数学建模在数学应用题中的应用探讨丁民娇.doc

新课改下数学建模教学的探索和研究

所属市：安阳市
单位：滑县第二高级中学
姓名：丁民娇
邮箱：dingjiao1217@

电话：[phone]

摘 要：在新课程理念下编写的高中数学教材，数学建模在数学教学中越来越重要，尤其在数学应用题的解题中。本文重点探讨如何建立数学模型，以及在教学过程中如何培养学生建模意识，并利用所得结果解决某些实际问题。
关键词：数学 建模 应用 感知
1.引言
从学生到教师，身份的转换，从旧教材到新教材，内容和知识体系的转换，曾经在大学参加过大学生数学建模竞赛的高中数学教师有深刻的体会。在新课程理念下编写的高中数学教材，与以往的教材相比更加注重学生的学习过程，强调学生去体验新知识的获得过程，通过自己的实践获得第一手资料，要求学生了解数学知识的来龙去脉，经历数学知识的发现、发生、发展的过程。特别强调让学生去发现问题、分析问题、解决问题、因此新《数学课程标准》明确提出了数学探究‘数学建模是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，由于这些内容在教材中没有单独设置，而是渗透到各个模块和专题中的，这就给教师平时的教学带来了很大的困难和挑战。同时大学生数学建模竞赛的开展，结合自身在大学期间参加数学建模竞赛的经历，使我感觉到数学建模在数学中的应用越来越广泛，数学建模思想的应用对学生的帮助越来越大，因此如何在数学的教学中渗透数学应用思想和进行数学建模的教学，是数学教师面临的最大问题。那么，怎么建立数学模型以及如何应用？这就是下面所要讨论的问题.
2.数学建模类型及数学应用题的特点
　　根据题设条件的不同,数学建模具体可分为四种模式：①直接建模,这个大家容易理解,不再详述;②间接建模,顾名思义,就是利用现成的数学模型,对问题进行分析,然后确定解题所需要的具体数学模型并使用现有数学模型。③多重建模,就是对复杂的关系进行提炼加工,忽略次要因素,建立若干个数学模型方能解决问题。④假设建模,要进行分析、加工和作出假设,然后才能建立数学模型,主要应用于很多比较复杂的问题之中。其中尤以阅读理解分析能力最重要,要求学生能抓住问题的本质,并对这些信息进行提取,然后进行分析判断,找到解决问题的答案。 数学应用题,自然是和我们的实际生活分不开的,其涉及面广,如政治、经济、军事、科学等各个领域需要采用数学建模的方法,使所求问题数学化并简单化,即将问题转化成抽象的数学形式来表示后再求解。总之,数学应用题的求解是与数学建模密切相关的,是相辅相成的。
3.如何建立数学模型及数学建模在应用题中的应用
　数学建模就是把实际问题化成一个数学问题,所以建模能力是数学应用能力的核心,建模能力的好坏直接关系到应用题能力的好坏。以初中数学教学为例,在初中阶段,常见的数学应用题模型有下面几个：建立方程或方程组模型、建立不等式或不等式组模型、建立直角坐标系、建立函数（包括三角函数）模型、建立几何模型等等。随着我们知识的增多，我们建立的数学模型更多。一般地,建立数学模型要经过以下几个步骤,如图1所示:
模型准备
模型假设
模型构成

模型检验
模型分析
模型求解

模型应用

图1 数学建模步骤示意图

从上面数学建模的步骤分析,我们将数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段,并且通过这些阶段完成从现实到数学模型,再从数学模型回到现实对象的循环.如图2所示:
应当指出,以上仅仅给出了数学模型的大体步骤,但务要注意不要拘于上述模式.事实上,并非所有的建模都需要上面的步骤.一般来说,建立数学模型没有固定的模式,关键的是根据实际问题的特征和建模的目的抓住主要因素,分析数量关系建立模型,使我们关心的问题得到满意的解决或者比较满意的解决.

表述
现实对象的信息 数学模型
（归纳）

验证 求解 （演绎）

数学模型的解答

解释
现实对象的解答

图2 数学模型的全过程

　　而高中阶段我们学习的数学建模是简单的，只要求学生对数学建模的步骤了解就行了，具体的问题要求的数学建模不同，我们要针对不同的问题灵活应用。下面就一个具体实例的,对数学建模在应用题中的应用做一个详细的解说。
例如：某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共a元,乙、丙两队合做10天完成,厂家需付乙丙两队共b元,甲、丙两队合做5天完成全部工程的2/3,厂家需付甲、丙两队共c元.问甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
对于这道题的解答,首先我们要看清我们的解答目的：甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？那根据我们对数学模型的感知能力,很自然的我们所作的第一步工作就是：设甲队x天完成工程,设乙队y天完成工程,设丙队z天完成工程;然后再根据我们的理解分析能力,自然就得出甲、乙、丙各队单独每天所完成的工程量为1/x、1/y、1/z（其中1表示总工程量）,那么再结合我们文字语言叙述转译成数学符号语言的能力,自然就有如下所示的方程组,即数学建模完毕。

　　1/（1/x＋1/y）＝6

　　1/（1/y＋1/z）＝10

　　（2/3）/（1/x＋1/z）＝5

　　为方便求解,不妨再建一数学模型,即设1/x＝X,1/y＝Y.1/z＝Z,则有：

　　1/（X＋Y）＝6→X＋Y＝1/6

　　1/（Y＋Z）＝10→Y＋Z＝1/10

　　1/（X＋Z）＝15/2→X＋Z＝2/15

　　解得：

　　X＝1/10,Y＝1/15,Z＝1/30

　　x＝10,y＝15,z＝30

　　在上述解答的过程中,我们可以很清楚的感觉到数学建模在应用题中的应用,数学建模让复杂的应用问题简单化、抽象化、符号化;同时我们也很清楚的感觉到,在数学建模的过程中,需要我们对所求解对象以及应用题中的文字语言叙述部分有一个比较清楚的理解分析能力,对数学建模要有一个比较好的感知能力。这又从一个侧面反映出在实际问题中建立数学模型过程中,要求学生要具备一定的综合能力,如强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力,理解分析能力,对数学模型的感知能力等等。
4 .教师和学生要关注数学建模，培养应用数学建模的意识
上面我们研究了数学建模的类型及步骤，同时介绍了如何应用，有了这些知识还不够，关键是要有数学建模的意识，学生和老师在平时要注意培养这方面的意识，以便以后能灵活应用，那么我们又该如何培养这方面的意识呢？
⑴要培养学生的建模意识，高中数学教师应首先需要提高自己的建模意识。这不仅意味着教师在教学内容要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。教师除了了解数学学科的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。另外，教师还应与新教材结合起来研究，注意研究新教材各个章节要引入那些模型问题，如储蓄问题、贷款问题可以结合在数列的教学中。教师要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生研究数学建模的兴趣，提高他们应用数学知识进行建模的能力。
⑵在教学的各个环节上“切入”应用和建模的内容 在新教材的教学中，教师要有运用建模的意识，积极的引入数学建模，例如：新教材的数学三角函数与向量是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型，教师要把三角函数与向量当作数学模型来处理。在三角函数的教学中，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动等刻画，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期函数的重要模型。又如：在指数函数的概念中可以从“细胞分裂”、“病毒的传播”的模型导入；对数的概念可以从“复利问题”的模型导入；函数最值时，引入最大利益问题；等差、等比数学时，引入银行的贷款、存款、投资收入、分期付款等问题
⑶开展数学应用和数学建模为主题的课外活动 许多应用问题都与日常生活、生产、社会、自然有密切的联系，都有一定的背景。例如2000年春季高考(上海)19题是一个商品销售问题，同年秋季第6题是与GDP和人口增长有关的问题。2001年19题是存款问题、第7题是沙化问题、第21题是清洗蔬菜上残留农药问题，他们都有各自的实际背景。在了解这些问题时，学生首先遇到一个障碍就是题目看不懂，不理解题意，主要原因就是学生不熟悉实际背景，不知道题目有关术语的含义。因此要解决这些问题，作为教师首先鼓励、引导学生经常接触社会实践，熟悉现实生产生活，了解现实和生活的实际情况。
4.结束语
　　随着社会的发展以及教学改革的深入,大学生数学建模竞赛的开展，对学生综合素质的要求越来越高,尤其对学生的综合应用能力的要求也越来越高,通过数学建模在数学应用题中的应用与分析,让我们老师在随后的教学过程中,要更加注意对学生综合能力的培养,如强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力,着重培养学生的理解分析能力以及对数学模型的感知能力等等。

　　参考文献：
　　1.黄翔：《数学教育的价值》高等教育出版社.
　　2.卢云通：《中学数学学习生活化实施过程中应处理的三个关系》中学数学教与学.
　　3.端方林：《应用题中的数学建模举隅》