考前必备_高考数学复习笔记_精简版.doc

第I卷 160分部分
A3.复数运算
*1.运算律：⑴； ⑵； ⑶.
【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.
*2.模的性质：
⑴； ⑵； ⑶.
*3.重要结论：
⑴；
⑵； ⑶； ⑷，；
⑸性质：T=4；.
【拓展】：

B1.线性规划
（5）；
【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。
B 2.三角变换：
（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：
，；
，；
；
；
，；
；
等.
（4）常值变换
常值可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换：
（5）引入辅助角
一般的，，期中.
特别的，;
，
等.
（6）特殊结构的构造
构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.
举例：，
可以通过两式和，作进一步化简.
B 3.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点．
(1)角的变换
因为在中，（三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.
锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即，；；．
；；.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．
面积公式：.
其中为三角形内切圆半径，为周长之半．
(3)对任意，；
在非直角中，．
(4)在中，熟记并会证明：
*1.成等差数列的充分必要条件是．
*2.是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列．
*3.三边成等差数列；.
*4.三边成等比数列,.
(5)锐角中, ，；
；
.
【思考】：钝角中的类比结论
(6)两内角与其正弦值：在中，…
(7)若，则.
(8).

组三 常见三角不等式
(1)若，则；
(2) 若，则；
(3) ；
(4)在上是减函数；
B7.最值定理
①，若积，则当时和有最小值；
②，若和，则当是积有最大值.
【推广】：已知，则有.
（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.
（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.
③已知，若，则有：
④，若则有：

B8.求函数值域的常用方法：
①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；
【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.
②逆求法：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围，型如的函数值域；
④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；
⑥不等式法：利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；
⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；
⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如（,不同时为）的函数常采用此法．
【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
1.型，可直接用不等式性质；
2.型，先化简，再用均值不等式；
3.型，通常用判别式法；
4.型，可用判别式法或均值不等式法；
⑪导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.
……

B9.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；
(3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1) ：则且.
(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围.
(3)：
，则且.
(4)求的值域，当时，用判别式法求值域。
，值域.

B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值.
⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值.
⑶调整分子：例3.求函数的值域；
⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形： , ，，.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.求函数的最大值；
⑸连用公式：例5.已知，求的最小值；
⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值；
⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值；
⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值.

C、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力

C1.线段的定比分点公式
设，，是线段的分点，是实数，且（或=），则
（）
推广1：当时，得线段的中点公式：
推广2：则（对应终点向量）．

C 2. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是：
(1)借助模型函数探究抽象函数：
①正比例函数型：.
②指数函数型：.
③对数函数型：.
④幂函数型：,.
⑤三角函数型：,,,.
,.
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：
（3）利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

C 3.函数图像的对称性
【小结】函数对称性的充要条件
函数关系式()
对称性

函数图像是奇函数

函数图像是偶函数

或
函数图像关于直线对称

或
函数图像关于点对称
【注】：这里代数关系式中两个“”（对应法则）内的“”（变量）前的正负号相异，如果把两个“”放在“”的两边，则“”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
(2)两个函数图像之间的对称性
1.函数与的图像关于直线对称.
2.函数与的图像关于直线对称.
3.函数与的图像关于原点对称.
4.函数与它的反函数的图像关于直线对称.
5.函数与的图像关于直线对称.
特别地，函数与的图像关于直线对称.
这一块知识点由李晓峰整理
keren.dreamweaver@
C4.几个函数方程的周期(约定)
(1)若，或，则的周期；
(2)若，或，或 ，或，
或，或，或，
或，或，则的周期；
(3)若，则的周期；
(4)若，或，或，或，或，或且，则的周期；
(5)若，则的周期；
(6)若，则的周期.
【说明】函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.

C6.函数图象的对称轴和对称中心举例
函 数 满 足 的 条 件
对称轴(中心)
满足的函数的图像
[或]

满足的函数的图像
[或]

满足的函数的图像

满足的函数的图像

满足的函数的图像(偶函数)

满足的函数的图像(奇函数)

满足与的两个函数的图像

满足与的两个函数的图像

满足与的两个函数的图像

C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系
1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.
2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.
4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
【拓展】：
1、若函数为偶函数，则函数的图像关于直线对称.
2、若函数为奇函数，则函数的图像关于点对称.
3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.
4、定义在上的函数满足，则函数的图像关于点对称.

C 9.几何体中数量运算导出结论
3.在正四面体中：设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积；②体积；③对棱间的距离；
④相邻面所成二面角；⑤外接球半径；⑥内切球半径；
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值.
C
B
A
A

4.在立方体中：
设正方体的棱长为，则
①体对角线长为，②全面积为，③体积，④内切球半径为,外接球半径为,与十二条棱均相切的球半径为,则
,,,且
【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.

6.直角四面体的性质：
在直角四面体中,两两垂直,令,则
⑴底面三角形为锐角三角形；
⑵直角顶点在底面的射影为三角形的垂心；
⑶；
⑷；
⑸；
⑹外接球半径R=.
7. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为,
外接球的半径为．

C10.圆锥曲线几何性质
圆锥曲线的焦半径公式如下图：

特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.

(3)易误提点：
①是为钝角的必要非充分条件.
②截距不一定大于零，可为负数，可为零；
③常常会是等式不成立的原因，模为0，方向和任意向量平行，却不垂直；
④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”；
⑤直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.

D、13～14，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽
D1.熟知几个重要函数
1.
(1) 时，为“双钩函数”：
① 定义域：；值域为；
② 奇偶性：奇函数（有对称中心）；
③ 单调性：在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
④ 极值：时取到极大值，时取到极小值.
⑤ 记住的图像的草图.
⑥ 不等式性质：时，；
时， .
(2) 时，在区间上为增函数.
【思考】：图像大致如何分布.

(3)常用地，当时，的特殊性质略.
【探究】：①函数的图像变化趋势怎样？
②的有关性质.

2. 化简为，
①定义域：；值域为的一切实数；
②奇偶性：不作讨论；
③单调性：当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减.
④对称中心是点；
⑤两渐近线：直线和直线；
【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中的系数确定.
⑥平移变换：可由反比例函数图像经过平移得到；
⑦反函数为；
【说明】：分式函数与反比例函数，离心率均为，同源于双曲线.

3.三次函数图像与性质初步
*1.定义：形如的函数叫做三次函数. 定义域为,值域为.
*2.解析式：①一般式：；
②零点式：
·
*3.单调性：
【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时，我们需要考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法.
那三次函数的图像及性质，要从那里入手呢？
再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质.

所以，，导函数对称轴.
【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.
（“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点）
（一）若
令，由根与系数关系知：，
两极值点：

（1）当，，，约定，则拐点在轴左边，极值点分布在轴左边.根据零点的个数，尝试做出如下图像：
·
·
·
·
·
·

（2）当，，时，拐点在轴左边，极值点分布在轴两边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值；
·
·
·
·
·
·

（3）当，，时，拐点在轴右边，极值点分布在轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略
（4）当，，时，拐点在轴右边，极值点分布在轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略
（二）若
由知：无极值点，拐点横坐标仍为，所以图像如右图所示.
（三）若 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数.

(-∞，)

（，+∞)
的符号
+
0
+
的单调性
↗

↗
*4.极值：
函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系
(1)若，则在R上无极值；
(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
*5.零点个数(根的性质)
函数的图像与轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？
（联系函数的极值，进行等价转化）
一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”；
两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零；
三个交点：极大值大于零，极小值小于零.
D2.几个重要图像
1.（） 2.（）

3.（） 4.（）

5. 6.

D3.函数的零点处理：
（1）的零点（不是点而是数）的根
与轴的交点的横坐标
的交点问题.
（2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题.
（3）零点存在定理：单调且端点值异号使.
【说明】：
1.方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.
特别地，方程有且只有一个实根在内，等价于，或且，或且.
2.在上连续，且，则在上至少有一个零点（奇数个零点），可能有无数个零点.，在上可能无零点也可能有无数个零点.
3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对.

D4.比例的几个性质
①比例基本性质：；
②反比定理：； ③更比定理：；
④合比定理；； ⑤分比定理：；
⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；
⑧等比定理：若，，则.

D5.（1）三角形中的 “三线定理”（斯德瓦定理）
在△ABC中，D是BC上任意一点，则．
①若AD是BC上的中线，；
②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；
③若AD是BC上的高，，其中为半周长．
（2）三角形“五心”的向量性质(P为平面ABC内任意一点)：
①为的重心

②为的垂心

；
③为的内心
④为的外心

；
⑤为中的旁心；

D6.含绝对值不等式
(1)复数集内的三角形不等式：

其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号.
(2)向量不等式：

【注意】：同向或有；
反向或有；
不共线.(这些和实数集中类似)
(3)代数不等式：
同号或有；
异号或有.

D7.重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．
【变形】：①（当a = b时，）
【注意】： ，
② (当且仅当时取“=”号)．
2、均值不等式：
两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”

【拓展】：
①幂平均不等式：

② “算术平均几何平均（a1、a2…an为正数）”：
（a1=a2=…=an时取等）
3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
①
②
（，）；

4、柯西不等式：
①（代数形式）设均为实数，则
，其中等号当且仅当时成立.
②（向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立.
③（三角形式）设为任意实数，则：
【思考】：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
④（推广形式）设则

等号成立当且仅当时成立．（约定时，）
5、绝对值不等式：

双向不等式：
（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）
6、放缩不等式：
①，则.
【说明】：（，糖水的浓度问题）.
【拓展】：.
②，，则；
③，；
④，.
⑤,.
二、解答题
做题提醒：获得高分不仅需要采取多夺分策略，还须谨记坚持少丢分策略

第十五题（三角基础题）——基础题你答对了吗？

15.1、正弦定理
1.知识工具：
在△ABC中，（是外接圆直径 ）.
【变式】：①；
②；
③。
④
在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角.
【注明】：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三角形内角和定理：
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(3)面积公式：
(4)三角函数的恒等变形
，，，
2.三种题型
①利用正弦定理公式原型解三角形
②利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.
③三角形解的个数的判定：
方法一：画图观察

b
a
C
h
已知，其中，
⑴为锐角时：
①时，无解；
②时，一解（直角）；
③时，两解（一锐角，一钝角）；
④时，一解（一锐角）.
⑵为直角或钝角时：
①时，无解；
②时，一解（锐角）.
方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.
15.2、余弦定理
1.知识工具：
等三个；等三个。
【注明】：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理.在变形中，注意三角形中其他条件的应用.
2.三种题型
①利用余弦定理公式的原型解三角形.
②利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：
凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式.
③判断三角形的形状.
根据余弦定理，当，，中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当，，中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论.
判断三角形形状的方法：
(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用这个结论.
在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解.
15.3、正余弦定理实际应用
求距离
两点间不可通又不可视
两点间可视但不可达
两点都不可达

求高度
底部可达
底部不可达

①计算高度；
②计算距离；
③计算角度；
④测量方案的设计
实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解.
15.3、常见结论
1.①三角学中的射影公式：在中，.
②三角学中的射影定理：在中，；.
B
D
O
C
A
【思考】“射影定理”、“勾股定理”关系.
2.正切定理：.
3.三角形面积公式
（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
；
； （R为外接圆半径）；
【变形】：S＝＝＝．
（r为内切圆半径）；

【说明】：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．
如图：图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr，图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

图1

附：三角形的五个“心”：
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．
内心：三角形三内角的平分线相交于一点．
垂心：三角形三边上的高相交于一点．
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．
（5）已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）．
；
；.

第十六题（立几基础题）——推证不漏一个条件
16.2、求解空间角、距离和体积
(一)求角： （步骤------Ⅰ.找或作平面角；Ⅱ.求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；
②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系.
(理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角.)
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；
②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin.
（理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角.）
⑶二面角的求法：
①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；
②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；
③射影法：利用面积射影公式：,其中为平面角的大小；
【注】：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；
（理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角.）
（二）求距离：（步骤------Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离）
⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；
⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；
⑶点到平面的距离：
①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；
②等体积法；（理科还可用向量法：.）
⑷球面距离（步骤）： ①求线段的长；②求球心角的弧度数；③求劣弧的长.
（三）求体积
常规方法：直接法（公式法）、分割法、补形法、等积法(位置转换)、比例法(性质转换)等.
16.3、重要定理
（1）面积射影定理：(平面多边形及其射影的面积分别是和,它们所在平面所成锐二面角的为).
B
A
P
C

（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.　
逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.
【提炼】：（1）
（2）相当于斜线与平面所成角
（3）相当于二面角
（4）（定理）
（5）（逆定理）
（6）垂线段最短（前提是在平面外由同一点引的所有线段）
（7）最小角定理（涉及到不等问题时要想到这里）

第17题（解几综合题）——从平几中寻突破到解几中找关系

17.1、圆锥曲线中的精要结论：
2.弦长公式：
；
【注】：(1)焦点弦长：i．椭圆：；
ii．抛物线：＝；
(2)通径（最短弦）：i．椭圆、双曲线：；
ii．抛物线：.
3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；
4.椭圆中的结论：
(1)内接矩形最大面积：；
(2)P，Q为椭圆上任意两点，且，则 ；
(3)椭圆焦点三角形：
i．，（）；
ii．点 是内心，交于点，则；
(4)当点与椭圆短轴顶点重合时最大；
5.双曲线中的结论：
(1)双曲线（）的渐近线：；
(2)共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；
(3)双曲线焦点三角形：
i．，（）；
ii．是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为；
(4)等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为(渐近线互相垂直)，离心率．
(5)共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为．
(6) 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线．与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：．
(7) 若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n．
简证： = ．
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b．
(8) 直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线．
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条．
若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号．

6.抛物线中的结论：
(1)抛物线的焦点弦性质：
i．；；
ii． ；
iii．以为直径的圆与准线相切；
iv．以（或）为直径的圆与轴相切；
v．.
(2)抛物线内结直角三角形的性质：
i． ；
ii．恒过定点；
iii．中点轨迹方程：；
iv．，则轨迹方程为：；
v． .
(3)抛物线，对称轴上一定点，则：
i．当时，顶点到点距离最小，最小值为；
ii．当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点距离最小，最小值为.

17.2、两个常见的曲线系方程
(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.
当时,表示椭圆；当时,表示双曲线.

17.3、圆
5、圆的切线方程及切线长公式
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定.
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆的切线方程．
①若P(,)是圆上的点，则过点P(,)的切线方程为.特别地，若，切线方程为；
若P(,)是圆外一点，由P(,)向圆引两条切线，切点分别为A，B则直线AB的方程为.特别地，若，
②圆，斜率为的圆的切线方程为.
(3) 过圆外一点的切线长为.

17.4、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交，等于已知过的中点；
在中，给出，则是中边的中线；
（3）给出，等于已知是的中点；
（4）给出，等于已知与的中点三点共线；
（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；
③若存在实数，等于已知三点共线.
（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即
（7）给出，等于已知，即是直角，给出，等于已知是钝角，给出，等于已知是锐角；
（8）给出，等于已知是的平分线；
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形；
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形；
（11）设，.
；
（12）为内一点，则；
（13）在中，给出，则通过的内心；

17.5、解题规律盘点
1、点
(1)交点
①直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不为0时，，与二次曲线联立，；
②直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立，
③直线与二次曲线有一个公共点：
二次项系数为0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为0，△=0 二次项系数为0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为0，△=0
(2)定点处理思路；
(3)①设参数方程；椭圆的参数方程是：；
圆的参数方程：
②抛物线上的动点可设为：或或，其中，以简化计算.
2、直线
(1)设直线方程分斜率存在、不存在两种情况讨论。如果什么信息也没有：讨论斜率不存在情形，当斜率存在时，往往设为斜截式：；
巧设直线方程回避讨论及运算等问题
当直线过定点时，若设成有时会出现下列情况：
(i)容易忽视斜率不存在的情形；(ii)运算较繁，有时还会陷入僵局.
(2)过轴上一点的直线一般设为可以避免对斜率是否存在的讨论
(3)直线的方向向量
(4)两解问题：
圆外一点引两条长度相等的割线，割线长度不等于直径
截得平行线的弦长
相等（斜率不存在）

圆外一点引切线（斜率不存在）

3、角
(1)余弦定理;
(2)到角公式:
(3)向量的夹角公式
4、直线与圆锥曲线
(1)直线与圆锥曲线问题解法：
1.直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.
【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式
(1)已知曲线()与直线方程联立得：

()
【注意】：当曲线为双曲线时，要对与0进行比较.

由根与系数关系知：
【后话】:联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？②二次项系数系数为0的情况讨论了吗？③直线斜率不存在时考虑了吗？④判别式验证了吗？
2.设而不求（代点相减法）——处理弦中点与直线斜率问题
步骤如下：
已知曲线，①设点、中点为，②作差得；；对抛物线有.

【细节盘点】
*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.
*2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式或“小小直角三角形”.
*3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于的方程还是的方程，接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，即时，直线与曲线相切，……
*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题.
*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
*6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长； ②判定曲线交点的个数； ③求弦中点坐标；④求曲线的方程.
(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 :

或

【注】：弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率，.
(3)抛物线的切线方程
①抛物线上一点处的切线方程是.
②过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
③抛物线与直线相切的条件是.
5、几何定值、极值问题
几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不等式和定理解决，有时运用“对角”变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关三角函数性质、正弦定理、三角形面积公式等转化为三角极值问题解决.有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常需要用如下结论：
①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；
②周长一定的矩形中，以正方形面积最大；
③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小；
④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大；
⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小；
⑥在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大；
⑦在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大；
⑧在面积一定的边形中，正边形的周长最小.
几何定值问题主要是研究和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素的北欧谐几何性质或位置保持不变等问题.
常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距离之和等）、定比（线段比、面积比）、定积（面积、线段积）等.
常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等.
几何定值问题可以分为两类：一类是绝对的定值问题，即需要证明的定值为一确定的常数.这种定值为所给图形的位置、大小、形状无关；另