《整式的加减》期末复习指导.doc

本文发表于2006年11月7日《数学周报》华师大版7年级期末合刊
余音绕梁味无穷
--《整式的加减》期末复习指导
温州育英国际实验学校初中分校（325036） 赵长华
一、知识回顾
1、地位与作用
《整式的加减》这一章的主要内容是关于代数式的知识及其简单应用，包括字母表示数、代数式、代数式的值、整式以及整式的加减．这部分知识是既是后面学习一次方程、函数等知识的基础，也是解决日常生活中实际问题的必不可少的工具．
2、重点、难点解读
（1）代数式
①列代数式的关键是正确分析和、差、积、商、倍、分、大、小、多、少等数学概念和相关知识，如：“除”和“除以”是两个不同的概念，要抓住句中“的”字，分清句子的层次，逐层分析，从而正确列出代数式．
②要明确求代数式的值的一般步骤，即第一步：代入；第二步：求值，其次在用数替换代数式中的字母时，当数为负数时要加括号，以免造成符号错误．
（2）单项式的系数、次数以及多项式的次数、项数
单项式次数仅与单项式中所有字母的指数有关，而与系数无关，对于指数为1的不可丢失，而多项式的次数则是多项式中次数最高的项的次数．多项式的项数则是以“＋”、“－”号隔开的项数来计算．如：中的“＋”、“－”号将它分为三项．
（3）合并同类项法则，去括号法则及添括号法则
① 合并同类项法则．首先应明确同类项的概念，才能正确地运用法则进行合并．另外，在合并时要特别注意系数相加，而字母及其指数不变的原则．
②去括号、添括号法则
掌握法则的关键是把去掉和添上的括号及前面的符号看成一个统一体，不能拆开．对于括号前有数字因数，去括号处理的方法是按分配律逐项乘进去．
3、复习策略
1.正确理解概念
整式的系数、次数、项、同类项等概念必须清楚，是今后学习方程、整式乘除、分式和二次函数的基础．
2.熟练掌握合并同类项、去（添）括号法则
要处理好合并同类项及去（添）括号中各项符号处理，式的运算是数的运算的深化，加强式与数的运算对比与分析，体会其中渗透的转化思想．
二、专题精讲
1、用代数式表示数量关系
例1 设甲数为x，根据下列条件，表示乙数
（1）乙数是甲数的倍；（2）乙数比甲数小7%；（3）甲数的倒数比乙数小5．
分析：（1）题中“甲数的倍”就是“x×”，规范写法为x；（2）题中的“7%”是指“甲数的7%”，即7%x，所以乙数为x－7%x或（1－7%）x；（3）“甲数的倒数比乙数小5”，也就是“乙数比甲数的倒数大5”所以乙数为．
解：（1）x；（2）x－7%x或（1－7%）x；（3）
例2（2006乐山市）观察右图数表：
（1）根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为________，第n行与第n列交叉点上的数应为_________（用含有n的代数式表示，n为正整数）
（2）进一步推断第一行与第一列到第n行与第n列交叉的数的和的规律．
分析：（1）通过观察第一行与第一列到第n行与第n列交叉的数是1、3、5、7、……2n－1，所以第6行与第6列交叉点的数是11，第n行与第n列交叉的数应表示为2n－1．
根据题意可列出下列算式：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42，……从而可推出：1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）＝n2．
解：（1）11，2n-1；（2）n2．
例3（2006河北省）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：
（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：

4×0＋1＝4×1－3；
①

4×1＋1＝4×2－3；

②

4×2＋1＝4×3－3；
③

___________________；
④

___________________；
⑤

……
……

（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．
分析：对于探究规律型问题，寻找规律应从特殊到一般，正确地把握各个数量之间的关系，列出代数式．
解：（1）④4×3＋1=4×4－3； ⑤4×4＋1=4×5－3． （2）4（n－1）＋1=4n－3．
输入

输出

2、求代数式的值
例4（2006济南市）根据如右图所示的程序，计算当输入时，输出的结果 ．
分析：本例实际上考查的是代数式的求值问题，但是输入x时，应计算应判断x的范围，从而代入相应的代数式进行求解，输出结果．
解：因为3＞1，所以把x＝3代入y＝－x＋5中进行计算，y＝－3＋5＝2．
例5（2006广东省）按下列程序计算，把答案写在表格内：
n
平方
+n
n
-n
答案

(1)填写表格：
输入n
3

—2
—3
…
输出答案

…
(2)请将题中计算程序用代数式表达出来．
分析：本例考查的重点是列代数式和代数式的求值问题，通过计算可知表格内的输出结果均为1；然后根据程序设计列出代数式即可，列式时应注意括号的应用．
解：（1）表格内的输出结果均为1；（2）代数式为：．
3、整式的有关概念
例4 指出下列代数式中的单项式和多项式，是单项式的，写出它的系数和次数；是多项式的，指出它是几次几项式．
，－1，x，，，，，
分析：根据单项式、多项式的定义来判定，然后由单项式的系数、次数和多项式的次数的定义来解题．
解：单项式：
单项式
系数
次数

3
－1
－1
0
x
1
1

2
多项式：，一次二项式；，三次三项式．
例5（2006成都市）已知代数式与是同类项，那么a、b的值分别是（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：根据同类项的定义，x的指数相同，y的指数也相同，则可求得a、b的值．
解：把各选择答案代入代数式 与中进行验证，可知应选（A）．
4、整式的加减运算
例6有两个多项式：A=2a2－4a+1，B=2(a2－2a)+3，当a取任意有理数时，请比较A与B的大小．
分析：比较两个多项式的大小问题，宜使用作差法进行比较，要求两个多项式的差，在列式时应将两个多项式分别添上括号，因为括号前是“－”，在去括号时应特别注意符号的变化．
解：因为A-B=(2a2－4a+1) －[2(a2－2a)+3]
=(2a2－4a+1) － (2a2－4a+3)
=2a2－4a+1－2a2+4a－3)
=(2a2－2a2) + (4a－4a)+(1－3)
=－2<0，
所以A－B<0，故A<B．
例7已知A＝x2－2xy+x－1，B=－x2+xy+y，且3A－2B的值与y无关，求x的值．
分析：本例重点考查整式的加减运算，由于3A－2B的值与y无关，应将含有y的项合并同类项后，它的系数为0．
解：3A-2B＝3(x2－2xy+x－1)－2(－x2+xy+y)
＝3x2－6xy+3x－3+2x2－2xy－2y
　　　＝5x2－8xy+3x－3－2y
　　　＝5x2－（8x＋2）y＋3x－3
要使3A－2B的值与y无关，则须8x＋2＝0，即x＝．
5、整式的加减在实际生活中的应用
例8 某人购置了一套两室一厅的住宅，客厅是长为2x米、宽为y米的长方形，大卧室的面积是客厅面积的，小卧室是边长为x米的正方形，厨房的面积是客厅面积的，卫生间是边长为米的正方形，请你帮他计算一下，他新购置的住宅的居住面积是多少？如果每平方米的价格为2000元，那么他购这套住宅需付多少钱？
分析：由题意求出各部分的面积，再求出总面积
解：由题意，住宅的总面积为：
2xy+·2xy＋x2+·2xy+ (x)2
=2+xy+x2+xy+x2
=（4 xy+x2）米2
2000×（4 xy+x2）＝（8000xy+2500x2）元
答：住宅的居住面积是（4 xy+x2）米2，购这套住宅需付（8000xy+2500x2）元．
例9 小红家的收入分农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入是增加，还是减少？
分析：在解决实际问题时，我们经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出代数式，这是运用数学解决实际问题的一个重要策略．解题应注意：①分析题目的已知量与未知量，及相互间的关系；②选哪个未知量用字母来表示比较方便？其他未知量怎么表示？请同学们完成下列填空：
设小红家今年其他收入为a元，则
（1）今年农业收入为 元；
（2）预计明年农业收入为 元；
（3）预计明年其他收入为 元；
（4）今年全年总收入为 元；
（5）预计明年全年总收入为 元；
增加还是减少？怎么判断？
解：若设小红家今年其他收入为a元，则今年的总收入为：a+1.5a=2.5a(元)；预计明年的全年总收入为：(1+40%)a+ 1.5(1－20%)a=1.2a+1.4a=2.6a(元)．
因为2.6a(元)＞ 2.5a(元)，所以预计小红家明年的全年总收入将增加．
三、巩固练习
1、如右图为一梯级的平面图，一只老鼠沿长方形的两边A→B→D的路线去捉，结果在距离C点0.6米的D处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的．
（1）请将下表中每一句话“译成”数学语言（写出代数式）；
设梯级（折线）A→C的长度为
x米
AB+BC的长度为

A→C→D的长度为

A→B→D的长度为

设猫捉住老鼠所用时间为
t秒
猫的速度是

老鼠的速度是

2、将连续的自然数1至36按右图的方式排成一个正方形阵列．用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a．用含a的代数式表示这9个数的和为___________.
3、有这样一道题，“当a= 0.35，b= -0.28时，求代数式 7a3－6a3b+3a3＋6a3b－3a2b－10a3+3 a2b－2的值”．小明同学说题目中给出的条件a=0.35，b=-0.28是多余的，你觉得他的说法对吗？试说明理由．
4、A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司半年薪五千元，每半年加工龄工资50元，从应聘者的角度考虑的话，选择哪家公司有利？
5、下图中，⑴ 是一个扇形AOB，将其作如下划分：
第一次划分：如图⑵所示，以OA的一半OA1为半径画弧，再作∠AOB的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB，扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB、扇形A1OC1、扇形C1OB1；
第二次划分：如图⑶所示， 扇形C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；
第三次划分：如图l－3－12（4）所示；…依次划分下去．

（1）根据题意，完成下表：

（2）根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？