问题最优解的如匈牙利解法的关键是利用了指派问题最优解的如下下性质：性质：若从指派问题的系数矩阵若从指派问题的系数矩阵 C=（cij ）nn 的某的某行（或某列）各元素分别行（或某列）各元素分别减去一个常数减去一个常数 k，得到一个得到一个新的系数矩阵新的系数矩阵C=（cij ）则以则以 C 和和 C 为系数矩阵为系数矩阵的两个指派问题有的两个指派问题有相同的最优解相同的最优解。匈牙利解法匈牙利解法匈牙利解法匈牙利解法60步骤一：步骤一：变换系数矩阵。使其每行及每列至少变换系数矩阵。使其每行及每列至少有一个零元素，同时不出现负元素。有一个零元素，同时不出现负元素。步骤二：步骤二：进行试指派，即确定独立零元素。进行试指派，即确定独立零元素。步骤三：步骤三：继续变换系数矩阵，然后返回步骤二。继续变换系数矩阵，然后返回步骤二。匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤61以上例说明步骤以上例说明步骤 2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13 7 8 11 9 0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 22497min（cij ）=匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤62指派问题（指派问题（assignment problem）匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤以上例说明步骤以上例说明步骤 0 13 11 2 6 0 10 11 0 4 7 4 0 1 4 2 0 0 4 2min 0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0=（cij ）指派问题（指派问题（assignment problem）63以上例说明步骤以上例说明步骤 0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0此时加圈此时加圈 0 元素的个数元素的个数 m=n=4，所以得到最优解所以得到最优解指派问题（指派问题（assignment problem）64匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤以上例说明步骤以上例说明步骤 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0（xij ）=指派问题（指派问题（assignment problem）65匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤例例任务任务人员人员ABCDE甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊1287154791714109612677614610969109指派问题（指派问题（assignment problem）66匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤 12 7 9 7 9 8 9 6 6 6 7 17 12 14 9 15 14 6 6 10 4 10 7 10 976764 5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 4 0 6 3 6 5指派问题（指派问题（assignment problem）67匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤 5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 4 0 6 3 6 5 此时加圈此时加圈 0 元素的个数元素的个数 m=4，而而n=5，所以解题没所以解题没有完成。独立零元素（加圈零有完成。独立零元素（加圈零元素）少于元素）少于 n 个，表示还不能个，表示还不能确定最优确定最优指派方案。此时需确定指派方案。此时需确定能覆盖所有能覆盖所有零元素的最少直线数零元素的最少直线数目的直线集合。方法如下：目的直线集合。方法如下：指派问题（指派问题（assignment problem）68匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤1)对没有加圈零元素的行打对没有加圈零元素的行打号；号；2)对所有打对所有打号行的所有含零元素的列打号行的所有含零元素的列打号；号；3)再对已打再对已打号的列中含零元素的行打号的列中含零元素的行打号；号；4)重复重复2）和）和3），直到再也不能找到可以打），直到再也不能找到可以打号行号行或列为止；或列为止；5)对没有打对没有打号的行画一横线，对打号的行画一横线，对打号的列画一竖号的列画一竖线，这样就得到线，这样就得到能覆盖所有能覆盖所有零元素的最少直线数目零元素的最少直线数目的直线集合。的直线集合。指派问题（指派问题（assignment problem）69匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤 5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 4 0 6 3 6 5指派问题（指派问题（assignment problem）70匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤 继续变换系数矩阵。其方法是在未被直线覆盖的继续变换系数矩阵。其方法是在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素。然后在打元素中找出一个最小元素。然后在打号号行行各元素都各元素都减减去这一最小元素，而在打去这一最小元素，而在打号号列列的各元素都的各元素都加加上这上这一最小元素，以保证原来的一最小元素，以保证原来的 0 元素不变。这样得到新元素不变。这样得到新系数矩阵（其最优解和原问题相同）。若得到系数矩阵（其最优解和原问题相同）。若得到 n 个独个独立的立的 0 元素，则已得最优解，否则重复该步骤继续变元素，则已得最优解，否则重复该步骤继续变换系数矩阵。换系数矩阵。指派问题（指派问题（assignment problem）71匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤 5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 4 0 6 3 6 5最小元素最小元素=2 7 0 2 0 2 4 3 0 0 0 0 8 3 5 0 11 8 0 0 4 0 4 1 4 3指派问题（指派问题（assignment problem）72匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤 7 0 2 0 2 4 3 0 0 0 0 8 3 5 0 11 8 0 0 4 0 4 1 4 3 此时加圈此时加圈 0 元素的个数元素的个数 m=5，而而n=5，独立零元素独立零元素（加圈零元素）等于（加圈零元素）等于 n 个，个，此此时已得到最优解，其解矩阵为时已得到最优解，其解矩阵为指派问题（指派问题（assignment problem）73匈牙利解法的一般步骤匈牙利解法的一般步骤（xij ）=0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 最优指派：最优指派：甲甲 B乙乙 C丙丙 E丁丁 D戊戊 A指派问题（指派问题（assignment problem）74 在实际应用中，常会遇到各种非标准形式的制派问题。一般的在实际应用中，常会遇到各种非标准形式的制派问题。一般的处理方法是先将其转化为标准形式，然后再用匈牙利法求解。处理方法是先将其转化为标准形式，然后再用匈牙利法求解。1.最大化指派问题最大化指派问题设最大化指派问题系数矩阵设最大化指派问题系数矩阵 C=（cij ），其中最大元素为其中最大元素为 m。令矩阵令矩阵 B=（bij ）=（m-cij ），），则则以以 B 为系数矩阵的最小化指派问题和以为系数矩阵的最小化指派问题和以 C 为系数矩阵的最大化为系数矩阵的最大化指派问题有相同最优解。指派问题有相同最优解。2.人数和事数不等的指派问题人数和事数不等的指派问题若若人少事多人少事多，则添加一些虚拟，则添加一些虚拟的的“人人”，其费用系数取，其费用系数取 0，若，若人多事少人多事少，则添加一些虚拟的，则添加一些虚拟的“事事”，其费用系数取，其费用系数取 0。非标准形式的指派问题非标准形式的指派问题75非标准形式的指派问题非标准形式的指派问题3.一个人可做几件事的指派问题一个人可做几件事的指派问题若某个人可以做几件事，则若某个人可以做几件事，则将该人化作几个将该人化作几个“人人”来接受指派。这几个来接受指派。这几个“人人”做同一件事做同一件事的费用系数当然都一样。的费用系数当然都一样。4.某事一定不能由某人做的指派问题某事一定不能由某人做的指派问题若某事一定不能由某人若某事一定不能由某人做，则可将相应的费用系数取为足够大的数做，则可将相应的费用系数取为足够大的数 M。非标准形式的指派问题非标准形式的指派问题非标准指派问题非标准指派问题例：分派甲、乙、丙、丁四人完成五项任务，每人完成任务的时间如下表，请就以下要求分别求解分配情况。任务人员ABCDE甲甲2529314237乙乙3938262033丙丙3427284032丁丁24423623451）要求每人只完成一项2）甲完成两项，其他人每人完成一项3）丁因某种原因不能承担A工作，其他每人一项，E必须承担任务整数规划整数规划1）要求每人只完成一项 任务人员ABCDE甲甲2529314237乙乙3938262033丙丙3427284032丁丁2442362345戊戊000002）甲完成两项，其他人每人完成一项 任务人员ABCDE甲甲2529314237乙乙3938262033丙丙3427284032丁丁2442362345戊戊25293142373）丁因某种原因不能承担A工作，其他每人一项，E必须承担任务 任务人员ABCDE甲甲2529314237乙乙3938262033丙丙3427284032丁丁M42362345戊戊0000MOperational/operations research 运筹学运筹学Linear programming 线性规划线性规划 feasible domain 可行域可行域convex set 凸集凸集 Basic feasible solutions 基础可行解基础可行解Simplex algorithm 单纯型法单纯型法 Pivot 主元主元 Pivoting 主元变换主元变换Revised,dual simplex algorithm 修正、对偶单纯型法修正、对偶单纯型法Relative cost 相对成本相对成本(机会成本机会成本)Shadow price 影子价格影子价格Slack,Surplus,Artificial variable 松弛，剩余，人工变量松弛，剩余，人工变量unbounded,Infeasible,Degenerate solution 无界解无界解,无可行解无可行解,退化退化解解solution Duality 对偶性对偶性 Primal,dual problem 原问题，对偶问题原问题，对偶问题Revised,dual simplex algorithm 修正、对偶单纯型法修正、对偶单纯型法complementary slackness 互补松弛互补松弛 Sensitivity analysis 灵敏度分析灵敏度分析Transportation problem 运输问题运输问题Assignment problem 任务分配任务分配(指派指派)问题问题Bipartite matching 两部图匹配两部图匹配 Hungarian method 匈牙利算法匈牙利算法线性规划有关的英文词汇总汇总汇