从高考试题看三角恒等变换中的目标意识.doc

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盯目标 找差异 寻联系 善转化
——从高考试题看三角恒等变换中的目标意识
江苏省泰兴中学　吴卫东 黄永健
在美国著名数学教育家波利亚所著的《怎样解题》一书中，有这样一句话：“看着终点，记住你的目的，勿忘你的目标，想着你希望得到的东西”．也即在解题时，要有目标意识，紧扣解题目标，进行有目的的变形．下面就以近几年的高考试题为例来谈谈目标意识在三角恒等变换中的重要作用．
1．凑角入手，以建立角之间的联系为目标．
在三角恒等变换中，首当其冲的变换应该是角的变换，所有的恒等变形都应当以角的变换为前提．
例1　（2005年高考江苏卷第10题）若求的值．
分析　注意到目标角与条件角的关系：，就能把目标式中的角用条件式中的
角来表示．
解　

反思　角的变换方式很多，一定要紧盯住目标，通过求角的和、差以出现特
殊角，寻找互余、互补、半角、倍角关系，将已知角与待求角之间发生联系，然后选择相应的三角公式进行变形．
2．变换名称，以消除函数名称的差异为目标．
在三角化简、求值、证明中，表达式里往往会出现较多的函数名称，在此情况下常常需要化异名函数为同名函数，常见的转化方式有切割化弦和齐次弦化切．
例2　（2007年高考江苏卷第11题）若，求值：．
分析　注意到目标式可化为，发现需要用两角和与差
的余弦公式将条件中的两个式子展开，将和作为整体看成是两个未知数即可得解．
解　

由（1）+（2）再除以2得
由（2）－（1）式再除以2得
所以
反思　一般地，如果一个三角表达式中出现多个三角函数名称，则将不同的
函数名称利用诱导公式或同角的三角函数关系式等化为同一函数名称，从而找到解题的切入点是三角恒等变换的一个重要的转化方式．
3．调整结构，以消除三角式结构上的差异为目标．
三角表达式的结构多种多样：次数的高与低、和与积的运算、分式与整式、无理式与有理式、常数与三角函数值、各项的合理组合与分拆等等．分析、明确这些结构上的差异，进而设法消除这些差异的思路，为我们提供了三角恒等变换的又一个有力途径．
例3　（2006年高考江苏卷第14题）
求值：．
分析　首先进行切化弦的变换，注意到等，进行通分将分式
化成整式研究，提取公因式后使用辅助角公式，出现能相约的项后得
解

反思　三角恒等变换的种类多，方法活，但它们之间并不相互独立，在对条
件和结论的结构进行变换的过程中，结合“角与名的变换”，那么结构的调整常常可以，起到意想不到的效果．
总之，三角变换基本的变换思路是：一角二名三结构．即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变形，角的变换是三角恒等变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常”切化弦”等；第三观察三角式的结构特点．这样我们就容易理清解题思维方向，选择恰当的三角公式进行有目的的三角恒等变换了．