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第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
1. 设函数的定义域为，则集合与相等吗？请说明理由。
2. 已知一个函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数。
3. 对于任意的,若函数，试比较与的大小关系。
4. 已知定义在实数集上的函数满足条件：对于任意的，，求证：
1) ；
2) 是奇函数。
你能举出几个满足上述条件的函数吗？
（必修2）立体几何初步变式题
1、（必修2 P.60 习题1.3 第9题）
变题 如图是一个几何体的三视图（单位：cm）
（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；
（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；
（Ⅲ）设异面直线与所成的角为，求．
俯视图
正视图
侧视图
解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．
（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．
由于底面的高为1，所以．
故所求全面积
．
这个几何体的体积
（Ⅲ）因为，所以与所成的角是．
在中，，
故．
2、（必修2 P.18 习题1.1 第7题）
变题 如图，已知几何体的三视图（单位：cm）．
（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；
（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；
（Ⅲ）设异面直线、所成角为，求．
解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．
俯视图
正视图
侧视图
（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．
由，，
可得．
故所求几何体的全面积
所求几何体的体积
（Ⅲ）由，且，可知，
故为异面直线、所成的角（或其补角）．
由题设知，，
取中点，则，且，
．
由余弦定理，得
3、（必修2 P.48 习题1.2(3) 第8题）
变题 如图，已知、分别是正方体的棱和棱的中点．
（Ⅰ）试判断四边形的形状；
（Ⅱ）求证：平面平面．
解（Ⅰ）如图，取的中点，连结、．
∵、分别是和的中点，
∴，
在正方体中，有
， ∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
又、分别是、的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故．
∴四边形是平行四边形．
又≌，
∴，
故四边形为菱形．
（Ⅱ）连结、、． ∵四边形为菱形，
∴．
在正方体中，有
，
∴平面．
又平面，
∴．
又，
∴平面．
又平面，
故平面平面
4、（必修2 P.38 习题1.2(2) 第6题）
变题 如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值．
解：（Ⅰ）如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．
∴．
设，则．
∵，∴．
∴，∴，．
又，
∴且．
∴且．
∴且．∴平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，又，
∴．
∴与平面所成角的正弦值为．
5、（必修2 P.47 练习 第4题）
变题1如图，已知平面，
且是垂足．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．
解（Ⅰ）因为，所以．同理．
又，故平面．
（Ⅱ）设与平面的交点为，连结、．
因为平面，所以，
所以是二面角的平面角．
又，所以，即．
在平面四边形中，，
所以．
故平面平面．
变题2 如图，已知直二面角，与平面、所成的角都为，．
为垂足，为垂足．
（Ⅰ）求直线与所成角的大小；
（Ⅱ）求四面体的体积．
解：（Ⅰ）如图，在平面内，作，连结、．则四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角（或其补角）．
因为．
所以．同理．
又与平面、所成角为，所以，，所以，．
在中，，从而．
因为，且为平行四边形，
所以．
又，所以．
故平面，从而．
在中，．
所以，
即直线与所成角的大小为．
（Ⅱ）在中，，所以．
三角形的面积，
故四面体的体积
．
6、（必修2 P.53 练习 第4题）
变题 如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
解（Ⅰ）在中，，
在中，，
∵，
∴．
∵平面平面，且交线为，
∴平面．
∵平面，
∴．
（Ⅱ）设与相交于点，由（Ⅰ）知，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，且交线为，
如图，作，垂足为，则平面，
连结，则是直线与平面所成的角．
由平面几何的知识可知，∴．
在中，，
在中，，可求得．
∴．
∴直线与平面所成的角的正弦值为．
7、（必修2 P.38 习题1.2（2） 第5题）
变题 如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。
（Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；
（Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。
解：（１）
故。所以。
又.
故
在△，即.
故当时，直线。
（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.
可推测的中点即为所求的点。
因为，所以
又,故。
从而
8、（必修2 P.47 习题1.2（3） 第7题）
变题 在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.
(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C ∴AD⊥CC1.
(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N
∵AM=MA1，∴NA1=A1B1
∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.
过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C
∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.
∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面
∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE
∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点
∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1.
9、（必修2 P.38 习题1.2（2） 第11题）
变题 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，
点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC1；
（II）求证：AC 1//平面CDB1；
（III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．
（I）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（II）证明：设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，
∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；
（III）解：∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，
在△CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2，
∴ ，
∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.
10、（必修2 P.65 复习题 第14题）
变题 如图，O，P分别是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面中心，E是AB的中点，AB=kAA1，
(Ⅰ)求证：A1E∥平面PBC；
（Ⅱ）当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
(Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
A1
D1
C1
B1
D1
P
O
C1
B1
A1
O
C
B
A
E
(Ⅰ) 过P作MN∥B1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N A1B1、D1C1的中点，连MB，NC由四边形BCNM是平行四边形，
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
(Ⅱ) 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，
∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，
设AA1=a，则AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=
所以，直线AP与平面PBC所成的角正弦值是sin。
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC
所以k=。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心
（必修2）平面解析几何初步变式题
1.（必修2 P.72 练习 第1题）
变式1：已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
解：∵，∴，∵，∴，故选（C）.
变式2：（2006年北京卷）若三点共线，则的值等于 .
解：∵、、三点共线，∴，∴，∴，∴.
变式3：已知点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.
解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，依题意有，∴，∴，∴或.由，得，∴，∴，∴直线的斜率为.
2.（必修2 P.77 练习 第3题）
变式1：直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）
A. B. C. D.
解：令得，∴直线在轴上的截距为；令得，∴直线在轴上的截距为，故选（B）.
变式2：过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .
解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为或，即或.
变式3：直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.
解：依题意，直线的斜率为±1，∴直线的方程为或，即或.
3.（必修2 P.97 第11题）
变式1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .
解：设所求直线方程为，依题意有，
∴（无解）或，解得或.
∴直线的方程是或.
变式2：（2006年上海春季卷）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则△OAB面积的最小值为 .
解：设直线的方程为，
则，当且仅当即时取等号，∴当时，有最小值4.
变式3：已知射线和点，在射线上求一点，使直线与及轴围成的三角形面积最小.
解：设，则直线的方程为.令得，∴
，当且仅当即时取等号，∴当为（2，8）时，三角形面积最小.
4.（必修2 P.81例题2）
变式1：（2005年全国卷）已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）
A.0 B.-8 C.2 D.10
解：依题意有，解得，故选（B）.
变式2：与直线平行，且距离等于的直线方程是 .
解：设所求直线方程为，则，解得或，∴直线方程为或.
变式3：已知三条直线不能构成三角形，求实数的取值集合.
解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故或或，∴实数的取值集合是.
5.（必修2 P.87习题2.1(2)第6题）
变式1：（1987年上海卷）若直线与直线平行但不重合，则等于（ ）
A.-1或2 B.-1 C.2 D.
解：∵，∴且，∴且，解得，故选（B）.
变式2：（2005年北京春季卷）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解：由或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要条件，故选（B）.
变式3：设直线与圆相交于点、两点，为坐标原点，且，求的值.
解：∵圆经过原点，且，∴是圆的直径，∴圆心（1，-2）在直线上，∴.
6.（必修2 P.91 例题2）
变式1：已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.∵，∴，∵的中点为（1，1），∴直线的方程是即，故选（B）.
变式2：已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是 .
解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为.
变式3：求点关于直线的对称点的坐标.
解：设.由，且的中点在直线上，得，解得，∴.
7.（必修2 P.97习题2.1(3)第14题）
光线自点射到点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程.
变式1：一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的方程是 .
解：依题意得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为，即.由反射光线与圆相切得，解得或，∴反射光线所在直线的方程是或，即或.
变式2：（2003年全国卷）已知长方形的四个顶点、、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）.设的坐标为.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：用特例法，取，则、、、分别为、、、的中点，此时.依题意，包含的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）.
变式3：已知点，在直线上求一点P，使最小.
解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.
设，则，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得，∴.
8.（必修2 P.104例题2）
变式1：（2006年重庆卷）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或，故选（A）.
变式2：（2006年湖北卷）已知直线与圆相切，则的值为 .
解：∵圆的圆心为（1，0），半径为1，∴，解得或.
变式3：求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.
解：设所求圆的方程为，则，
解得或，∴圆的方程为或.
9.（必修2 P.105例题3）
变式1：（1999年全国卷）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为，故选（C）.
变式2：（2006年天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则 .
解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.
变式3：已知圆，直线.
（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.
解：（1）∵直线恒过定点，且，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.
（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，∴所求直线的方程为即.
10.（必修2 P.106练习 第2题）
变式1：（2006年安徽卷）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：依题意有，解得.∵，∴，故选（A）.
变式2：（2006年湖北卷）若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .
解：依题意有，解得，∴的取值范围是.
变式3：若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.
解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.
11.（必修2 P.107练习1）
变式1：（1995年全国卷）圆和圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交，故选（C）.
变式2：若圆与圆相切，则实数的取值集合是 .
解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.
变式3：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.
解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.∵两圆外切于点，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.
12.（必修2 P.108习题2.2(2)第8题）
变式1：（2006年湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）
A.36 B.18 C. D.
解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是，故选（C）.
变式2：已知，，点在圆上运动，则的最小值是 .
解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.
变式3：已知点在圆上运动.
（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.
解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.
（2）设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.
13.（必修2 P.117 复习题15）
变式1：（2006年四川卷）已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（ ）
A. B. C. D.
解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，故选（B）.
变式2：（2004年全国卷）由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是 .
解：设.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.
变式3：（2003年北京春季卷）设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.
解：设动点的坐标为.由，得，
化简得.
当时，化简得，整理得；
当时，化简得.
所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
当时，点的轨迹是轴.
14.（必修2 P.118 复习题 第25题）
已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
变式1：已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
解：设.∵，∴，
∴，∴.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是，故选（C）.
变式2：已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是 .
解：设.∵是的平分线，∴， ∴.由变式1可得点的轨迹方程是.
变式3：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.
解：设，的中点为.∵是平行四边形，∴是的中点，∴点的坐标为，且.∵直线经过定点，∴，∴，化简得.∴点的轨迹方程是.
15.（必修2 P.99 例题1）
变式1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低
时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01）
解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.
∵圆经过点（10，0），（0，4），∴，解得.
∴圆的方程是. 令，得.
故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.
变式2：据气象台预报：在城正东方300的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约
，台风将影响城，持续时间约为 .（结果精确到0.1）
解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是，受台风影响的区域边界的曲线方程是.
依题意有，解得.
∴.
∴从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.6.
变式3：有一种商品，、两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费地是地的3倍.已知、两地的距离是10，顾客购买这种商品选择地或地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.
解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，.设是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为元，则，∴，化简得.∴、两地售货区域的分界线是以为圆心，为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货，在曲线外的居民选择去地购货，在曲线上的居民去、两地购货均可.
必修3
算法
1.画出的流程图，并写出伪代码。
2.画出的流程图，并写出伪代码。
3.设计一个计算10个数的平均数的算法。
4.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为
㈠
输入
输出
其中（单位：）为行李的重量．
试给出计算费用（单位：元）的一个算法，并画出流程图．
5.设计一个求任意数的绝对值的算法的流程图，则（一）处应填__________.
6. ．写出求（共有6个2）的值的一个算法，并画出流程图
7. 将50个学生中成绩不低于80分的学生的学号和成绩打印出来.
While S≤10000
End While
Print
End
8. 已知一列数，，，…，，…且，，（），这个数列叫做斐波那契数列．写出求该数列第10个数的一个算法，并画出流程图．
9. 我国的国民生产总值近几年来一直以不低于的年增长率增长，照此速度，最多只需经过几年我国的国民生产总值就可以翻一番？写出一个算法，并画出流程图．
10. 写出输入两个数a和b，将较大的数打印出来的算法，写出伪代码，并画出流程图
11. 试用算法语句表示：______________________的算法．
12. 用秦九韶算法计算多项式，当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是 ， ．
13. 2．下面的程序运行的结果是 ．
S←0
For I from 1 to 11 step 2
S←2S+3
If S>20 then
S←S-20
End If
End For
Print S
N←0
I←0
While I<30
I←(I+1)*(I+1)
N←N+1
End While
Print N
14．右面的伪代码输出的结果是（ ）．
A 3 B 5 C 9 D 13
End
15. 求两个正数8251和6105的最大公约数．
16. 写出用区间二分法求解方程在区间内的一个近似解（误差不超过0.001）的一个算法．
17. 阅读下列伪代码，并指出当时的计算结果：
（1）read a, b (2) read a, b (3) read a, b
X←a+b a←a+b a←a+b
y←a-b b←a-b b←a-b
a←(x+y)/2 a←(a+b)/2 a←(a-b)/2
b←(x-y)/2 b←(a-b)/2 b←(a+b)/2
Print a, b Print a, b Print a, b
a=____,b___ a=____,b___ a=____,b_____
统计
1、为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为40的样本，检测结果为一等品8件，二等品18件，三等品12件，次品2件。
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频数分步条形图；
(3)估计这种产品为二等品或三等品的概率。
2、下面是一次考试结果的频数分布直方图，请据此估计这次考试的平均分。
概率
1、一只口袋装有形状、大小都相同的6只小球，其中有2只白球，2只红球和2只黄球。从中一次随机摸出2只球，试求：
（1）2只球都是红球的概率；
（2）2只球同色的概率；
（3）“恰有1只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的多少倍。
2、一年按365天计算，2名同学在同一天过生日的概率为____________
3、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马优于齐王的下等马。现各出上、中、下等马各一匹分组进行一场比赛，胜两场以上即为获胜。如双方均不知对方马的出场顺序，试求田忌获胜的概率。
4、设有一个正方形网格，其中每个最小的正方形的边长都等于6cm。现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率。
5、（1）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率；
（2）在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率。
6、将扑克牌四种花色A，K，Q共12张，洗匀。
（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都是A的概率；
（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率。
7、某种彩票是由7位数字组成，每位数字均为0~9这10个数码中的任意一个。由摇号得出一个7位数（首位可能为0）为中奖号，如果某张彩票的7位数与中奖号相同即得一等奖；若有6位数与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖；若有5位数与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖；各奖不可兼得。某人一次买了10张不同号码的彩票。
（1）求其获得一等奖的概率；
（2）求其获得三等奖及以上奖的概率。
8、用计算机随机产生的有序二元数组（x,y）,满足，，对每个有序二元数组（x,y），用计算机计算的值，记A为事件“”。试求事件A发生的概率。
9、一次口试，每位考生要在8道题中随机抽出2道题回答，若答对其中1道题即为及格。
（1）现有某位考生会答8道题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？
（2）如果一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会其中中的几道题？
10、国家安全机机关用监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min长的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息。后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处往后的所有内容都被擦掉了。那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
11、两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2：1时比赛因故终止。有人提出按`2：1分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？
第一章 三角函数
1、（P11 ex10）已知，角对称，求角的的集合。
2、（P11 ex12）设是第一象限角，试探究：
（1）一定不是第几象限的角？
（2）是第几象限的角？
变式：的终边的区域是什么？如何表示？
3、（P11 ex13）若扇形的周长这定值，则该扇形的圆心角这多大时，扇形的面积最大？
4、（P23 Ex1）已知
5、（P23 ex4）分别根据下列条件求函数
的值
（1） （2）
6、（P23 ex6）根据下列条件，确定是第几象限角或哪个坐标轴上？
（1） （2）
（3） （4）
7、（P24 ex9）（1）设；
（2）设。
变式：设，求的值。
8、（P24 ex10.2）为第四象限角。
9、（P24 ex15）已知的值。
10、（P24 ex16）若角的终边经过点的值。
11、（P24 ex18）（1）已知的值；
（2）已知的值。
变式：已知，求的值．
解：∵ ，
∴
即
∴ 当时，；
当时，．
12、（P42 ex5）一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为作为时间 的函数，满足关系．
求：（1）最初时的值是多少？
（2）单摆摆动的频率是多少？
（3）经过多长时间单摆完成5次完整摆动？
13、（P42 ex6）画出函数的简图，并指出它可由函数的图象经过哪些变换得到，画出图象变换流程图。
变式：画出函数的图象。
14、（P43 例2）一半径为３ｍ的水轮如图所示，水轮圆心Ｏ距离水面２ｍ，已知水轮每分钟转动４圈，如果当水轮上点Ｐ从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（１）将点Ｐ距离水面的高度ｚ（ｍ）表示为时间ｔ（ｓ）的函数；
（２）点Ｐ第一次到达最高点大约要多长时间？
15、（P44 例3）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深
（１）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
（２）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4ｍ，安全条例规定至少要有1.5ｍ的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（３）若船的吃水深度为４ｍ，安全间隙为1.5ｍ，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3ｍ的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
16、（P46 ex11）如图，摩天轮的半径为40ｍ，点Ｏ距地面的高度为50ｍ，摩天轮做匀速转动，每３min转一圈，摩天轮上的点Ｐ的起始位置在最低点处．
（１）试确定在时刻t（min）时点Ｐ距离地面的高度；
（２）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点Ｐ距离地面超过70m？
17、（P49 ex12）求下列函数的单调区间；
（1）； （2）； （3）。
变式：（1）求上的单调区间；
（2）求的单调增区间。
18、（P50 ex18）设函数最高点Ｄ的坐标为．由最高点运动到相邻的最低点时，函数曲线与ｘ轴的交点为．
（１）求Ａ，ω和φ的值；
（２）求出该函数的频率和单调区间
第二章 平面向量
1、（书P62例2）在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
解：设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际过江的速度，
因为，所以四边形ABCD为平行四边形，
在Rt⊿ACD中，∠ACD=90°，
所以∠CAD=30°。
答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为被偏西30°。
2、（书P67例4）⊿OAB中，C为直线AB上一点， 。
求证：.
证明：因为
又
所以
即
又因为
即
所以
3、（书P68习题7）已知是两个不共线的向量，，若与是共线的向量，求实数的值.
答案：
4、（书P69习题9）设点P、Q是线段AB的三等分点，若，试用表示向量、.
解：因为所以
。
5、（书P69习题11）求证：当两个向量不共线时，
（1）
（2）
提示：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
6、(书P74例3)已知P是直线上一点，且，求点P的坐标.
解：设，则
由得
得到因为
所以
因此，P点坐标为。
当时，就得到线段的中点的坐标公式。
7、（书P76例4）已知，当实数为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向.
解：
由向量平行的条件可得
所以，此时
8、（书P77习题9）已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若点P满足，当为何值时，（1）点P在第一、三象限角平分线上？（2）点P在第四象限内？
解：设，由题意知
因为，所以
可得
（1） P在第一、三象限角平分线上，则
（2） P在第四象限，则，所以。
9、（书P77习题12）已知⊿ABC三个顶点为，求证：
（1）⊿ABC的三条中线交于点
（2）。
证明：由题知G为⊿ABC的重心，设D为AC的中点，故G分BD的比为2
因为点D的坐标为
所以
。
（2）
所以
10、（书P81例4）在⊿ABC中，设且⊿ABC是直角三角形，求k的值。
10、解：若∠A=90°，则，于是，
解得
若∠B=90°，则，又
故得
解得
若∠C=90°，则，故
解得；
所求k的值为或或。
11、（书P83习题5）求证：，如何构造一个图形解释这个公式的几何意义？
证明：左=
==右
其几何意义是：平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。
12、（书P83习题10）设若与的夹角为钝角，求x的范围。
解：
因为为钝角，所以则
所以。
13、（书P85习题2）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东流速为。若此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度。
解：南偏东30°，。
14、（书P86习题3）已知两点试用向量的方法证明以线段AB为直径的圆的方程为。
解：任取圆上点，则，即。
15、（书P86习题7）已知向量满足条件，且，求证：⊿ABC是正三角形。
证明：设OA，OB，OC的长为1，则
所以，即，同理，
所以⊿ABC是正三角形。
16、（书P89习题6）设A，B，C，D为平面内四点，A点坐标为（2，1），B点坐
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