第八章第四节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2010·东营第一次诊断)直线x＋y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是(　　)
A．直线与圆相切　　　　　 B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离 D．直线过圆心
解析：∵直线x＋y＝0的倾斜角为150°，
∴顺时针方向旋转30°后的倾斜角为120°，
∴旋转后的直线方程为x＋y＝0.
将圆的方程化为(x－2)2＋y2＝3，
∴圆心的坐标为(2,0)，半径为，圆心到直线x＋y＝0的距离为d＝＝＝圆的半径，∴直线和圆相切．
答案：A
2．(2010·东北三校)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有(　　)
A．2条 B．3条
C．4条 D．6条
解析：由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时与两坐标轴的截距都是0；当圆的切线与两坐标轴截距相等且不为零时，此切线过一、二、四象限，易知满足题意的切线有2条，综上共计4条．
答案：C
3．(2010·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是(　　)
A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0
解析：两圆关于直线l对称，则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0的圆心为P(3，－3)，则线段OP的中点为Q(，－)，其斜率kOP＝＝－1，则直线l的斜率为k＝1，故直线l的方程为y－(－)＝x－，即x－y－3＝0.
答案：D
4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
解析：结合圆的几何性质处理会更简捷．由圆的一般方程可得圆心O(－1,2)，由圆的性质易知O(－1,2)，C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kOC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为：y－3＝x＋2整理得：x－y＋5＝0.
答案：A
5．(2010·宝鸡五月质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|(其中O为坐标原点)，则实数a等于(　　)
A．2 B．－2
C．2或－2 D.或－
解析：由|＋|＝|－|知OA⊥OB，所以由题意可得＝，所以a＝±2.
答案：C
6．把直线x－y＋1＝0沿向量a＝(1,0)方向平移，使之与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的距离为(　　)
A.－1 B.＋2
C.－1与＋1 D．2－与2＋
解析：如图，将直线l0：x－y＋1＝0沿向量a＝(1,0)方向平移到l1或l2时，直线与圆相切，因为圆心(2,1)到直线l0的距离d＝＝，圆的半径为1，所以直线l0与l1的距离为－1，直线l0与l2的距离为＋1，故沿向量a＝(1,0)方向平移的距离为×(－1)＝2－与×(＋1)＝2＋.
答案：D
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．
解析：当过点(0,1)，(0,0)的直线与弦AB垂直时，|AB|的最小值为2.
答案：2
8．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3,0)，C2(0,3)，C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．(2010·浙江教育考试院)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________．
解析：由题意结合圆的性质得当圆C2的圆心C2为AB的中点时圆C2的半径最大．而原点到直线3x＋4y－5＝0的距离为1，圆C2过原点O，所以圆C2的半径最大值为1.
答案：1
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解：(1)由题意可知M在圆(x－1)2＋(y－2)2＝4外，
故当x＝3时满足与圆相切．
当斜率存在时设为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0.
由＝2，∴k＝，
∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由ax－y＋4＝0与圆相切知＝2，
∴a＝0或a＝.
(3)圆心到直线的距离d＝，
又l＝2，r＝2，
∴由r2＝d2＋()2，可得a＝－.
11．已知圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0和圆外一点M(4，－8)．
(1)过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|＝4，求直线AB的方程；
(2)过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．
解：(1)圆即(x－2)2＋(y＋1)2＝8，
圆心为P(2，－1)，半径r＝2.
①若割线斜率存在，设AB：y＋8＝k(x－4)，即kx－y－4k
－8＝0，设AB的中点为N，则|PN|＝＝，
由|PN|2＋2＝r2，得k＝－，
AB：45x＋28y＋44＝0.
②若割线斜率不存在，AB：x＝4，代入圆方程得y2＋2y－3＝0，y1＝1，y2＝－3符合题意，综上，直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0或x＝4.
(2)切线长为＝＝3.
以PM为直径的圆的方程为
(x－2)(x－4)＋(y＋1)(y＋8)＝0，
即x2＋y2－6x＋9y＋16＝0.
又已知圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－3＝0，
两式相减，得2x－7y－19＝0，
所以直线CD的方程为2x－7y－19＝0.
12．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，
因为|m|≤(m2＋1)，
所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．
所以斜率k的取值范围是[－，]．
(2)不能．
由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.
圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.
圆心C到直线l的距离d＝.
由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.
所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．