高中数学抛物线_高考经典例题.doc

1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距：通径：过焦点垂直于轴的弦长为。顶点平分焦点到准线的垂线段：。焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3抛物线标准方程的四种形式：4抛物线的图像和性质：焦点坐标是：，准线方程是：。焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线上的动点可设为P或或P5一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk0时开口向右(k/4,0)x= k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= k/4的距离k0时开口向上(0,k/4)y= k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= k/4的距离k0)求它的焦点坐标和准线方程；(4) 求经过P (4，2)点的抛物线的标准方程；分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p0)特别是(3)题，要先化为标准形式：，则(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解答案：(1) ，(2) x2=12y (3) ，；(4) y2=x或x2=8y例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论解：（1）设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），过点（3，2），4=2p（3）或9=2p2p=或p=所求的抛物线方程为y2=x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）当焦点为（4，0）时，=4，p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，2）时，=2，p=4，此时抛物线方程为x2=8y所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y，对应的准线方程分别是x=4，y=2常用结论 过抛物线y22px的焦点F的弦AB长的最小值为2p 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y22px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2p2 设A， B是抛物线y22px上的两点，O为原点， 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)例5：过抛物线y2=2px (p0)的顶点O作弦OAOB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=4p2分析：由OAOB，得到OA、OB斜率之积等于1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程从这几个关系式可以得到y1、y2的值证：由OAOB，得，即y1y2=x1x2，又，所以：，即 而y1y20所以y1y2=4p2弦的问题例1 A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直线AB的斜率k=, 直线AB的方程为yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直线AB过定点C(2p,0)(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),又ABOM, 故两直线的斜率之积为1, 即= 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x0)解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,又设点A，B，M在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此时x=(x1+x2)= y= 即M(,), N(,)例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设, 由得 又代入式得 由得 代入式得:由得或, 又由式知关于是减函数且, 且所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): (且)例4 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) 求抛物线方程; 求面积的最大值解: 设, AB中点 由得 又 得所以 依题意, 抛物线方程为 由及, 令得 又由和得: 例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,又设点A，B，M在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2, 此时x=(x1+x2)= y= 即M(,), N(,)综合类(几何)例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ/x轴，为此，将方程联立，解出直线OP的方程为即令，得M点纵坐标得证由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐思路二：利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么”来证设、，并从及中消去x，得到，则有结论，即又直线OP的方程为， ，得因为在抛物线上，所以从而这一证法运算较小思路三：直线MQ的方程为的充要条件是将直线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x ,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P在抛物线上，得证这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立例2 已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求RAB的最大面积分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可解：设AB所在的直线方程为将其代入抛物线方程，消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，RAB的面积有最大值设直线l方程为代入抛物线方程得由得，这时它到AB的距离为RAB的最大面积为例3 直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；（2）求出的定义域及单调区间分析：过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间解：（1）设的方程为：，将它代入方程，得设，则将代入得：，即P点坐标为由，知焦点，直线的斜率函数（2）与抛物线有两上交点，且解得或函数的定义域为当时，为增函数例4 如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0设C、D的坐标分别为与则l的方程为直线l平分弦CDCD的中点在直线l上，即，化简得：由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线焦点F在直线l上，由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等，CD的垂直平分线l：与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点；待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算解法一：设则：，即， 把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：显然代入化简整理得：， 由、得：，化简得用x、y分别表示得：解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以OA为直径的圆方程为： 设，OAOB，则在求以OB为直径的圆方程时以代，可得 由得：例6如图所示，直线和相交于点M，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标令则，由两点间的距离公式，得方程组：解得或AMN为锐角三角形，则，又B在曲线段C上，则曲线段C的方程为例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点（1）求（2）求ABQ面积的最大值分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出解：（1）设由得：，由得，同类似，则，（2），当时，取最大值例8已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程分析：设出直线和抛物线的方程，由点、关于直线对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程或设，利用对称的几何性质和三角函数知识求解解法一：设抛物线的方程为，直线的方程为，则有点，点关于直线的对称点为、，则有解得解得如图，、在抛物线上两式相除，消去，整理，得，故，由，得把代入，得直线的方程为，抛物线的方程为解法二：设点、关于的对称点为、，又设，依题意，有，故，由，知，又，故为第一象限的角、将、的坐标代入抛物线方程，得，即从而，得抛物线的方程为又直线平分，得的倾斜角为直线的方程为说明：(1)本题属于点关于直线的对称问题解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握例9如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力解：直线，设的方程为，且、由方程组，消去，得，于是，(其中)由已知，为正方形，可视为平行直线与间的距离，则有，于是得两边平方后，整理得，或当时，正方形的面积当时，正方形的面积正方形的面积为18或50说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星与地球的最短距离分析：利用抛物线有关性质求解解：如图，设彗星轨道方程为，焦点为，彗星位于点处直线的方程为解方程组得，故故，得由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点焦点到抛物线顶点的距离为，所以彗星与地球的最短距离为或，（点在点的左边与右边时，所求距离取不同的值）说明：(1)此题结论有两个，不要漏解；(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设为抛物线上一点，焦点为，准线方程为，依抛物线定义，有，当时，最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点例11如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、四点，求的值分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题解：由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，设抛物线方程为，为已知圆的直径，则设、，而、在抛物线上，由已知可知，直线方程为，于是，由方程组消去，得，因此，说明：本题如果分别求与则很麻烦，因此把转化成是关键所在，在求时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算11.已知抛物线y2=2px(p0)，过焦点F的弦的倾斜角为(0),且与抛物线相交于A、B两点.（1）求证：|AB|=;(2)求|AB|的最小值.（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（,0）.设过焦点、倾斜角为的直线方程为y=tan（x-）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得tan2x2-(2p+ptan2)x+=0.此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=.设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.（2）解析：因|AB|=的定义域是00)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？解析：（1）当ABx轴时，m=n=p，=.（2）当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x-),A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,m=+x1,n=+x2.将AB方程代入抛物线方程，得k2x2-(k2p+2p)x+=0,=.本题若推广到椭圆，则有=（e是椭圆的离心率）；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有=(e为双曲线的离心率).13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹方程.（1）证明：设M（y02,y0），直线ME的斜率为k(k0),则直线MF的斜率为-k，直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).由得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得y0yE=,yE=,xE=.同理可得yF=,xF=.kEF=（定值）.（2）解析：当EMF=90时，MAB=45，所以k=1，由（1）得E（1-y0）2,（1-y0)）F（1+y0）2,-(1+y0)）.设重心G（x,y），则有消去参数y0,得y2= (x0).14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足=t+(1-t)(tR),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.（1）求证：;(2)在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.（1）证明：由=t+(1-t)(tR)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3=(x-1),即y=x-4.由(x-4)2=4xx2-12x+16=0.x1x2=16，x1+x2=12，y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.x1x2+y1y2=0.故.（2)解析：存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,y1+y2=4k,y1y2=-16.kOAkOB=-1.OAOB,故以AB为直径的圆都过原点.设弦AB的中点为M(x,y)，则x=(x1+x2),y=(y1+y2).x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k(4k）+8=4k2+8.弦AB的中点M的轨迹方程为：消去k，得y2=2x-8.