第8章数学形态学及其应用.ppt

第八章 数学形态学及其应用8.1 引言 8.2 二值形态学 8.3 灰值形态学 8.4 形态学的应用 本章内容1第八章 数学形态学及其应用8.1 引言8.1.1 数学形态学 数学形态学(Mathematical Morphology)诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J.Serra)和导师马瑟荣(G.Matheron)，在从事铁矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出，并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式，建立了颗粒分析方法(Granular Analysis Method）。他们的工作奠定了这门学科的理论基础。2第八章 数学形态学及其应用uJ.Serra教授是数学形态学创始人，是国际数学形态学会的创立者和第一任主席，国际立体测量学会副主席。曾获多项法国研究奖项，主要论著有Image Analysis and Mathematical Morphology。uSerra教授目前主要从事集合、函数与算子连通性分析；颜色的形态学处理；微观形态学、数学形态学在遥感图像处理与GIS中的应用等方面的研究。3第八章 数学形态学及其应用第八章 数学形态学及其应用第八章 数学形态学及其应用u数学形态学是由一组形态学的代数运算子组成的，它的基本运算有4个：p腐蚀（或侵蚀）-Erosionp膨胀（或扩张）-Dilationp开启-Openingp闭合-Closing 基于这些基本运算还可推导和组合成各种数学形态学实用算法，用它们可以进行图像形状和结构的分析及处理，包括图像分割、特征抽取、边界检测、图像滤波、图像增强和恢复等。6第八章 数学形态学及其应用u应用：n计算机文字识别计算机文字识别n计算机显微图像分析计算机显微图像分析(如定量金相分析，颗粒分析如定量金相分析，颗粒分析)n医学图像处理图像编码压缩医学图像处理图像编码压缩n 工业检测工业检测(如食品检验和印刷电路自动检测如食品检验和印刷电路自动检测)n材料科学材料科学n机器人视觉机器人视觉n汽车运动情况监测等。汽车运动情况监测等。n另外，数学形态学在指纹检测、经济地理、合成音乐和断层另外，数学形态学在指纹检测、经济地理、合成音乐和断层X光照像等领域也有良好的应用前景。光照像等领域也有良好的应用前景。7第八章 数学形态学及其应用1.元素和集合 在形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。对于二值图像而言：取值为1的点（像素）对应于景物，取值为0的点（像素）对应于背景。考虑所有值为1的点的集合为 A，则 A 与图像是一一对应的。对于一幅图像 A，如果点 a 在 A 的区域以内，那么就说 a 是 A 的元素，记为 aA，否则，记作a A。8.1.2 基本符号和术语8第八章 数学形态学及其应用u数学形态学中的集合：表示图像中的不同目标(Objects)。n例如，在二值图像中例如，在二值图像中，常用取值为，常用取值为1 1的点代表前景，而取值为的点代表前景，而取值为0 0的点的点代表背景。代表背景。所有取值为所有取值为1 1的像素的集合是图像完整的形态学描述。的像素的集合是图像完整的形态学描述。xy0二维整数空间(Z2)注意：硬件显示时将取值为“1”的像素显示为“白色”、“0”显示为“黑色”，而印刷时常相反。“1”为白色或黑色，取决于事先的约定。9第八章 数学形态学及其应用图8-1 元素与集合间的关系 包含包含:对于两幅图象 A 和 B，如果对B中的每一个点 b(b B）都有 b A，那么称 B 包含于 A，记作 BA。如果同时A中存在一个点 a，a A 且 a B，那么称 B 真包含于A，记作 B A。a A 且 a BB A10第八章 数学形态学及其应用 交集：两个图像集合 A 和 B 的公共点组成的集合称为两个集合的交集，记为AB，即 AB=aaA且aB 并集：两个集合 A 和 B 的所有元素组成的集合称为两个集合的并集，记为AB，即 AB=aaA，或aB 补集：对一幅图像A，在图像 A 区域以外的所有点构成的集合称为A的补集，记为AC，即AC=aa A。差集：A-B=a|aA且a B=A Bc2.交集、并集、补集和差集11第八章 数学形态学及其应用12第八章 数学形态学及其应用 设有两幅图像A和B，如果AB，那么称B击中A，记为AB（或 AB）；否则，如果AB=，那么称B击不中A。图8-3 击中与击不中（a）B击中A；（b）B击不中A 3.击中（Hit）与击不中（Miss）13第八章 数学形态学及其应用平移：设A是一幅数字图像，b是一个点，那么定义A被b平移后的结果为：Abab|aA 即取出 A 中的每个点a的坐标值，将其与点b的坐标值相加，得到一个新的点的坐标值a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的结果，记为A+b。01234xy12345(a)x01234123y(b)b01234xy12345(c)平移4.平移和反射14第八章 数学形态学及其应用反射：A关于图像原点的反射定义为：Av=a|-a A 即将A中的每个点的坐标取反后所得到的新图像（关于原点对称）。01234xy12345y123401234x(c)(d)反射15第八章 数学形态学及其应用集合原点(B)z=cc=a+z,aB平移反射平移和反射16第八章 数学形态学及其应用uu目标图像：目标图像：被处理的图像称为目标图像目标图像，一般用大写英文字母表示。为了确定目标图像的结构，必须逐个考察图像各部分之间的关系，并且进行检验，最后得到一个各部分之间关系的集合。uu结构元素：结构元素：在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种收集信息的“探针”，称为“结构元素结构元素”。“结构元素”一般用大写英文字母表示，例如用S表示。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图像之间各部分的关系。一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。5.目标和结构元素17第八章 数学形态学及其应用18第八章 数学形态学及其应用 结构元素的原点：结构元素的原点：结构元素结构元素S 本身也是一个图像集合。对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。以下用阴影代表值为1的区域，白色代表值为0的区域，运算是对值为1的区域进行的。19第八章 数学形态学及其应用Matlab 的结构元素函数uSE=strel(shape,parameters)SE=strel(diamonddiamond,R)creates a flat,diamond-shaped structuring element,where R specifies the distance from the structuring element origin to the points of the diamond.SE=strel(diskdisk,R,N)creates a flat,disk-shaped structuring element,where R specifies the radius.20第八章 数学形态学及其应用 SE=strel(lineline,LEN,DEG)creates a flat,linear structuring element,where LEN specifies the length,and DEG specifies the angle(in degrees)of the line,as measured in a counterclockwise direction from the horizontal axis.SE=strel(rectanglerectangle,MN)creates a flat,rectangle-shaped structuring element,where MN specifies the size.21第八章 数学形态学及其应用8.2 二值形态学 设 A 为图像集合，S 为结构元素，数学形态学运算是用 S 对 A 进行操作。腐蚀与膨胀是二值形态学中两个最基本的运算。在腐蚀和膨胀两个基本运算的基础上，可以构造出由膨胀和腐蚀两个运算的复合与集合操作（并、交、补等）组合而成的形态学运算族，如 开启、闭合、击中/击不中变换等。22第八章 数学形态学及其应用8.2.1 腐蚀(Erosion)给定目标图像 X 和一个结构元素 S，S 对X的腐蚀(简称腐蚀，有时也称 X 用 S 腐蚀，X 被 S 腐蚀)的定义为：X S=x|S+x X 上式表明，X 用 S 腐蚀的结果是所有使 S 平移到 x 后，S S 仍在 X 中的x 的集合。换句话说，用 S 来腐蚀 X 得到的集合是 S 完全包括在 X 中时 S S 的原点位置的集合的原点位置的集合。23第八章 数学形态学及其应用图8-6 S+x的三种可能的状态(1)S+x X；(2)S+x XC；(3)S+xX 与 S+xX C 均不为空 S+x只有三种可能的状态:24第八章 数学形态学及其应用 例例8-1 腐蚀运算图解。图8-7给出腐蚀运算的一个简单示例。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。图8-7 腐蚀运算示例 集合 X 结构元素 SX S 的结果+25第八章 数学形态学及其应用S26第八章 数学形态学及其应用说明：如果 S 包含了原点，即OS，那么（X S）将是 X的一个收缩，即XS X（当OS时）；如果 S 不包含原点，那么 X S X未必成立。如果结构元素S关于原点O是对称的，那么S=SV，因此 X S=X SV,但是，如果S关于原点O不是对称的，那么X被S腐蚀的结果与X被SV腐蚀的结果是不同的。27第八章 数学形态学及其应用 利用腐蚀运算的定义式可以直接设计腐蚀变换的算法。但有时为了更方便，常使用腐蚀的另一种表达式，即 X S=s+X|-s S 上式把腐蚀表示为对图像对图像对图像对图像X X平移的交平移的交平移的交平移的交，这在某些并行处理环境中特别有用。（注意：对结构元素进行了反射操（注意：对结构元素进行了反射操作作）图8-8 腐蚀表示为图像平移的交 腐蚀的另一种定义形式:28第八章 数学形态学及其应用腐蚀的作用：F腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。如果结构元素取33的像素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少一个像素。F腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起)去除，这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。F如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。29第八章 数学形态学及其应用图8-9 用33的结构元素进行腐蚀(a)原始二值图像；(b)33结构元素；(c)腐蚀结果(a)(b)(c)注意30第八章 数学形态学及其应用31第八章 数学形态学及其应用Ad32第八章 数学形态学及其应用原始图像用1313square structuring element 对(a)腐蚀后的结果用相同的结构元素对(b)膨胀后的结果33第八章 数学形态学及其应用8.2.2 膨胀 腐蚀可以看作是将图像 X 中每一与结构元素 S 全等的子集 S+x 收缩为点 x（原点OS）。反之，也可以将 X 中的每一个点x扩大为 S+x，这就是膨胀运算，记为X S。若用集合语言，它的定义为：X S=x|S+xX （8-4）与式（8-4）等价的膨胀运算定义形式还有：（1）X S=X+s|sS （8-5）（2）X S=S+x|xX（8-6）34第八章 数学形态学及其应用u还可以利用击中定义膨胀：X S=x|(SV+x)X (8-7)即与输入图像交集不为空的原点对称结构元素SV(对S反射操作)的平移表示膨胀。35第八章 数学形态学及其应用S36第八章 数学形态学及其应用膨胀示例：37第八章 数学形态学及其应用38第八章 数学形态学及其应用膨胀作用：F膨胀 是将与物体接触的有关背景点合并到该物体中，使边界向外部扩张的过程。可以用来填补物体中的空洞，或桥接小的裂缝。F如果结构元素为一个圆盘，那么膨胀可填充图像中的小孔(比结构元素小的孔洞)及图像边缘处的小凹陷部分。39第八章 数学形态学及其应用8.2.3 开运算和闭运算 如果结构元素为一个圆盘，那么膨胀可填充图像中的小孔(比结构元素小的孔洞)及图像边缘处的小凹陷部分，而腐蚀可以消除图像边缘小的成分，并将图像缩小，从而使其补集扩大。但是，膨胀和腐蚀并不互为逆运算。40第八章 数学形态学及其应用 膨胀和腐蚀可以级连结合使用。例如，使用同一个结构元素，先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，此种运算称为开运算（或开启）；或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果，此种运算称为闭运算（闭合）。开运算和闭运算是形态学运算族中两个最为重要的组合运算。41第八章 数学形态学及其应用 对图像X及结构元素 Su开运算：X S=(X S)S （8-7）u闭运算：X S=(X S)S （8-8）由式(8-7)和式(8-8)可知，X S可视为对腐蚀图像 X S 用膨胀来进行恢复，而 X S 可看作是对膨胀图像 X S 用腐蚀来进行恢复。不过这一恢复不是信息无损的，即它们通常不等于原始图像 X。1.开运算和闭运算定义：42第八章 数学形态学及其应用u开运算的定义式，也可以表示为：X S=S+x|S+x X （8-9）因而X S是所有X的与结构元素S全等的子集的并组成的。或者说，对X S中的每一个点x，均可找到某个包含在X中的结构元S的平移S+y，使得xS+y，即x在X的近旁具有不小于S的几何结构。而对于X中不能被X S恢复的点，其近旁的几何结构总比S要小。这一几何描述说明，X S是一个基于几何结构的滤波器。43第八章 数学形态学及其应用2.开运算的几何解释：u开操作有一个简单的几何解释。假设我们将结构元素S看做一个(扁平的)“转球”。X S的边界由S中的点给出，即 S 在 X 的边界内转动时，S 中的点所能到达的 X 的边界的最远点。这个开操作的几何拟合特性就是（8-9）式表达的含义。44第八章 数学形态学及其应用3.闭运算的几何解释：u闭操作有相似的几何解释，只是我们现在在边界的外部转动S。简而言之，开操作和闭操作是一对对偶操作，所以闭操作在边界外部转动球是预料之中的事。45A simple illustration of morphological opening and closing注意这些变化46第八章 数学形态学及其应用图8-12 开运算去掉了凸角(a)结构元素S1和S2；(b)XS1；(c)XS2 示例：47第八章 数学形态学及其应用u图8-12给出了两个开运算的例子，其中图8-10（a）是结构元素S1和S2，图8-10（b）是用S1对X进行开运算的结果，图8-10（c）是用S2对X进行开运算的结果。u当使用圆盘结构元素时，开运算对边界进行了平滑，去掉了凸角；当使用线段结构元素时，沿线段方向宽度较大的部分才能够被保留下来，而较小的凸部将被剔除。而XX S给出的是图像的凸出特征。可见，不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出不同的特征。48第八章 数学形态学及其应用 图8-13给出了两个闭运算的例子，其中，图8-11（a）是结构元素S1 和S2，图8-11（b）是用S1对X进行闭运算的结果，图8-11（c）是用S2对X进行闭运算的结果。可见，闭运算通过填充图像的凹角来平滑图像，而XSX给出的是图像的凹入特征。图8-13 闭运算填充了凹角(a)结构元素S1和S2；(b)X S1；(c)X S2 49第八章 数学形态学及其应用B50第八章 数学形态学及其应用(A B)B=A B(A B)B(A B)B B=(A B)B51小结l开运算一般能断开狭窄的间断消除细的突出物，使物体的轮廓变得光滑。l闭运算同样使轮廓线更为光滑，通常能弥合狭窄的间断和长细的鸿沟，消除小的孔洞，并填补轮廓线中的断裂。l开运算和闭运算可用于形态学滤波。l开运算和闭运算也是一对关于集合求补及反射的对偶操作。即：52第八章 数学形态学及其应用8.2.4 击中击不中(Hit/Miss)变换u将形态学运算推广到更为一般的情况，实际上就演变为条件严格的模板匹配。这时结构元素不仅含有物体点，而且还含有背景点，只有当结构元素与所对应的区域完全符合时才作为结果输出到输出图象。这就是击中击不中(Hit/Miss)变换的目的。u一个物体的结构可以由物体内部各种成分之间的关系来确定。为了研究物体（在这里指图像）的结构，可以逐个地利用其各种成分(例如各种结构元素)对其进行检验，判定哪些成分包括在图像内，哪些在图像外，从而最终确定图像的结构。53第八章 数学形态学及其应用 1.定义：u设 X 是被研究的图像，S是结构元素，而且S由两个不相交的部分S1和S2组成（如S1为物体点，S2为背景点），即 S=S1S2，且 S1S2=。于 是，X被 S“击 中”（XS）的结果定义为：X S =x|S1+x X 且且S2+x X c 或：X S=(XS1)(X c S2)54第八章 数学形态学及其应用(AB1)Ac(Ac B2)AB=(AB1)(Ac B2)55第八章 数学形态学及其应用2.作用F由此可见，击中运算相当于一种条件比较严格的模板匹配，它不仅指出被匹配点所应满足的性质即模板的形状，同时也指出这些点所不应满足的性质，即对周围环境背景的要求。F击中/击不中变换可以用于保持拓扑结构的形状细化，以及形状识别和定位。56第八章 数学形态学及其应用u设有一个模板形状(集合)A，对给定的图像X，假定 X 中有包括 A 在内的多个不同物体。我们的目的是识别和定位其中的 A 物体。此时，取一个比A稍大的集合S作为结构元素并且使 A 不与 S 的边缘相交，令 S1=A且S2=S-A，S2为“包围”A或S1的外接边框，此时称S1、S2为一个结构元素对，简称结构对，记为 S=（S1，S2），那么X(S1,S2)将给出且仅给出所有 X 中与 A 误差在设定范围内的物体的位置。图8-16描述了一个字符识别的示例。示例：57第八章 数学形态学及其应用 图8-18 用击中/击不中变换识别字符（a）结构元素S；（b）图像X；（c）XS 58第八章 数学形态学及其应用8.3 灰值形态学 二值形态学的个基本运算，即腐蚀、膨胀、开、闭运算，可推广到灰度图像空间。与二值形态学不同的是，这里运算的操作对象不再看作集合而看作图像函数。以下设f(x,y)是输入图像，b(x,y)是结构元素。59第八章 数学形态学及其应用8.3.1 灰值腐蚀 用结构元素b(x,y)对输入图像 f(x,y)进行灰值腐蚀记为 f b，其定义为 (f b)(s,t)=minf(s+x,t+y)-b(x,y)(s+x,t+y)Df,(x,y)Db （8-13）式中，Df和Db分别是 f 和 b 的定义域。这里限制(s+x，t+y)在 f 的定义域之内，类似于二值腐蚀定义中要求结构元素完全包括在被腐蚀集合中。60第八章 数学形态学及其应用灰值腐蚀运算机理：为简单起见，下面用一维函数来简单介绍灰值运算操作机理。用一维函数时，式（8-13）可简化为 (f b)(s)=minf(s+x)-b(x)|s+x Df,xDb（8-14）如同在相关计算中，对正的 s,f(s+x)向向左左移移动动，对负的 s，f(s+x)向向右右移移动动。要求(s+x)在 f 的定义域内并要求 x 的值在 b 的定义域内，是为了把 b 完全包含在 f的平移范围内（也可让 b 平移）。(f b)(s)=minf(s)-b(s+x)|x Df,s+xDb61第八章 数学形态学及其应用图8-19 灰值腐蚀示意图(a)图像f；(b)结构元素b；(c)用结构元素b对f腐蚀；(d)用结构元素b对f腐蚀的结果 图像 f(x)结构元素b(x)62第八章 数学形态学及其应用 用结构元素b(x,y)对输入图像f(x,y)进行灰值膨胀记为 f b，其定义为：(f b)(s,t)=maxf(s-x,t-y)+b(x,y)(s-x,t-y)Df,(x,y)Db （8-15）式中，Df和Db分别是 f 和 b 的定义域。这里限制(s-x，t-y)在 f 的定义域之内，类似于在二值膨胀定义中要求两个运算集合至少有一个（非零）元素相交。式（8-15）与二维离散函数的卷积的形式很类似，区别是式（8-15）用max(最大)替换了卷积的求和，用加法替换了卷积的相乘。8.3.2 灰值膨胀63第八章 数学形态学及其应用灰值膨胀运算机理：同样，下面用一维函数来简单介绍灰值膨胀（8-15）的含义和运算操作机理。用一维函数时，式（8-15）可简化为：(f b)(s)=maxf(s-x)+b(x)|s-x Df ,xDb （8-16）和卷积相似，f(-x)是对应x轴原点的映射（反折）。对正的s，f(s-x)向右移动，对负的s，f(s-x)向左移动。要求(s-x)在 f 的定义域内并要求x的值在b的定义域内，是为了使f和b的交集非空（有相重合部分）。64第八章 数学形态学及其应用u上式也可写为：(f b)(s)=maxf(x)+b(s-x)|x Df,s-x Db 即对结构元素反折平移。图8-21 灰值膨胀示意图(a)灰度膨胀过程；(b)灰度膨胀结果 65第八章 数学形态学及其应用(a)原始图像;(b)灰值腐蚀后的图像;(c)灰度膨胀后的图像 灰值腐蚀、膨胀示例：图8-20 灰值腐蚀与膨胀前后的图像66第八章 数学形态学及其应用灰值腐蚀、膨胀运算的作用：u腐蚀的计算是在由结构元素确定的邻域中选取 f-b的最小值，因此，对灰值图像的腐蚀操作有两类效果：如果结构元素的值都为正的，则输出图像会比输入图像暗；如果输入图像中亮细节的尺寸比结构元素小，则其影响会被减弱，减弱的程度取决于这些亮细节周围的灰度值和结构元素的形状和幅值。67第八章 数学形态学及其应用u膨胀的计算是在由结构元素确定的邻域中选取f+b的最大值，因此对灰值图像的膨胀操作有两类效果：如果结构元素的值都为正的，则输出图像会比输入图像亮；根据输入图像中暗细节的灰度值以及它们的形状相对于结构元素的关系，它们在膨胀中或被消减或被除掉。68第八章 数学形态学及其应用8.3.3 灰值开、闭运算 数学形态学中关于灰值开和闭运算的定义与它们在二值数学形态学中的对应运算是一致的。u开运算：用结构元素 b 对灰值图像 f 做开运算记为f b，其定义为 f b=(f b)b u闭运算：用结构元素b对灰值图像 f 做闭运算记为f b，其定义为 f b=(f b)b 69第八章 数学形态学及其应用灰值开、闭运算的几何解释：如图8-22所示。在图(a)中，给出了一幅图像 f(x,y)在y为常数时的一个剖面 f(x)，其形状为一连串的山峰山谷。假设结构元素b是球状的，投影到 x 和 f(x)平面上是个圆。u开运算：用b对f 做开运算，即f b，可看作将b贴着f 的下沿从一端滚到另一端。图8-22(b)给出了b在开运算中的几个位置，图8-22(c)给出了开运算操作的结果。从图8-22(c)可看出，对所有比b的直径小的山峰其高度和尖锐度都减弱了。换句话说，当b贴着f 的下沿滚动时，f 中没有与b接触的部位都削减到与b接触。70第八章 数学形态学及其应用u闭运算：用b对f 做闭运算，即f b，可看作将b贴着f 的上沿从一端滚到另一端。图8-22(d)给出了b在闭运算操作中的几个位置，图8-22(e)给出了闭运算操作的结果。从图8-22(e)可看出，山峰基本没有变化，而所有比 b 的直径小的山谷得到了“填充”。换句话说，当b贴着f 的上沿滚动时，f 中没有与b接触的部位都得到“填充”，使其与b接触。71第八章 数学形态学及其应用图8-22 灰值开、闭运算几何解释示意图 灰灰值值开开运运算算灰灰值值闭闭运运算算f b=(f b)bf b=(f b)b 72第八章 数学形态学及其应用 常用开运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的亮细节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不受影响。第一步的腐蚀去除了小的亮细节并同时减弱了图像亮度，第二步的膨胀增加了图像亮度，但又不重新引入前面去除的细节。73第八章 数学形态学及其应用 常用闭运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的暗细节，而保持图像整体灰度值和大的暗区域基本不受影响。第一步的膨胀去除了小的暗细节并同时增强了图像亮度;第二步的腐蚀减弱了图像亮度但又不重新引入前面去除的细节。74第八章 数学形态学及其应用图图8-23 灰值开闭运算实例灰值开闭运算实例(a)原始图像原始图像 (b)开运算的结果；开运算的结果；(c)闭运算的结果闭运算的结果 灰值开、闭运算示例：75第八章 数学形态学及其应用8.4 形态学的应用u形态学滤波u边界提取u细化u骨架抽取u区域填充u纹理分割76第八章 数学形态学及其应用一、形态学滤波 由于开、闭运算所处理的信息分别与图像的凸、凹处相关，因此，它们本身都是单边算子，可以利用开、闭运算去除图像的噪声、恢复图像，也可交替使用开、闭运算以达到双边滤波目的。一般，可以将开、闭运算结合起来构成形态学噪声滤波器，用以消除目标周围的消除目标周围的噪声块和目标内部的噪声孔噪声块和目标内部的噪声孔。例如(XS)S 或(X S)S等。77第八章 数学形态学及其应用示例：图8-23(a)包括一个长方形的目标X，由于噪声的影响在目标内部有一些噪声孔而在目标周围有一些噪声块。现在用图8-23(b)所示的结构元素S通过形态学操作来滤除噪声，这里的结构元素应当比所有的噪声孔和块都要大。(a)原图X (b)结构元素S (c)XS (d)(XS)S=X S (e)(X S)S (f)(X S)S S=(X S)S 图8-25 形态学滤波示意图78第八章 数学形态学及其应用u先用 S 对 X 进行腐蚀得到图8-25(c)，再用 S 对腐蚀结果进行膨胀得到图8-25(d)，这两个操作的串行结合就是开运算，它将目标周围的噪声块消除掉了。再用S对图8-25(d)进行一次膨胀得到图8-25(e)，然后用S对膨胀结果进行腐蚀得到图8-25(f)，这两个操作的串行结合就是闭运算，它将目标内部的噪声孔消除掉了。整个过程是先做开运算再做闭运算，可以写为：(X X S S)S S S S S=S=(X X S S)S S 79第八章 数学形态学及其应用讨论：u结构元素的选择：比较图8-25(a)和(f)，可看出目标区域内外的噪声都消除掉了，而目标本身除原来的4个直角变为圆角外没有太大的变化。u在利用开、闭运算滤除图像的噪声时，选择圆形结构元素会得到较好的结果。80第八章 数学形态学及其应用二、边界提取 集合（物体）A的边界表示为(A)，它可以通过先用结构元素B对A腐蚀(A B)，然后用A减去腐蚀(A B)得到，即A与(A B)的差集：(A A)=)=A A-(A A B B)=)=A A (A A B B)c c边界提取的机理：81第八章 数学形态学及其应用82第八章 数学形态学及其应用三、细化u把一个平面区域简化成图（Graph）是一种重要的结构形状表示法。u利用细化技术得到区域的细化结构是常用的方法。因此，寻找二值图像的细化结构是图像处理的一个基本问题。在图像识别或数据压缩时，经常要用到这样的细化结构，例如，在识别字符之前，往往要先对字符作细化处理，求出字符的细化结构。83第八章 数学形态学及其应用84第八章 数学形态学及其应用图像细化机理：用结构元素 B 对图像X 进行细化的过程可以使用击中/击不中变换来定义：X B=X-(X B)=X (X B)c 更一般的定义是利用结构元素序列 B =B1，B2，BN 迭代地对图像X进行细化操作，产生细化输出序列：或者：i=1,2,N 85第八章 数学形态学及其应用 随着迭代的进行，得到的集合也不断细化。假设输入集合是有限的（即N为有限），最终将得到一个细化的图像。结结构构序序列列的的选选择择仅仅受受结结构构元元素素不不相相交交的的限限制制，其其中中B Bi i 是是B Bi-1i-1 旋旋转转的的结结果果。在实际应用中，通常选择一组结构元素序列，迭代过程不断在这些结构序列中循环，当一个完整的循环结束时，如果所得结果不再变化，则终止迭代过程。86第八章 数学形态学及其应用87第八章 数学形态学及其应用四、骨架抽取u 骨架还可以用中轴表示。设想在时刻，将目标边界各处同时点燃，火的前沿以匀速向目标内部蔓延，当前沿相交时火焰熄灭，火焰熄灭点的集合就构成了中轴。图8-24(a)是这个过程的图示。u另外一种定义骨架的方法使用了最大圆盘概念：目标X的骨架由 X 内所有最大内切圆盘的圆心组成，如图8-24(b)、(c)所示。最大圆盘不是其他任何完全属于X的圆盘的子集，并且至少有两点与目标边界轮廓相切。骨架的每个点都对应一个相应的最大圆盘和半径r。u最大圆盘定义的骨架与火种方式定义的骨架除在某些特殊情况下端点处存在差异外，绝大多数情况下都是一致的。88第八章 数学形态学及其应用图8-24 骨架的定义(a)(b)(c)89第八章 数学形态学及其应用 按照最大圆盘定义骨架的方式，在二值图像的内部任意给定一点，如果以该点为圆心存在一个最大圆盘，其整个盘体都在图像的内部，且至少有两点与目标边界相切，则该点便是骨架上的点。所有最大圆盘的圆心构成了图像的骨架（中轴）。对于图像X，一般用S(X)表示其骨架。注意，不同的图像可能有相同的骨架。骨架对噪声非常敏感，而且连通的集合可能具有不连通的骨架（例如两个相切圆盘的骨架）。90第八章 数学形态学及其应用 数字骨架可以从形态学的角度进行定义。对于k0，1，2，定义骨架子集Sk（X）为图像X内所有最大圆盘kB的圆心x构成的集合。从骨架的定义可知，骨架是所有骨架子集的并，即 S(X)=Sk（X）|k0，1，2，（8-33）式中骨架子集Sk（X）为 Sk（X）=(X kB)-(X kB)B B为结构元素，(X kB)代表连续k次用B对X腐蚀，即：(X kB)=（(X B)B）B。91第八章 数学形态学及其应用 这就是骨架的形态学表示，它也是用数学形态学方法提取图像骨架技术的依据。对于给定的图像X以及结构元素B，(X kB)可以将X腐蚀为空集，如果用N表示(X kB)运算将X腐蚀成空集前的最后一次迭代次数，即 N=maxk|(X kB)，则骨架可表示为：相反，图像X也可以用Sk（X）重构，即 92第八章 数学形态学及其应用 式中，B为结构元素，(Sk(X)kB)代表连续k次用B对Sk(X)膨胀，即 图8-25给出了用形态学方法抽取图像骨架的一个实例。其中，图8-25(a)为一幅二值图像，图8-25(b)为用33的结构元素S（原点在中心）得到的骨架，图8-25(c)为用55的结构元素得到的骨架，图8-25(d)为用77的结构元素得到的骨架。注意图8-25(c)和(d)中由于模板较大叶柄没有保留下来。93第八章 数学形态学及其应用图8-25 骨架抽取示例(a)一幅二值图像；（b）用33的结构元素S得到的骨架；(c）用55的结构元素得到的骨架；（d）用77的结构元素得到的骨架 94五、区域填充lA 表示一个包含子集的集合，其子集的元素均是区域的 8 连通边界点。目的是从边界内的一个点 p 开始，用“1”填充整个区域。l方法（迭代过程）：条件膨胀，B为适当的对称性结构元素hole95Illustration of Region Fillingp96Example of Region Fillingp97六、纹理分割close all;I=imread(test.jpg);figure,imshow(I);I1=imclose(I,strel(disk,12);figure,imshow(I1);I2=imopen(I1,strel(disk,22);figure,imshow(I2);I3=im2bw(I2,graythresh(I2);figure,imshow(I3);用大小与小斑点相当的结构元素做闭运算使用比大斑点之间的间隙大的结构元素进行一次开运算。简单阈值分割结果98第八章 数学形态学及其应用作业：u何东健书 1u简述二值形态学膨胀、腐蚀、开启和闭合运算的特点。99