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简约：数学课堂教学的理性回归 许卫兵摘要：几年来，新课程改革中关于数学教学的很多理念得到了较好的落实，数学课堂教学发生了巨大变化。但在欣喜之时，我们却明显感受到，相当数量的数学课似乎又走进了一个新的繁琐化技术主义误区。回顾数学教学的历史与现实，追思数学学科的特征与内涵，创建简约化的数学课堂教学有着十分积极的意义。关键词：简约；数学；课堂教学有效教学、效益课堂一直是数学教学的永恒追求。在这种追求中，我们始终努力寻求着一种平衡，那就是，如何在有限的40分钟课堂教学时空中，通过科学、有序的教学组织活动，让知识背景、智力水平、个性品质等各不相同的学生真正在数学学习中学“有价值的数学”，获得“必需的数学”，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。这一平衡的建立，在某种意义上能标示着数学课堂教学进入了佳境。但是，教学的现状并不尽如人意。虽然新课程改革中超越于传统的诸多新课程理念，如目标多元、尊重差异、重视过程、讲求合作、关注体验等，得到了老师们的积极响应，也给数学课堂带来了勃勃生机。可在大量的日常教学研究中，我们常常会看到这样一些数学课堂：教学时间紧蹙，一节课40分钟很不够用，到最后要么仓促收兵，要么严重拖堂；教学内容繁杂，大容量，快节奏，零乱无序，失却章法；教学结构散乱，各环节教学的重点不清晰，目标不明晰，缺乏应有的层次和教学节奏；教学调控不力，缺乏深度，缺乏灵动，缺乏艺术性；教学效果低效，饱满、臃肿中显现出肤浅、低效，教者教得辛苦，学者学得疲惫；对此，我们曾引导老师们进行分析，大家普遍认为原因主要有两方面：一是教材中部分“课时教学内容”编排量较大，比如 “分数的意义”、“认识人民币”、“用字母表示数”等概念教学的起始课，知识要点琐碎，教材内容富足，按部就班地完成教材任务，自然轻松不起来；二是教者对课堂教学的合理控制不够，环节设计过于充足，组织教学拖沓松散，运行节奏不够明快，教学要点把握不透；说白了，就是教学的功夫不到家。其实，无论教材编排怎样，教师组织教学本身就包含了对教材的理解、深挖、精选、重组等自主性、开放性、创造性活动。加之我们在实际研究的过程中，也看到有相当一部分教材内容并不多、学习难度并不大的数学课堂同样存在着很重的臃肿、浅陋、零乱、低效之“印迹”。因此，上述两方面的原因实质上可以归结到一点，那就是教者对课堂教学的有效控制不够，对数学学科本质内涵的把握不够。说起课堂教学的理想状态，李方教授在后现代教学理念探微一文中曾这样形象比喻：“通过教学，教师对文化和信息来进行解释，就像一溪流水”。那么，数学课堂能否在教师的智慧引领中，努力从冗繁走向凝练，从紧张走向舒缓，从杂乱走向清晰，从狭隘走向广阔，从肤浅走向深邃呢？我们能否创建出清晰、明快的教学节律，使得数学课堂教学就像一道清澈的小溪，婉约、清新、流畅、简洁呢？创建这样的课堂仅仅是对教学现实的一种纠偏，还是有着更为深层对数学学科教学的本质性的一种追寻呢？带着这样的追问，我们开始了“简约化数学课堂教学”的反思和实践行动。何为“简约”？现代汉语词典上的释义仅有两种：“简略”（文字|构图）；“节俭”（生活）。但其在日常生活中的运用却非常广泛，意蕴丰富：书法绘画中有“简约艺术”，美化居室时谈“简约装饰”，服装设计追求“简约时尚”，甚至还有“简约生活”“简约人生”，等等。统整聚焦，我们并不难捕捉到“简约”的核心内涵，那就是：“简约”不是简单的压缩和简化，相反，它是一种更深广的丰富，是寓丰富于简单之中。“简约”给人的是一种明了、凝练的感觉，在去繁就简中又极其完美地保留了事物本身的经典内核。基于上述分析，我们对数学课堂教学之“简约”作了这样的界定：所谓简约化的数学课堂教学，是指对课堂教学的情景创设、素材选择、活动组织、结构安排、媒体使用等教学要素的精确把握和经济妙用，使数学课堂变得更为简洁、清晰、流畅、凝练、深刻，进而实现课堂教学的优质和高效。我们提出数学课堂教学的“简约”，并不是彻底否定现有的教学而另起炉灶，恰恰相反，完全应该凭借已有教学改革的成功经验，以先进的课程理念和教学思想为指导，对数学课堂教学进行反思、调整、提升，使其能除去臃肿的堆积，剥离繁琐的多余，从而达到优质和高效的课堂教学境界。在这里，“简约”既是操作的要领，又是理想目标，还是一种教学理念。理想状态下的简约化的数学课堂应该是课堂结构清晰、明快、整体感强；教学素材经济、高效、少而精练；时间控制匀称、舒缓、恰到好处；活动展开层层推进、环环相扣、要言不烦；教师上课轻松、自如、胸怀全局；学生学习愉快、主动、学有成效；其实，回顾小学数学教育的历史，诸多教学专家在追求教学简约化的道路上已经成效显著，他们虽然没有鲜明提出“简约”之说，但他们从教学实践中开创出一条条个性鲜明的教学之路至今在激励我们，例如马芯兰的“马芯兰”教学法、刘德武的“生活化数学”、翟裕康的“四了”教学法等都具有一定的代表性。当然，简约教学之路也符合数学学科的本质特征。数学自身的发生、发展、丰富和体系化的历史演变过程，也是人们追求数学理性精神和用数学的方式来表达世界上的各种关系的过程。有学者指出“数学风格以简洁和完美的形式作为其目标”，甚至有人曾经断言“宇宙的完美秩序是由数学定律确定的”。（参见克莱茵：西方文化中的数学，复旦大学出版社）因此，“作为理性精神的化身”，“作为高度的抽象化、概括化”，数学知识原理、数学符号语言等本身就蕴涵着简约之美，而融入在数学知识和数学语言之中的数学思想方法、数学思维方式、数学逻辑抽象、数学理性精神更是需要通过与数学学科自身特点相匹配的简约教学思想来关照和组织实施。数学课要上出真真的“数学味”，体现出数学学科的本质，这方面是我们必须要认真做的。同时，我们还应该看到，儿童的数学学习过程不是对前人数学经验和成果的简单复制，而是一个整合了一般教学原理和学生学习心理规律的高度浓缩的过程。这个过程惟有简约、高效、本色，才能真正达到实效。由此可见，“简约”既表达了数学学科的本质特征，又体现了数学教学的内在要求，简约教学应该成为数学教师在掌握了数学自身发展规律和儿童数学学习规律后的自觉追求，是对数学课堂教学的理性回归。简约化的数学课堂教学研究来自于对日常教学行动的反思和提升，但正如“繁”和“简”总是相对而言一般，“简约”和“不简约”之间也很难确定十分明确的界限。不过，当我们面对具体的教学情境、进行具体的教学分析时，繁、简的对比就会变得现实而鲜活。为了让简约教学更可感、可悟，我们从大量的教学实践中发掘、提炼出了一些行之有效的教学策略和行动要领。下面略举几点：教学主线清晰明朗。有人说，好的数学课堂就像演绎一首优美的歌，要唱响主旋律；犹如开掘一弯清清的泉，要奔向主渠道。其意一方面表达了对数学课堂的诗意追求，另一方面也暗含了数学课堂教学应该是整体的、结构的、层递的、流动的。细想起来，我们每堂数学课的知识教学任务相对而言，还是比较少或者说是比较单一的，重要的是我们要拎清“主线”。所谓“主线”，也就是教学的重点和主干脉络，“9加几”中的“凑十法”、三角形面积计算学习时的“转化”思路、旋转和平移的“运动特征”等均属于此，它是课堂教学的“魂”，是课堂教学有序有效的根基。我在教学三年级下册认识分数时，就是紧紧将分数意义的核心本质“总数量平均分成了几份分母；表示其中的几份分子”贯穿于学习的始终，作为全课学习的知识“主线”。导入环节设计从分1个苹果的1/4旧知开始，然后过渡到分8个苹果、12个苹果的1/4，最后通过孙悟空大变身（24个孙悟空的1/3、56个孙悟空的1/6、96个孙悟空的1/12）的挑战练习，始终抓住这一“主线”展开，层层推进，环环相扣，教学流畅、轻快、效果很好。再比如，圆的认识起始课的概念多，知识点琐碎，而华应龙老师在教学时，超越知识视野，从儿童学习和研究数学问题的角度重新梳理出了“是什么？”“为什么？”“怎样做？”“为何这样做”“一定这样吗？”的教学明线，“浑然大气铸成圆”。“提领而顿,百毛皆顺”，数学课堂教学要走向简约，有一条清晰的“线路”是前提和保证。“主线”明了，确定教学目标、安排教学环节、取舍教学内容、考虑教学进程、有效组织教学时就有了根本出发点和终极指向，课堂教学的结构和层次就容易清晰起来；“主线”扣紧了，起转承接、轻重缓急就能落在实处，课堂教学的动感和韵律也就自然而然显现出来。教学素材精选妙用。 数学课堂教学的散乱、繁杂，有些是因为教具、学具、媒体等教学辅助工具的大量、不恰当的使用，挤耗了有限的课堂教学时间；有些是对教学内容的把握不到火候，偏离重点和核心，做了不少无用功；但占多数的，恐怕还是对教学素材的取用显得不够经济和精炼。针对此，我们觉得：第一、选材要“少”。所选题材要有典型性和扩张力，能以一当十，题材的包装上也要适可而止，切不可喧宾夺主。我们曾对多位数学名师的多节经典课进行过统计，发现60以上的课堂教学的素材用量（或者说是“题量”）均比较少。但是，他们凭借对较少素材的灵活变化和高效使用，创造出了生动、精彩、充满张力和活力的课堂。华应龙老师一把剪刀一张纸条出神入化教学“莫比乌斯带”，一题三变深入浅出演绎“孙子定理”，黄爱华老师以“俄罗斯方块”、“平移接力”两个游戏就串起“平移”教学，这些都是堪称经典的例证。第二、用材求“丰”。可以在一题多解（策略多样），一题多改（变化），一题多议（反思小结）等方面多做思考，使每一个教学素材在课堂上都能发挥最大的效益。第三、组材求“优”。力戒随意组拼素材形成杂乱无序，力求将材料组合起来形成一个有机的整体。譬如教学还原策略，练习部分我们设计成大头儿子逛“数学乐园”，首先把数学乐园分为四个地方：博物院、生物园、游戏厅、生活馆（每一个地方都是与所取名字相关的还原问题）；其次老师用语言叙述了大头儿子的行走路径，向南走两格到博物院，向西北走三格到生物园等等；接着老师再告诉学生大头儿子最终到达的位置，反过来让学生求出上述四个地方所在的位置；最后引导学生到这些地方去参观，也就是进行相关的还原问题的练习。这种组合式、结构化的材料编排，使得教学简捷明快，整体感强。事实表明，课堂教学中精选素材，巧用素材，努力做到一“材”多用，一“材”多变，一“材”多效，不仅可以去除臃肿，走向凝炼，去除繁琐，走向精干，还出更多的时间给师生对话和动态生成，而且相同的情境（题境、语境）既保证了教学的连贯性和课堂的流畅性，又减少无关因素的干扰，凸显研究主题，包含其中的不仅仅是教学技术，更是教学艺术。教学调控恰当有效。 数学课堂的简约化，必然对教师的教学组织和控制能力提出了高要求。没有深度的思考和全面的把握就不可能形成简捷完美的教学预案；而再完美的教学预案，如果没有教师有效的调适、智慧的引领，没有学生的充分参与和自主建构，课堂实施也只能会变得像一盘散沙，不可能实现有效的教学。教师的教学调控是多方面的，首要的是对教学内容的精确把握。比如在教学三年级下册认识分数时，我们就果断放弃了教材中的例题在新授阶段的的使用（见右图）。主要觉得，将“4个苹果平均分成4份，每只小猴分得1份”这样的题材中，因为苹果的个数与分得份数正好巧合，容易使学生将注意力转移到对苹果个数的关注中，忽略对“平均分的份数”、“表示的份数”的把握，形成“用分数表示就是数物品个数”的局限思维。因此，我们的教学在分好“1个苹果”后，就进入到分“8个苹果”的情景，紧紧抓住“4份”“1份”来展开，避免了数目上的巧合，突出了认识分数的本质。这种数量与数巧合的特例，有机镶嵌在巩固练习中，教者进行适时点拨提示，显得用力得当，恰到好处。在教学过程中，教师的教学语言也应起到很好的调控作用，对此，湖南师大石欧教授就精辟指出：“语言之外无教学”。轴对称图形一课的引入环节，一位教者通过课件先播放了一段雅典奥运会开幕式录像，然后提问：从刚才的录像中你看到了什么？学生个个兴趣盎然，纷纷回答：我看到了姚明；我看到了奥运五环旗；我看到中国运动员很多；我看到奥运会火炬几分钟过去了，仍在没完没了。老师只好继续引导：“姚明手中拿的是什么？”有学生立即回答：“国旗。”“上面有什么呢？”“五角星！”学生齐答。听到这儿我才明白老师原来是要让学生能够从录像中找到“五角星”这个轴对称图形。相对于一节课40分钟而言，用五、六分钟的时间才将探究的内容“千呼万唤始出来”，实在没有必要，也没多少价值可言。而另一位教者组织班上女生摆出了一个“千手观音”的造型，唤起了学生对春节晚会这个节目的回忆，进而引导学生观察：这个节目美轮美奂，带给人们很强的视觉冲击力和艺术享受，你觉得节目中这些造型有什么特点？教师的适时点拨非常自然地引出了生活中的“对称现象”，经济，简约，有效。刘加霞博士分析名师课堂时指出，从“冰冷的美丽”到“火热的思考”，离不开教师精心的教学设计和充满智慧的课堂组织与控制，否则不可能实现有效的教学。当我们从简约教学的视角为数学课堂教学做好了一切准备开始教学时，当我们课后反思自己的课堂表现时，我们还必须问一问自己，我的课堂组织有法、有序、恰当吗？我的教学调控有力、有效、适度吗？唯有当“课堂组织与调控能力达到至纯、至真、至善、至美的境地”，我们才能最终实现简约化数学课堂教学的完美超越。（参见从“冰冷的美丽”到“火热的思考”，教师应该做什么，小学青年教师2006年第9期）教学主旨凸显到位。数学课堂教学走向简约，要求教师要学会做减法。这种减法，并不是简单地对教学素材、教学环节进行机械割舍，而是要艺术地进行整合、提炼，合理去除那些多余的环节、无效的程序。比如，当我们在课堂上用各种手段试图唤起学生的生活经验时，我们有没有尽量排除生活经验中消极因素的干扰，及时进行数学化引领？当我们热衷于动手操作时，我们是否舍得砍去价值不高的操作环节，用想像、推理等数学的思考来替代？对人为规定的数学名词术语等我们选择的是过多的演绎还是直接告诉？在对某一知识点的教学进行适当拓展的同时，我们有没有恣意拔高将后续知识提前学习，拔苗助长？值得一提的是，我们在做减法的过程中，有些是坚决不能减掉的，相反，还需要进一步加以确认和强化。比如，数学教学中应该贯彻落实的新课程理念，学生主体性和个性的充分发展，数学课堂所负载的引领学生逐步学会数学思考、培养学生数学的眼光、发展学生热爱数学的情感的学科本质，等等，都应该得到很好的体现。没有了这些，再简约的数学课堂也没有任何的存在价值和意义。正因为此，可以说简约化的数学课堂教学是一个复杂而又高难度的研究话题，创建简约化的课堂教学是数学教学研究的崇高追求。寓丰富于简单之中的简约教学在很大程度上必须要有教师“隐性的丰富”来支撑。首先，教师要具有较强的“求简”意识，该舍弃的时候知道去舍弃，该整合的时候能够去整合。当然，有了简捷性的思维，不等于就有简约化的课堂。实际教学中，我们可能要经历很多“不简约”的教学过程后，才知道如何去取舍、筛选、提炼，才能恰到好处地把握教材、读透学生，才能让我们的课堂“不着一字尽得风流”，从而达到课堂教学的简约、轻松、到位。其次，教师要具有丰厚的学科素养。简约教学既是对繁琐化技术主义数学课堂的一种纠偏，也是对数学学科教学本质上的理性回归，它对教师的专业素养和教学实施水平提出了很高的要求。比如，要能够恰如其分地把准每一课时的教学坡度、难度，就要对所任教的整套教材体系烂熟于心，熟悉每个知识板块的系统、结构和阶段要求；要让简约的课堂充满着张力，达到艺术化的境地，教师就要能恰当处理教师主导与学生主体、课前预设与教学生成、创设情景与简化程序、鼓励探究与经济用时、学习知识与激发情趣、简化程序与追求实效等各种教学关系，并在一个较高层次实现多种关系的平衡；要能够在开放、动态、变化的教学情景中精确地把握教学的方向，实施有效的调控，没有丰富的教学经验和教育智慧作支撑，也难以企及；要让数学课既充满着数学文化气息，彰显数学学科的本质，实施贴近儿童的数学学习，教师还得对数学史、数学文化、儿童学习心理学等方面有丰厚积淀。有位哲人说，简单到极致，就是美丽。简约的数学课堂必然是美丽的课堂：它是教师个性化教学思想光辉的折射；它是数学学科本身逻辑、严谨、充满理性精神的魅力凸现；它是“简约而不简单”这样一句流行语的生动注解；它是学生在教师引导下用“四两拨千斤”方式自主学习的完美演绎对美的课堂的追求既是现实的也是理想的，向着这样的目标迈进，简约化教学就和教育的真善美目标达到圆融和统一。而这些，都需要教师始终保持着一颗欣赏美、创造美的童心。诚然，数学课堂永远是一个开放的、变动的、多彩的世界。数学课堂教学不同的内容也应该有着不同的思路，相同的思路也有着不同的课堂姿态。事实上，简约也是一种相对的状态，没有绝对的简约和绝对的繁琐，不同的人对它的理解以及所能实施的状态也有所区别。我们从“简约”的视角对数学课堂教学理性回归之实践探索，看到的还只是冰山一角，浅陋和局限是不言自明的。记得鲁迅先生当年曾说到刘半农“确是浅。但他的浅，却如一条清溪，澄澈见底，纵有多少沉渣和腐草，也不掩其大体的清。”我们对简约化数学课堂教学的初步反思和实践行动自然远远不能比附刘半农的博大精深，夹杂在其中的“沉渣和腐草”倘若能让大家有所触动，有所捕捉，以致有兴致参与疏浚清理，抑或共同参与建设，我想，小学数学课堂教学简约化的小溪一定会清澈、明亮，光芒闪烁。