专题八第二讲分类讨论思想、化归与转化思想.doc

第二讲　分类讨论思想、化归与转化思想

1．在正实数集上定义一种运算*：当a≥b时，a*b＝b3；当a<b时，a*b＝b2，则满足3*x＝27的x的值为(　　)
A．3　　　　　　　　 B．1或9
C．1或 D．3或3
2．(2013·高考福建卷)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)
A．14 B．13
C．12 D．10
3．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为(　　)
A. B．4
C. D．4或
4．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与QF的长分别是p、q，则＋等于(　　)
A．2a B.
C．4a D.
5．设函数f(x)＝x3＋sin x，若0≤θ≤时，f(mcos θ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1)　 B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
6．设集合A＝{x|12＋x－x2≥0}，集合B＝{x|m－1≤x≤3m－2}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为________．
7．(2013·高考北京卷)函数f(x)＝的值域为________．
8．已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1，1)上存在零点，则实数a的取值范围是________．
9．在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，求a1与q.

10．(2013·惠州模拟题)设a>0，讨论函数f(x)＝ln x＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．

11．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

答案：
第二讲　分类讨论思想、化归与转化思想
1．【解析】选D.由题意得或，
解得x＝3或3.
2．【解析】选B.若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；
若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1，
此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．
∴(a，b)的个数为4＋9＝13.
3．【解析】选D.分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．
4．【解析】选C.因为直线PQ是任意的，所以，可以取最特殊的情况：直线PQ垂直于y轴时．此时|PF|＝|QF|＝，
∴＋＝4a，故选C.
5．【解析】选C.易知f(x)为奇函数、增函数，
f(mcos θ)＋f(1－m)>0，
即f(mcos θ)>f(m－1)，
∴mcos θ>m－1，
而0≤θ≤时，cos θ∈[0，1]，
∴，得m<1.
6．【解析】由12＋x－x2≥0，得－3≤x≤4，那么A＝{x|－3≤x≤4}，由A∩B＝B，当B≠∅时，结合数轴，得⇒⇒≤m≤2；
当B＝∅时，也有A∩B＝B成立；此时，m－1>3m－2，即m<；
故实数m的取值范围为{m|m≤2}．
【答案】{m|m≤2}
7．【解析】当x≥1时，logx≤log1＝0，
∴当x≥1时，f(x)≤0.
当x<1时，0<2x<21，即0<f(x)<2.
因此函数f(x)的值域为(－∞，2)．
【答案】(－∞，2)
8．【解析】g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a，g(x)＝f′(x)在区间(－1，1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1，1)上有解，等价于a的取值范围是函数y＝3x2＋4x在区间(－1，1)上的值域，不难求出这个函数的值域是[－，7)．故所求的a的取值范围是[－，7)．
【答案】[－，7)
9．【解】当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，显然成立；
当q≠1时，由题意，
得
∴
由①②，得＝3，
即2q2－q－1＝0，
∴q＝－或q＝1(舍去)．
当q＝－时，a1＝＝6.
综上可知，当q＝1时，a1＝；
当q＝－时，a1＝6.
10．【解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2a(1－a)x－2(1－a)
＝，
令g(x)＝2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1，
Δ＝4(1－a)2－8a(1－a)＝12a2－16a＋4
＝4(3a－1)(a－1)，
①当0<a<时，Δ>0，令f′(x)＝0，
解得x＝，
则当0<x<或x>时，f′(x)>0；
当<x<时，f′(x)<0；
则f(x)在(0，)，
(，＋∞)上单调递增，
在(，)上单调递减；
②当≤a≤1时，Δ≤0，f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1时，Δ>0，令f′(x)＝0，
解得x＝，
∵x>0，∴x＝
则当0<x<时，f′(x)>0，
当x>时，f′(x)<0，
则f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．
11．【解】 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1，2＝，所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或|AB|＝.