人教版九年级上册数学期末考试试卷及答案.doc

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九年级（上）数学期末试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）的倒数是（　　）

A．
2011
B．
﹣2011
C．

D．

2．（3分）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．
ab＜0
B．
b﹣a＞0
C．
a＞b
D．
a+b＞0

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．
a2﹣a3=a6
B．
（﹣a3）2=﹣a6
C．

D．

4．（3分）（2009•北京）若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（　　）

A．
10
B．
9
C．
8
D．
6

5．（3分）（2012•铜仁地区）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个

6．（3分）（2009•南平）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（　　）

A．
45°
B．
60°
C．
90°
D．
180°

7．（3分）（2008•黔南州）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为（　　）

A．
πcm2
B．
3πcm2
C．
4πcm2
D．
7πcm2

8．（3分）（2009•泸州）如图，是一个物体的俯视图，它所对应的物体是（　　）

A．

B．

C．

D．

9．（3分）如果一个正数的平方根为x+1和x﹣3，则x的值是（　　）

A．
4
B．
2
C．
1
D．
±2

10．（3分）（2011•古冶区一模）某公司承担了制作600个上海世博会道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了10个，因此提前5天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（　　）

A．
﹣=10
B．
﹣=10
C．
﹣=5
D．
+10=

11．（3分）（2009•南平）如图，点M是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）

A．
1
B．
2
C．
4
D．
不能确定

12．（3分）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（　　）

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个

二、填空题（每小题3，共18分）
13．（3分）（2011•西藏）当x　_________　时，有意义．

14．（3分）（2010•保山）分解因式：3a2b﹣4ab=　_________　．

15．（3分）（2000•河北）已知：如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A=20°，则∠DBE=　_________　度．

16．（3分）（2009•黑河）在英语句子“Wish you success!”（祝你成功！）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率为　_________　．

17．（3分）（2010•保山）某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h=﹣5t2+150t+10表示．经过　_________　s，火箭达到它的最高点．

18．（3分）把2010个边长为1的正方形排成如图所示的图形，则这个图形的周长是　_________　．

三、解答题（请写出必要的文字说明和步骤）
19．（6分）计算：．

20．（6分）解分式方程：．

21．（8分）如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AD=DE，AF⊥DE，垂足为F．
求证：AF=AB．

22．（8分）（2011•湖州三模）2010年4月14日上午7时49分，青海省藏族自治州玉树县发生里氏7.1级地震．某省地震救援队立即赶赴震区进行救援．救援队利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测出点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

23．（8分）（2008•菏泽）振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？

24．（10分）（2006•淮安）小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果．爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于10，纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢；否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下，究竟是哪个队赢．本场比赛特里、纳什各得了多少分？

25．（10分）（2013•郧西县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．
（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF=5，，求⊙O的直径．

26．（10分）（2010•吉安二模）如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）的倒数是（　　）

A．
2011
B．
﹣2011
C．

D．

考点：
倒数．2448894
分析：
根据倒数的定义进行解题．
解答：
解：的倒数是：=1．
故选：A．
点评：
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（3分）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．
ab＜0
B．
b﹣a＞0
C．
a＞b
D．
a+b＞0

考点：
实数与数轴．2448894
分析：
首先根据数轴判断a、b的符号，再按照实数运算的规律判断即可．
解答：
解：由数轴可知，a＜0，b＜0，且a＞b则
A、ab＜0，同号相乘得正，故选项错误；
B、b﹣a=﹣（|b|﹣|a|）＜0，故选项错误；
C、负数离原点近的大，故选项正确；
D、两负数相加得负，即a+b＜0，故选项错误．
故选C．
点评：
本题主要考查了实数中的基本概念和计算．要求掌握这些基本概念并迅速做出判断．

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．
a2﹣a3=a6
B．
（﹣a3）2=﹣a6
C．

D．

考点：
二次根式的乘除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．2448894
分析：
根据幂的乘方法则、负整数指数幂及二次根式的除法法则，分别进行各选项的判断即可．
解答：
解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（﹣a3）2=a6，原式计算错误，故本选项错误；
C、（）﹣1=2，原式计算错误，故本选项错误；
D、÷=，原式计算正确，故本选项正确；
故选D．
点评：
本题考查了二次根式的乘除运算、幂的乘方及负整数指数幂的知识，掌握各部分的运算法则是关键．

4．（3分）（2009•北京）若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（　　）

A．
10
B．
9
C．
8
D．
6

考点：
多边形内角与外角．2448894
分析：
利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
解答：
解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得=40，解得n=9．
故选B．
点评：
本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°．解答这类题往往一些学生因对正多边形的外角和知识不明确，将多边形外角和与内角和相混淆而造成错误计算，误选其它选项．

5．（3分）（2012•铜仁地区）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个

考点：
中心对称图形；轴对称图形．2448894
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：
解：①是轴对称图形，也是中心对称图形；
②是轴对称图形，不是中心对称图形；
③是轴对称图形，也是中心对称图形；
④是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选B．
点评：
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6．（3分）（2009•南平）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（　　）

A．
45°
B．
60°
C．
90°
D．
180°

考点：
余角和补角；对顶角、邻补角．2448894
专题：
计算题．
分析：
由图可知，直角三角形的两个锐角正好是∠1和∠2的对顶角，而直角三角形的两个锐角之和是90°，那么就可得知∠1+∠2的度数．
解答：
解：由图可知，∠1和∠2的对顶角互余，所以∠1+∠2=90°．故选C．
点评：
两个角的和为90°，则这两个角互为余角．

7．（3分）（2008•黔南州）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为（　　）

A．
πcm2
B．
3πcm2
C．
4πcm2
D．
7πcm2

考点：
圆锥的计算．2448894
专题：
压轴题．
分析：
圆锥全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长．
解答：
解：圆锥全面积=π×12+π×1×3=4πcm2，故选C．
点评：
本题考查圆锥的全面积的求法，掌握公式是关键．

8．（3分）（2009•泸州）如图，是一个物体的俯视图，它所对应的物体是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
由三视图判断几何体．2448894
分析：
俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
解答：
解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同．符合这些条件的只有A，故选A．
点评：
本题考查了三视图的概念．本题的关键是要考虑到俯视图中圆的直径与长方形的宽的关系．

9．（3分）如果一个正数的平方根为x+1和x﹣3，则x的值是（　　）

A．
4
B．
2
C．
1
D．
±2

考点：
平方根．2448894
分析：
根据一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出x的值．
解答：
解：由题意得，x+1+x﹣3=0，
解得：x=1．
故选C．
点评：
本题考查了平方根的知识，注意掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

10．（3分）（2011•古冶区一模）某公司承担了制作600个上海世博会道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了10个，因此提前5天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（　　）

A．
﹣=10
B．
﹣=10
C．
﹣=5
D．
+10=

考点：
由实际问题抽象出分式方程．2448894
专题：
应用题．
分析：
关键描述语是：实际平均每天比原计划多制作了10个，根据等量关系列式．
解答：
解：根据题意，原计划每天制作个，实际每天制作个，
由实际平均每天多制作了10个，
可得﹣=10．
故选B．
点评：
此题涉及的公式：工作效率=工作量÷工作时间，解题时找到等量关系是列式的关键．

11．（3分）（2009•南平）如图，点M是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）

A．
1
B．
2
C．
4
D．
不能确定

考点：
反比例函数系数k的几何意义．2448894
专题：
压轴题；动点型．
分析：
可以设出A的坐标，△ABC的面积即可利用A的坐标表示，据此即可求解．
解答：
解：设A的坐标是（m，n），则mn=2．
则AB=m，△ABC的AB边上的高等于n．
则△ABC的面积=mn=1．
故选A．
点评：
本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，△ABC的面积=|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

12．（3分）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（　　）

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个

考点：
等腰三角形的判定．2448894
专题：
应用题；压轴题．
分析：
在火车自左向右运动的过程中，车长BC可以是腰，也可以是底边．所以共有5个等腰三角形．
解答：
解：当车长为底时，AB=AC，
得到的等腰三角形是△ABC；
当车长为腰时，B1C1=C1A，C1A=C1B2，C2A=B3C2，AC2=C2B4，分别得到的等腰三角形是△AB1C1，△AB2C1，
△AB3C2，△AC2B4．
故得到的等腰三角形共有5个．
故选D．

点评：
本题考查了等腰三角形的判定；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．

二、填空题（每小题3，共18分）
13．（3分）（2011•西藏）当x　≠﹣1　时，有意义．

考点：
分式有意义的条件．2448894
专题：
计算题．
分析：
分式要有意义，则分母不能为0．
解答：
解：要使分式的意义，则x+1≠0，
解得x≠﹣1．
点评：
本题主要考查分式有意义的条件，比较简单．

14．（3分）（2010•保山）分解因式：3a2b﹣4ab=　ab（3a﹣4）　．

考点：
因式分解-提公因式法．2448894
分析：
这个多项式有公因式ab，提取公因式整理即可．
解答：
解：3a2b﹣4ab=ab（3a﹣4）．
点评：
本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式、二看公式．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．

15．（3分）（2000•河北）已知：如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A=20°，则∠DBE=　55　度．

考点：
切线的性质；圆周角定理．2448894
专题：
压轴题．
分析：
连接BC，由CD是⊙O的直径知道∠CBD=90°，由AE是⊙O的切线知道∠DBE=∠1，∠2=∠D，又∠1+∠D=90°，即∠1+∠2=90°；而∠A+∠2=∠1，由此即可求出∠1，即求出∠DBE．
解答：
解：如图，连接BC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠DBE=∠1，∠2=∠D；
又∵∠1+∠D=90°，
即∠1+∠2=90°﹣﹣﹣（1），
∠A+∠2=∠1﹣﹣﹣﹣（2），
（1）﹣（2）得∠1=55°
即∠DBE=55°．
故答案为：∠DBE=55°．

点评：
本题考查的是弦切角的性质及圆周角定理，三角形内角与外角的关系，是一道较简单的题目．

16．（3分）（2009•黑河）在英语句子“Wish you success!”（祝你成功！）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率为　　．

考点：
概率公式．2448894
分析：
让“s”的个数除以所有字母的个数即为所求的概率．
解答：
解：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个；故其概率为=．
点评：
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

17．（3分）（2010•保山）某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h=﹣5t2+150t+10表示．经过　15　s，火箭达到它的最高点．

考点：
二次函数的应用．2448894
专题：
压轴题．
分析：
由题意得：当火箭到达最高点时，即h达到最大值，本题可运用完全平方式求得最大值．
解答：
解：当火箭到达最高点时，即h达到最大值．
h=﹣5t2+150t+10
=﹣5（t﹣15）2+1135．
∵﹣5＜0
∴t=15时，h取得最大值，即火箭达到最高点．
故应填15．
点评：
本题考查的是二次函数最大值的求法，这一题可用完全平方式求得．

18．（3分）把2010个边长为1的正方形排成如图所示的图形，则这个图形的周长是　4022　．

考点：
规律型：图形的变化类．2448894
分析：
本题可依次解出n=1，2，3，…，对应的图形的周长，再根据规律以此类推，可得出n=2010时，图形的周长．
解答：
解：∵n=1时，周长为4，即4+0×2；
n=2时，周长为6，即4+1×2；
n=3时，周长为8，即4+2×2；
n=4时，周长为10，即4+3×2；
…；
∴n=2010时，周长为4+2009×2=4022．
故答案为4022．
点评：
此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．

三、解答题（请写出必要的文字说明和步骤）
19．（6分）计算：．

考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．2448894
分析：
分别进行特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简等运算，然后合并即可．
解答：
解：原式=6×﹣1+4﹣3
=3+3﹣3
=3．
点评：
本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简等知识，属于基础题．

20．（6分）解分式方程：．

考点：
解分式方程．2448894
分析：
观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：
解：方程的两边同乘（x﹣2），得
1﹣x+2（x﹣2）=﹣1，
解得：x=2．
检验：把x=2代入（x﹣2）=0，即x=2不是原分式方程的解．
故原方程无解．
点评：
此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．

21．（8分）如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AD=DE，AF⊥DE，垂足为F．
求证：AF=AB．

考点：
矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2448894
专题：
证明题．
分析：
根据已知及矩形的性质利用AAS判定△ADF≌△DEC，从而得到AF=DC，因为DC=AB，所以AF=AB．
解答：
解：∵AF⊥DE．
∴∠AFE=90°．（1分）
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°．
∴∠ADF=∠DEC．（3分）
∴∠AFE=∠C=90°．（4分）
∵AD=DE．
∴△ADF≌△DEC．（7分）
∴AF=DC．
∵DC=AB．
∴AF=AB．（8分）
点评：
此题考查学生对矩形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．

22．（8分）（2011•湖州三模）2010年4月14日上午7时49分，青海省藏族自治州玉树县发生里氏7.1级地震．某省地震救援队立即赶赴震区进行救援．救援队利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测出点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

考点：
解直角三角形的应用．2448894
分析：
过C作AB的垂线CD，分别用CD表示出AD、BD的值，然后根据AB的长度，列方程求得CD的长，即生命所在点C的深度．
解答：
解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D．（1分）
∵探测线与地面的夹角为30°和60°
∴∠CAD=30°，∠CBD=60°（2分）
在Rt△BDC中，
∴（3分）
在Rt△ADC中，
∴（4分）
∵AB=AD﹣BD=3
∴（5分）
∴．（6分）
答：生命所在点C的深度大约为2.6米．（7分）

点评：
本题通过作合理的延长线，形成直角三角形，利用三角函数求得未知量．

23．（8分）（2008•菏泽）振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？

考点：
用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数．2448894
专题：
应用题；压轴题；图表型．
分析：
（1）设一份是x，根据题意列方程求解；
（2）众数即数据中出现次数最多的数据25，中位数应是第39个和第40个的平均数；
（3）首先计算样本平均数，再进一步估计全校学生捐款数．
解答：
解：（1）设捐款30元的有6x人，则8x+6x=42．
∴x=3．
∴捐款人数共有：3x+4x+5x+8x+6x=78（人）．

（2）由图象可知：众数为25（元）；由于本组数据的个数为78，按大小顺序
排列处于中间位置的两个数都是25（元），故中位数为25（元）．

（3）全校共捐款：
（9×10+12×15+15×20+24×25+18×30）×=34200（元）．
点评：
本题是一道把统计知识与实际生活中的问题联系起来的应用题，以考查学生处理数据的能力，使学生初步体会统计知识与生活、社会和科技的联系，感受数学应用的意义．培养学生自觉应用数学知识解决实际问题的能力．

24．（10分）（2006•淮安）小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果．爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于10，纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢；否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下，究竟是哪个队赢．本场比赛特里、纳什各得了多少分？

考点：
一元一次不等式组的应用．2448894
分析：
关键描述语是：特里得分的两倍与纳什得分的差大于10，纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．不等关系为：特里得分×2﹣纳什得分＞10；纳什得分×2＞特里得分×3．根据这两个不等关系就可以列出不等式组，从而求解．
解答：
解：设本场比赛特里得了x分，则纳什得了（x+12）分，根据题意，得．
解得22＜x＜24．
因为x为整数，故x=23，23+12=35．
23＞20．
答：小牛队赢了，特里得了23分，纳什得了35分．
点评：
解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等式组．并且要注意未知数的取值是正整数．

25．（10分）（2013•郧西县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．
（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF=5，，求⊙O的直径．

考点：
切线的判定；解直角三角形．2448894
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OB、OA或连接BD，由AB=AC，则∠ABC=∠C，由AF=AE，则∠EBA=∠FBA，从而得出∠ABD+∠FBA=90°，即OB⊥BF，
则BF是⊙O切线；
（2）由（1）得∠C=∠D，再由，得=，则=，从而求出BD．
解答：
证明：（1）BF与⊙O相切，连接OB、OA，连接BD（1分），
∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，
∴BD是直径，∴BD过圆心
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
∵AD⊥AB，
∴∠ABD+∠D=90°，
∵AF=AE，
∴∠EBA=∠FBA，
∴∠ABD+∠FBA=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O切线（4分）；

（2）∵∠C=∠D，，
∴cos∠D=，
∵BF=5，
∴=，
∴=，
∴BD=×5=，
∴直径为（8分）．

点评：
本题考查了切线的判定和解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．

26．（10分）（2010•吉安二模）如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

考点：
二次函数综合题；两点间的距离公式；相似三角形的判定与性质．2448894
专题：
综合题；压轴题；分类讨论．
分析：
（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值．
（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形A A′B′B一定为平行四边形，若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AB=BB′，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
（3）易求得直线AB′的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到C点的坐标，进而可求出AB、BC、AC、B′C的长；在（2）题中已经证得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′对应，若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：①∠B′CD=∠ABC，此时△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此时△B′DC∽△ABC；
根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，进而可求得D点的坐标．
解答：
解：（1）由于抛物线经过A （﹣2，4）和点B （1，0），则有：
，解得；
故m=﹣，n=4．

（2）由（1）得：y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+1）2+；
由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB==5；
若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=﹣（x+1﹣5）2+=﹣（x﹣4）2+．

（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；
∵A（﹣2，4），B′（6，0），
∴直线AB′：y=﹣x+3；
当x=4时，y=1，故C（4，1）；
所以：AC=3，B′C=，BC=；
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：
，即，B′D=3，
此时D（3，0）；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：
，即，B′D=，
此时D（，0）；
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（，0）．

点评：
此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识；（3）题中，在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．

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