中考难解试题.doc

中考难解题
作者：dickn

2008年福建永春县初中学业数学试题
（13分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于B、C两点．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）直线与直线交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒（即OP = t）.过点P作PQ∥轴交直线BC于点Q．
① 若点P在线段OA上运动时（如图1），过P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S ，写出S和t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

O
C
B
A
P
Q
图（1）
M
N

② 若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t为何值时,过P、Q、O三点的圆与轴相切.

O
C
B
A
备用图

（1） B（12，0） C（0，6） 4分
（2）①点P在y = x上，OP = t， 点P坐标（t/2, t/2） 点Q坐标/2)
/2 /2 6分
8分
当时，S的最大值为12 9分
②、若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，过P、Q、O三点的圆与轴相切，则圆心在轴上，且轴垂直平分PQ 11分
∴∠POC＝45° ∴∠QOC＝45° ∴/2 13分

2008莆田市初中毕业升学数学试卷
（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线的对称轴为）
（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)
因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3
所以抛物线解析式为
解法二：设抛物线的解析式为，
依题意得：c=4且 解得
所以 所求的抛物线的解析式为

（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
即
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为
所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称
连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小
过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900
DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO
即
所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为
则 由此得
所以直线AQ的解析式为 联立
由此得 所以M
则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。
2008年芜湖市初中毕业学业考试
（本小题满分15分）
如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
(1) 求C点坐标及直线BC的解析式;
(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;
(3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．
解:

（本小题满分15分）
解： （1）
过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：
△ABO∽△ACD， ∴．
由已知，可知： ．
∴．∴C点坐标为． 2分
直线BC的解析是为：
化简得： 3分
（2）设抛物线解析式为，由题意得： ，
解得：
∴解得抛物线解析式为或．
又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为 5分
（准确画出函数图象） 7分
（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上． 8分
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中，，
∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为 10分
同理可求得直线与y轴交点坐标为 11分
∴两直线解析式；．
根据题意列出方程组： ⑴；⑵
∴解得：；；；
∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，， 15分
[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]
湖北省咸宁市2008年初中毕业生学业考试
（本题(1)～(3)小题满分12分，(4)小题为附加题另外附加2分）

如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；
(第24题图①)

（第24题图②）

(3) 在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
(1) 附加题：（如果有时间，还可以继续
解答下面问题，祝你成功！）
如果点P、Q保持原速度速度不
变，当点P沿A→B→C→D匀
速运动时，OP与PQ能否相等，
若能，写出所有符合条件的t的
值；若不能，请说明理由．

解：

（1）(1,0) ----------------------------------------------------------------------------------1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度．----------------------------------------------3分
(2) 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，.
∴.
在Rt△AFB中，.-----------------------------------------------5分
过点作⊥轴于点,与的延长线交于点.
∵ ∴△ABF≌△BCH.
∴.
∴.
∴所求C点的坐标为（14，12）.------------7分
(3) 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，
则△APM∽△ABF.
∴. .
∴. ∴.
设△OPQ的面积为(平方单位)
∴(0≤≤10) --------------------10分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
∵<0 ∴当时, △OPQ的面积最大.------------------11分
此时P的坐标为(，) . ---------------------------------------------------12分
(4) 当 或时, OP与PQ相等.-----------------------------------------14分
对一个加1分,不需写求解过程.
（10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A、B、C且OA＝1，OB＝OC＝3 ．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）写出顶点坐标和对称轴方程．
（3）点M、N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边)，且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．

永州市2008年初中毕业学业考试试卷
（1）依题意分别代入 1分
解方程组得所求解析式为 4分
（2） 5分
顶点坐标，对称轴 7分
（3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为 8分
把点代入得 9分
同理可得另一种情形
圆的半径为或

26.（本小题满分12分）
如图，直线经过点，且与轴交于点，将抛物线沿轴作左右平移，记平移后的抛物线为，其顶点为．
（1）求的度数；
（2）抛物线与轴交于点，与直线交于两点，其中一个交点为，当线段轴时，求平移后的抛物线对应的函数关系式；
（3）在抛物线平移过程中，将沿直线翻折得到，点能否落在抛物线上？如能，求出此时抛物线顶点的坐标；如不能，说明理由．
第27题图
A
O
B
y
x

备用图
A
O
B
y
x

盐城市二○○八年高中阶段教育招生统一考试
解：(1)∵点B在直线AB上,求得b=3,
∴直线AB：,
∴A（，0），即OA=．
作BH⊥x轴，垂足为H．则BH=2，OH=，AH=．
∴ ．　
(2)设抛物线C顶点P（t，0），则抛物线C：，　
∴E（0，）
∵EF∥x轴，∴点E、F关于抛物线C的对称轴对称, ∴F（2t，）．
∵点F在直线AB上,
∴抛物线C为.
(3)假设点D落在抛物线C上，
不妨设此时抛物线顶点P(t，0)，则抛物线C:，AP=+ t，
连接DP，作DM⊥x轴，垂足为M．由已知，得△PAB≌△DAB，
又∠BAO＝30°，∴△PAD为等边三角形．PM=AM＝，
∴

∵点D落在抛物线C上，
∴
当时，此时点P，点P与点A重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．所以点P为（，0）
∴当点D落在抛物线C上顶点P为（，0）.　
　　（本题满分12分）已知抛物线，函数
问：（1）如图11，当抛物线与函数
相切于AB两点时，、满足的关系？
（2）满足（1）题条件，则三角形AOB的面积为多少？
（3）满足条件（2），则三角形AOB的内心与抛物线的
最低点间的距离为多少？
（4）若不等式>在实数范围内恒成立，则
、满足什么关系？

五、综合题（本大题共两小题，每小题各13分，总分26分，请在答题时应注意解答过程，证明以及演算的必要步骤）
21．（本题满分13分）已知抛物线，与抛物线交于A、B两点，AB两点所在的直线为，的半径为2。
（1）当时，抛物线上存在一动点C，则随着C点的向上运动，三角形ABC面积不断增加，问三角形ABC面积每秒的增加量是什么？
友情提醒：C点的速度为
（2）存在一点D在劣弧AB上运动（不与A、B重合）设D（，），问抛物线上是否存在点E使得三角形ABD与三角形ABE的面积相等，若存在，求出点E，若不存在，请说明理由。
（3）F（m，n）(m＞0)是抛物线上的点，OF⊥FG，G（）(a＞m). △O FG
的面积为，且. 是不大于40的整数，求OP2的最小值.
（4）在抛物线上取两点J、K，，连结OJ、JK、OK，使得角OKJ=60°，再
以OK、OJ、JK分别作等边三角形OKL、OJM、OKN，请你求出经过M、N、L三点的抛

O
A B

O
A B

O
A B
备用图
物线的解析式。

数学试题 第6页（共7页）
22．（本题满分13分）
如图12，连结的各边中点得到一个新的又连结的各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：，，，，

图13

图14

图15

已知
（1）求这一系列三角形趋向于一个点M
的坐标；
（2）如图13，分别求出经过三点的
抛物线解析式和经过三点的抛物线
解析式；
（3）设两抛物线的交点分别为、，连结
、、、、、，
问：与的关系是什么？
（4）如图14，问：四点可不可
能在同一条抛物线上，试说明理由。

数学试题 第7页（共7页）

厦门市2006年初中毕业和高中各类学校招生统一考试数学考试
（大纲版）参考答案与评分标准

（满分13分）正方形OCED与扇形OAB有公共顶点0,分别以OA,0B所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.如图9所示.正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上
移动.设OC=x,OA=3
(1)当x=1时，正方形与扇形不重合的面积是 ；
此时直线CD对应的函数关系式是 ；
(2)当直线CD与扇形OAB相切时．求直线CD对应的
函数关系式；
(3)当正方形有顶点恰好落在上时．求正方形与扇形
不重合的面积.
23.（满分13分）对于任意两个二次函数:y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,(a1a2≠0),当|a1|=|a2|
时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线．
现有△ABM,A(- l,O)，B(1,0)．记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母)
(1)若已知M(0,1)，△ABM≌△ABN(10-l)．请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线；
(2)在图10-2中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．
①若已知 M(0, л)，求抛物线CABM的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式．
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时，存在抛物线CABM?根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线，若存在，请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”；若不存在，请说明理由，

(10分)如图9，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足　　　∠为直角,且恰使△∽△.
(1)(3分)求线段的长.
解：

(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．
解：

(3)(4分)在轴上是否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：

22．(10分)如图10-1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， ⊙交轴于 两点，交轴于两点，且为的中点，交轴于点，若点的坐标为（－2，0），
(1)(3分)求点的坐标.
解：
(2)(3分)连结，求证：∥
证明：

(3)(４分) 如图10-2，过点作⊙的切线，交轴于点.动点在⊙的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.
解：

深圳市2006年初中毕业生学业考试参考答案
1）；（2）；（3）4个点：

22、 （1）（0，4）；（2）提示，求OG的长，并得到OG：OC=OM：OB；（3）3/5