高一数学兴趣小组讲义（等差数列与基本不等式）老师.doc

高一数学兴趣小组讲义：基本不等式与等差数列

（一）基本不等式部分
1．已知，则有最小值 ．
2．若直角三角形的周长为，则它的最大面积为 ．
3．已知，则的最小值为 ．
4．已知，则的最小值是 ．
5．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 ．

6．（1）已知x、y为正实数，且，求x+y的最小值。

（2） 已知，且，求的最大值．

例1．下列函数的最小值为2的是_____________(填序号)

例2． (1) 已知＞0,＞0，且,求的最小值．

（2）求的最小值．

（3）∈R+，,的最小值是 .

例3.（1）若∈(0,+∞)且，求的最小值.

（2）若∈(0,+∞) 且 ,求的取值范围.

（二）数列部分
1．在等差数列中，若，则 6
2．已知等差数列中，则前10项的和为__155
3．设等差数列的前项和为，若，，则 45

4．已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_________．18

5．在等差数列中，公差，则使前项和取得最大值的自然数是 .5、6
6．（1）等差数列中，若，求的值；
（2）在等差数列中，，求.
答：30；100

例1．已知等差数列
（Ⅰ）当n为何值时，Sn最小？
（Ⅱ）当n为何值时，
（Ⅲ）
答：（Ⅰ）5
（Ⅱ）时；时；时
（Ⅲ）15

例2．设等差数列的前项和为且．
（1）求数列的通项公式及前项和公式；
（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 ……………………2分
即解得……………………4分.故. ………6分
（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，……8分.整理得， …………… 11分
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.
故存在正整数t，使得成等差数列. ………………… 15分

例3.已知数列中，，，数列满足
；
（1） 求证：数列是等差数列；
（2） 求数列中的最大值和最小值，并说明理由．

解．(1),而,
∴,；故数列是首项为，公差为1的等差数列；（2）由（1）得，则；设函数，则，∴函数在和上均为减函数，当时，；当时，；且，当趋向于时，接近1，∴，．

例4．已知数列中，且；
（1）求的值；
★（2）是否存在实数，使得数列为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解：（1），
（2）方法一： 假设存在实数，使得数列为等差数列，设
由为等差数列，则有，
，解得；
事实上时，∵1，∴=，
∴；
∴存在实数，使得数列是首项为2、公差为1的等差数列．
方法二：假设存在实数，使得数列为等差数列，设
则由为等差数列得，∵1，
，
∴存在实数，使得数列是首项为2、公差为1的等差数列．