钢筋混凝土三点弯曲梁裂缝扩展过程模拟.pdf

第3 期 水利水运工程学报 N o 3 2 0 1 5年 6月H Y D RO - S Ol aC E A N D E N G I N E E R I N G J u n ， 2 0 1 5 DOI ：1 0 1 6 1 9 8 j c n k i 1 0 0 9 - 6 4 0 X 2 01 5 0 3 0 0 2 胡少伟 ， 米正祥 钢筋混凝土三点弯 曲梁裂缝扩展过程模拟 J 水利水运工程学报 ， 2 0 1 5 ( 3 ) ： 9 1 7 ( H U S h a o w e i ，M I Z h e n g x i a n g A n e x t e n d e d f i n i t e e l e m e n t me t h o d f o r m o d e l i n g c r a c k p r o p a g a t i o n o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e t h r e e p o i n t b e n d i n g b e a m s J Hy d r o S c i e n c e a n d En g i n e e rin g ，2 0 1 5 ( 3 )：9 1 7 ) 钢筋混凝土三点弯曲梁裂缝扩展过程模拟 胡少伟 ，米正祥 ( 南京水利科学研究院，江苏 南京2 1 0 0 2 9 ) 摘 要 ： 改进后的扩展有限元法位移函数能够更好地反映真实的裂缝尖端渐近位移场， 而且无需后处理便可求 得应 力强 度因子 ， 从而为分析裂缝 扩展 过程提供 了便利 。为研究 钢筋混凝 土三点弯 曲梁裂缝 扩展过程 的规律 ， 采用改进后的扩展有限元方法模拟了不同配筋率和不同钢筋位置的三点弯曲梁。文中阐述了改进后扩展有限 元法 的基本原理 ， 利用虚功原理推导了其支配方程， 并介绍了钢筋混凝土三点弯曲梁的应力强度因子计算方 法。研究表明： 对于超筋结构 ， 起裂断裂韧度与试件配筋率无关 ； 钢筋处于临界位置时起裂韧度与失稳韧度均 达到最小值 0 5 6 7和 1 6 6 6 9 MP a m ， 且钢筋贯穿裂缝时的断裂韧度小于钢筋未贯穿裂缝时的值， 对含有宏 观裂缝的结构进行锚杆加 固时应将锚 杆置于裂缝前端 。 关 键 词 ： 钢筋混凝土； 三点弯曲梁； 改进后扩展有限元 ； 配筋率 ； 断裂韧度 中图分类号 ： T U 3 7 5 1 文献标志码 ： A 文章编号 ： 1 0 0 9 6 4 0 X( 2 0 1 5 ) 0 3 0 0 0 9 0 9 钢筋混凝土结构受力破坏过程也就是裂缝 的扩展过程 ， 深入研究其裂缝扩展机理以及影响其断裂参数 的不同因素 ， 对钢筋混凝土结构裂缝稳定性检测、 裂缝安全评价以及对 已建工程进行合理 的加 固具有重要的 工程价值和实践意义 J 。扩展有限元法是 目前求解裂缝扩展等不连续 问题最有效的数值计算方法 ， 它最早 由美 国西北大学 T B e l y t s c h k o 教授为代表 的研究组提 出L 2 J ， 2 0 0 0年 ， 被该课题组正式命名为扩展有限元法 ( X F E M：E x t e n d e d F i n i t e E l e me n t Me t h o d ) 。 扩展有限元法 以单位分解法为基础 ， 在常规的有限元位移模式中增加反映局部特性的附加函数 ， 以反映 结构的不连续性 ； 如在模拟裂纹扩展时 ， 被裂纹分开的单元节点用广义 的 H e a v i s i d e函数加强 ， 以反映裂纹面 的不连续性 ， 对包含有裂缝尖端的单元节点用裂缝尖端渐近位移场函数进行加强 ， 以反映裂缝尖端 区域 的局 部特性 J 。由于该方法在分析裂缝扩展等不连续问题 时具有独特的优势 ， 提出后 在短短的几年里便得到 了快速发展与广泛应用 ， 也为断裂力学数值模拟开辟了一条新途径 J 。 B L K a r i h a l o o等 陈述 了 X F E M 在 静态 裂纹 问题 中的应 用 ， 并 与 广义 有 限元 法进 行 了 比较。N S u k u m a r 等 陈述了如何在传统有限元程序上实现 X F E M功能， 并利用改进后的程序模拟了复合材料的裂 缝扩展问题。为了分析形状复杂 的多裂纹断裂问题 ， M S t o l a r s k a 等 把水平集法与 X F E M结合起来研究动 态裂纹的扩展 问题 ， 这样通过水平集法可以方便的追踪裂纹与裂缝尖端位置 ， 确定裂纹的扩展速率与扩展方 向， 通过 X F E M计算应力和应变 。N S u k u m a r 等 利用裂缝尖端位移逼近 函数改进了裂缝尖端节点 ， 通过 区域积分法计算了复合 型裂缝的应力强度因子 ， 并提出用新 的约束三角化算法形成初始有限元网格的方法 。 x Y L i u等 o 。 “ 为了改善计算精度 ， 对含有裂缝尖端单元的结点位移场 函数进行了调整 ， 他不但使用裂缝 尖端位移场的主要项 ， 还使用了高阶项 ； 同时 ， 他还证 明了改进后 的位移近似函数与实际的裂缝尖端渐近位 收 稿 日期 ： 2 0 1 4 - 1 1 1 1 基金项目： 国家杰出青年科学基金资助项 目( 5 1 3 2 5 9 0 4 ) ；南京水利科学研究院院基金资助项 目( Y 4 1 3 0 0 3 ) 作者简介： 胡少伟( 1 9 6 9 一) ， 男， 河南开封人 ， 教授级高级工程师 ， 博士，主要从事工程结构与材料的科研工作。 E ma i l ： h us ha o we i n h r i a n 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 1 0 水 利 水 运 工 程 学 报 2 0 1 5年 6月 移场是等价的。余天堂【 1 利用虚功原理导出了扩展有限元法求解的支配方程， 给出了求解不连续函数的积 分方法 ， 探讨 了缝尖应力强度因子的计算方法。方修君等 到利用虚设节点法 ， 在通用有限元程序 内嵌入了 扩展有限元法的功能 ， 改进 了三角形子域积分算法 ， 推导 了子域积分 与 He a v i s i d e函数 间的关系。董玉 文 等 推导了重力坝水力劈裂问题 的有限元列阵 ， 给出了水压力作用下 X F E M 的实现方法 ， 并通过模拟 向家 坝重力坝坝踵水力劈裂问题 ， 展示了这种方法的优越性。 本文利用改进后 的扩展有 限元法对钢筋混凝 土三点弯曲梁裂缝过程进行数值模拟 ， 并讨论配筋率 、 钢筋 位置等不同因素对混凝土断裂参数的影 响。 1 改进后扩展有 限元 法 1 1 位移模式的建立 B e l l y s c h k o等构造位移模式时 ， 裂纹尖端单元节点加强函 数只选取了裂纹尖端渐 近位移场 函数 的主要项 ， 而 且假 定裂 纹尖端周 围被加强节点的附加 系数是相互独立 的， 这样加强 的位移场并不是真实的裂纹尖端渐近位移场。为了改善计算 精度 ， 对含有裂缝尖端 的单元节点进行加强时 ， 在使用裂纹尖 端渐近位移场函数主要项的同时还应采用 高阶项 ； 不但对裂 缝尖端单元节点 ( 第 1 层需要改进的单元 ) 进行加强 ， 而且对 裂缝尖端单元周 围的外层单元 ( 分别为第 2层 、 第 3层等需要 改进的单元 ) 也应进行加强。 如图 1所示的含有一条任意裂缝 的平面断裂问题 ， 改进 后的扩展有限元离散位移表达式 为 ： 裂尖 ， ， ， 裂纲 厂 ， 裂 1 l 。 图 1 含任意裂纹单元节点加强示 意 F i g 1 N o d e s t r e n g t h e n i n g o f a r b i t r a r y c r a c k u n i t ) = ) t VoJ + J J t a 2iJ ( 1 ) 式 中： ， 为区域内所有离散节点集合 ；( 。 ， 。 。 )为连续部分节点位移 ； Ni ( )为常规有限元形 函数 ； ， 为被裂 纹贯穿单元节点集合 ， 如图 1中用小方框所示 ； ( ) 为 He a v i s i d e函数 ， 在裂纹上方取 1 ， 在裂纹下方取一1 ； ( a a )为与 日( ) 相关 的节点改进 自由度 ； 为裂纹尖端单元节点集合 ， 如图 1中用小圆圈所示 ；( u ， ) 为裂纹尖端改进节点 m的渐近位移场 ； L为坐标转换矩阵 。 需要说明的是 ， 一个节点不能同时属于裂纹尖端单元和被裂纹贯穿的单元 ， 如二者 冲突 ， 则该节点应优 先属于裂纹尖端单元。 裂纹尖端渐近位移场函数的一般表达式 为 ： u tl P 1 = n： = l J 2 l I n “ f l 2 a 6b i。n ) c 2 式中 ： 为裂纹展开式 的最大项数 ； b I ， b 为相应的系数。对于各 向同性材料 ， 厶 的表达 式如下 ： 镶 r2 2 n21r ，c十号 +(一1) c。s号 一号c。s(詈 一2)0 ，c+ n+(一1) sin号 一号sin n一2)0 ，c n + ( 一 1 ) s in 号 一 号 s in n 一 2 ) 0 一 ，c 一 号 + ( 一 1 ) c 。 s 号 一 号 c 。 s n 一 2 ) 0 ( 3 ) 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 第 3 期 胡少伟 ，等 ： 钢筋混凝 土三点弯 曲梁裂缝 扩展过程模拟 式中： 为泊松 比； 为剪切模量 ； 对于平面应变问题 ， ， c =3 - 4 v ， 对于平面应力问题 ， ， ( =( 3 - v ) ( 1 + ) 。 将式 ( 2 ) 代人式 ( 1 ) 可得 ： ) ： + + L n = l kJ 21n f l2n iro n ) 式中： 为裂缝尖端所在单元 的节点集合 ， 第 1 层需要改进 的单元为 ， 第 2层需要改进的单元为 ：， 则裂纹尖端改进单元 Mk=M U M 。 1 2支 配方程 的建 立 改进后扩展有限元法的位移模式构造好后 ， 其支配方程便可用虚功原理推导 。如果结构发生了一个 虚位移乩， 空间任意含裂纹的弹性体等效积分形式为： f ( V ) M d n+f J u d g 2 =0 ( 5 ) 式中 为单位体积力 ； 为不包含裂纹面的三维体 。 由应力张量的对成性与 G r e e n公式可得 ： f t$ u d F+f tS u d Ff o - ： d 2 +f f d u d 2 = 0 ( 6 ) 由于在应力边界 厂f 上 = n， 在位移边界 ， 上虚位移 8 u=0 ； 裂纹面为 自由面 ， 故可认为裂纹面 f 上的 面力 t ：0 ， 这样便可得到不连续边值问题的虚功方程， 如式( 7 ) 所示： f o r ： 8 s d g 2 =f tS u d F+f f d u d l ( 7 ) 将改进后扩展有 限元法的位移表达式代入式( 7 ) ， 便可得改进扩展有限元的支配方程为 ： K d=R ( 8 ) 式 中： d为节点未知 自由度 向量 ， 对于加强节点 ， 不仅包括常规 自由度 “ ， 还包含了附加 自由度 0与 b ； K为整 体刚度矩阵， 由单元刚度矩阵组装得到， 其表达式为： j ( ) D B ； d I ( =u ， 口 ， 6 ) 其中形函数导数矩阵 B ， B ， B 分别为 ： r O N O x 0 B = 1 0 O N i O y f L O N O y O N o x J B = B B B B “ B = 。 O 为整体荷载列阵， 由单元荷载列 阵组装得 到， 其表达式 ： ( 9 ) ( 1 o ) 1，j 曲 v 拈 后 v v 暮 。 。 L f I V 1 ，J y d 、，、 0日 日 L， a y a a 、 、 日 0 日 a a L = 研 、 J ， ，II _ ， ，I _ _I a一 a一 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 1 2 水 利 水 运 工 程 学 报 2 0 1 5年 6月 b n 7 - ， ； ： r r r r b r b 3 r b ， =J N t d F+J + N F r =I N H t d F+I N + N 日 F + f c N i I f u L 2 f d + ： ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 式 中： 为面力 为体力 ； F为集中力 ； ， 为常规单元荷载列阵 ； ， 为被裂纹贯穿单元荷载附加列阵 ； r r r 为裂缝尖端单元荷载附加列阵。 1 3 应力强度因子的计算 应力强度因子是表征裂纹尖端应力应变场强度 的重要参量 ， 其不仅与裂纹的几何形状有关 ， 而且与荷载 形式也有关系。应用扩展有限元法进行断裂分析时， 应力强度 因子 的计算方法有直接法与间接法 。间接法 是指先计算能量释放率 ， 然后利用它与应力强度因子之问的关系换算得到应力强度因子 ， 常用的方法有能量 法 、 柔度法 、 ， 积分法等 。直接法是指先计算裂纹尖端附近的应力与位 移 ， 然后将计算结果代人相应的应力 强度因子计算公式 ， 直接得到应力强度因子。 本文采用直接法计算应力强度因子。在得到单元刚度矩阵 与单元荷载列阵 r 后 ， 通过组装便可得到 整体刚度矩阵 K与整体荷载列阵 足， 然后代人式 ( 1 4) ， 通过解线性代数方程组便 可得到各个节点 的节点位 移。对一般的节点可解得常规位移 Z 。 r ， 被裂纹贯穿的单元节点可解得常规自由度 u 。 。 _r和附 加自由度 a a r ， 含 有裂 纹 尖端 的 单元 节 点可 解 得 常规 自由度 M 。 V 。 r 与 附加 自由度 b I b b I ： b b I b ， 则含有裂纹尖端的单元节点附加 自由度的第一项就是 I 型与 型断裂的应力强度因子 K1 与 Kn ， 即 b 1 =KI ， b n =K， 而无需再通过后处理法计算应力强度因子。 2 裂缝模拟计算实例 2 1 不 同配筋率三点弯 曲梁裂缝扩展过程 强度等级 C 6 0的钢筋混凝土三点弯曲梁计算模型见图 3 ， 试件长、 高、 宽分别 为 1 0 0 0 ， 2 0 0和 1 2 0 mm， 跨度 8 0 0 m m， 初始裂缝长 8 0 m m。混凝土受拉应力区配置两根光圆热轧钢筋 H P B 2 3 5 ， 钢筋直径 为 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8和 1 0 mm 时， 配筋 率 P 分 别为 0 5 9 ， 1 0 5 ， 1 6 3 ， 2 3 8 ， 4 2 1 和 6 5 4 ， 钢筋保 护层 厚度 为 2 5 mE。混凝 土梁采用 8节点实体单元 ( C 3 D 8 R) ， 网格密度为 5 0 x 1 3 x 6 ； 钢筋采用桁架单元( T 3 D 2 ) ， 网格密 度为 1 0 0 x 2 。左端采用铰支座， 右端采用滑动支座， 采用位移加载方式， 最大主拉应力牵引损伤开裂准则。 通过定义“ E mb e d e d R e g i o n ” 这一相互作用关系 ， 将钢筋嵌入混凝土中来实现钢筋与混凝土之间的协 同工作 ， 不考虑钢筋与混凝土之间的滑移。加载点和支座处各加一刚性垫块 ， 垫块与混凝土梁之间采用绑接约束 ， 并 通过设置垫块的弹性模量将其变形控制在很小范围内。 混凝 土弹性模量 E=3 6 G P a ， 泊松比 = 0 1 6 7 ， 质量密度 P= 2 4 0 0 k #m ， 极限抗拉强度 ： 2 。 2 0 MP a ， 断裂能 G =1 4 7 N m。钢筋的弹性模量 E = 2 0 6 x l 0 M P a ， 泊松 比 = 0 3 ， 质量密度 P=7 8 0 0 k g m ， 屈服强 度 = 2 3 5 MP a 。 裂纹扩展路径图、 应力云图以及 Y方 向位移云图见 图 2 。由图可知 ， 应力与位移均呈对称分布 ， 加载 点处存在显著地压应力 区， 混凝土拉应力最大值发生在裂纹尖端附近 ， 并且在此处应力集 中现象非常明显 ， 能够较好地模拟裂纹尖端应力场的奇异性。挠度最大值出现在跨中位置 ， 裂纹沿预制裂缝延 长线方 向竖直 向上扩展 ， 与典型的 I型裂纹扩展相吻合 ， 并且裂纹的扩展过程不依赖于网格边界 ， 裂纹在单元内部扩展 ， 在 模拟裂纹扩展过程时并不需要重新划分网格 。 图 3为不 同配筋率试件 的荷载一 裂缝 口张开位移 ( F S 。 。 ) 曲线 。由图可知 ， 在加载的初始阶段荷载 F 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 1 4 水 利 水 运 工 程 学 报 2 0 1 5 年 6月 由表 2可知 ， 起裂断裂韧度 随配筋率 P 的增大而逐渐减小 ， 但减小速度越来越慢 ， 当配筋率 P 增大 到一定值后 ， 起裂断裂韧度 不再随配筋率 P 变化 ， 说明对于超筋结构 ， 配筋率 P 不影响混凝土的起裂断 裂韧度 ： 。 荷载失稳断裂韧度 与钢筋失稳断裂韧度 随配筋率 P 的增大亦逐渐增大 ， 因为配筋率 P 越大 ， 失 稳时刻的外荷载 F 与钢筋约束力 F “均越大 ， 与 K 菖亦越大。但失稳断裂韧度 K 随配筋率 P 的增大 亦逐渐减小 ， 并且减小幅度逐渐增大。主要原因是 ： 配筋率 P 越大 ， 钢筋对混凝 土的约束作用越强 ， 裂缝 的 扩展也越不充分 ， 导致结构的失稳断裂韧度 越小 。将表 2中的结果绘 图并利用最小二乘法原理拟合得 到 K ， K 与 P 之间的关系如式( 1 6 ) 和( 1 7 ) 。 一 0 1 5 7 4 p +0 3 8 4 7 p 一0 3 0 2 3 p +0 9 0 3 3 ( 1 6 ) =0 5 4 5 4 p 一0 4 9 2 p 一0 3 7 1 5 p 。 +2 1 0 6 1 ( 1 7 ) 其中， 式( 1 6 ) 和( 1 7 ) 的回归系数分别为 0 9 9 9 8和 0 9 7 5 2 。 2 2 不 同钢筋位置三点弯曲梁裂缝扩展过程 钢筋截面中心到试件底部的距离分别为 4 5 ， 5 0 ， 5 5 ， 6 0 ， 6 5和 7 0 mm， 初始裂缝长度 为 6 0 m m， 试件 长 、 高 、 宽分别为 1 0 0 0 ， 2 0 0和 1 2 0 m m， 跨度为 8 0 0 mm。在每个试件混凝土受拉应力 区配置两根光 圆热轧钢筋 H P B 2 3 5 ， 钢筋直径为 8 m m。混凝土梁采用 8节点实体单元( C 3 D S R) ， 网格密度为 5 0 1 3 6 ； 钢筋采用桁架 单元 ( T 3 D 2 ) ， 网格密度为 1 0 0 2 。 混凝土弹性模量 E= 3 6 G P a ， 泊松 比 ： 0 1 6 7 ， 密度P= 24 0 0 k g m ， 极 限抗拉强度 =2 2 0 M p a ， 断裂能 G f = 1 4 7 N m； 钢筋弹性模量 E = 2 0 6 x 1 0 M P a ， 泊松比 = 0 3 ， 密度P = 7 8 0 0 k g m ， 屈服强度 = 2 3 5 M P a 。 图 4为钢筋到试件底部距离为 7 0 mm的试件加载至不同步时的应力云图。由图 4可知 ， 整个加载过程 中应力基本呈对称分布 ， 加载点附近存在压应力 区， 预制缝两侧的混凝土可 以继续承受荷载 ， 并且应力分 布 呈拱形 。拉应力最大值出现在裂缝尖端位置 ， 应力集中现象 比较明显 ， 能够很好地模拟裂缝尖端 的应力奇异 性 。裂缝沿预制裂缝竖直向上扩展 ， 破坏形式符合 I 型断裂 。 当加载至第 1 4步时， 裂缝尖端位置的混凝土由于应力集 中而开裂 ， 并且裂缝开始向前扩展 ， 随着裂缝 的 扩展 ， 中性轴逐渐上移 ， 受拉应力区逐渐增大 ， 受压应力 区逐渐减 小 ， 当加载至第 6 9步时 ， 受压应力区已消 失 ， 这种受力特性持续到第 9 8步 ， 之后又出现受压应力 区， 直至整个结构发生失稳破坏 ( 第 1 9 0步) 。 图 5为不同钢筋位置的各试件荷载一 裂缝 口张开位移( F S 。 。 ) 曲线 。由图 5可知 ， 开裂之前 ， 钢筋混凝 土试件的 F 一 5 。 。 曲线基本与钢筋位置无关， 即 F 一 5 。 。 曲线的线性段接近重合， 并且各试件的卸载段部分基 本平行 ， 说 明钢筋位置对结构的刚度影响很小。起裂荷载与失稳荷载随着钢筋距试件底部距离的增大而逐 渐减小 ， 但减小程度不明显 ， 说 明钢筋位置对混凝土试件的起裂荷载与失稳荷载有一定影响， 但影 响不大 。 表 3给 出了各试件的起裂荷载、 失稳荷载 、 钢筋约束力以及 临界有效裂缝长度等断裂参数。由表可知 ， 起裂荷载 F 随钢筋到试件底部距离 的增大而逐渐减小 ， 当钢筋刚好在裂缝尖端时 ， 起裂时刻的外荷载与钢 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m l 6 水 利 水 运 工 程 学 报 2 0 1 5年 6月 钢筋 到 试 件 底 部 距 离 4 5 ， 5 0和 5 5 m m 时， 失 稳 断 裂 韧 度 分 别 为 1 7 0 5 6 ， 1 6 9 8 7 和 1 6 9 1 9 MP a i n ， 可见钢筋贯穿裂缝时 ， 失稳断裂韧度 与钢筋到试件底部的距离无关。钢筋刚好在初 始裂缝尖端时失稳断裂韧度 为 1 6 6 6 9 MP a i n ， 此时失稳断裂韧度达 到最小值 ， 主要是 因为裂缝 尖端的钢筋抑制了断裂过程 区的发展 ， 使得裂缝扩展不充分。钢筋距试件底部距离 6 5和 7 0 mm时的失稳 断裂韧度 分别为 1 7 2 1 2和 1 7 1 1 5 MP a m ， 可见钢筋未贯穿裂缝时 ， 失稳断裂韧度 K 随试件到底部 距离的增大而减小。钢筋贯穿裂缝时的 小于钢筋未贯穿裂缝时的K ， 而且钢筋处于临界位置时的 K T ,n 最 小 ， 再次说明在实际工程 中对含有宏观裂缝 的结构进行锚杆加 固时应将锚杆置于裂缝前端。 3 结 语 本文详述了改进后扩展有限元法的位移模式 ， 推导了采用改进后扩展有限元计算时的支配方程 ， 并给出 了应力强度 因子的计算方法 ， 模拟了不同参数的钢筋混凝土三点弯曲梁裂缝扩展过程。算例表明 ， 改进后的 扩展有限元法能够很好地模拟裂缝尖端的应力奇异性 ， 裂尖 附近不需要布置高密度网格 ， 不需要预先设置裂 缝扩展路径 ， 而且在裂缝扩展过程中不需要调整网格 ； 根据模拟结果 ， 利用最小二乘法可得到起裂断裂韧度 、 失稳断裂韧度与配筋率之间的简单关系式 ； 钢筋置于预制裂缝尖端时起裂断裂韧度与失稳断裂韧度均达到 最小值 ， 分别为 0 5 6 7和 1 6 6 6 9 MP a 1T I ， 且钢筋贯穿裂缝时的起裂断裂韧度与失稳断裂韧度均小于钢 筋未贯穿裂缝时的值 ， 这为实际工程 中锚杆加 固提供 了有效 的参考依据 。 参考文献 ： 1 胡少伟 ， 米正祥 标准钢筋 混凝 土三点弯 曲粱双 K断裂特 性试 验研究 J 建筑结 构学报 ，2 0 1 3 ， 3 4 ( 3 ) ：1 5 2 1 5 7 ( HU S h a o we i MI Z h e n g x i a n g E x p e r i me n t a l s t u d y o n d o u b l e K f r a c t u r e c h a r a c t e ris t i c s o f s t a n d a r d r e i n for c e d c o n c r e t e t h r e e p o i n t b e a m J J o u ma l o f B u i l d i n g S t r u c t u r e s ， 2 0 1 3 ， 3 4 ( 3 ) ：1 5 2 1 5 7 ( i n C h i n e s e ) ) 2 B E L Y T S C H K O T，B L A C K T E l a s t i c c r a c k g r o w t h i n fi n i t e e l e m e n t s w i t h mi n i m a l r e m e s h i n g J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e ri c a l Me t h o d i n E n g i n e e ri n g ，1 9 9 9 ， 4 5 ( 5 ) ： 6 0 1 6 2 0 3 ME L E N K J M T h e p a r t i t i o n o f u n i t y fi n i t e e l e me n t me t h o d ：B a s i c t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s J C o m p u t e r Me t h o d s i n A p p l i e d Me c h a n i c s a n d En g i n e e rin g ，1 9 9 6，1 3 9：2 8 9 3 1 4 f 4 l Hu A N G R，S U K U MA T NM o d e l i n g q u a s i s t a t i c c r a c k g r o w t h w i t h t h e e x t e n d e d fi n i t e e l e m e n t m e t h o d P a r t I I ：N u me r i c a l a p p l i c a t i o n s l J 1 I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f S o l i d sS t r u c t u r e s ， 2 0 0 3 ， 4 0 ( 2 6 ) ： 7 5 3 9 7 5 5 2 5 MA R I A N I S ，P E R E G O U E x t e n d e d f i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r q u a s i b r i t t l e f r a c t u r e J I n t e rua t i o n a l J o u rna l for N u me r i c a l Me t h o d s i n E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 3 ， 5 8 ( 1 ) ： 1 0 3 1 2 6 6 K A R I H A L O O B L ， X I A O Q Z M o d e l i n g o f s t a t i o n a r y a n d g r o w i n g c r a c k s i n F E f r a m e w o r k w i t h o u t r e m e s h i n g ：a s t a t e o f t h e a r t r e v i e wI J 1 C o mp u t e r a n d S t ruc t u r e ， 2 0 0 3 ， 8 1 ：1 1 9 1 2 9 f 7 l S U K U MA R NP R E V O S T J H Mo d e l i n g q u a s i s t a t i c c r a c k gro w t h w i t h t h e e x t e n d e d fi n i t e e l e me n t m e t h o d P a r t I ：C o m p u t e r i m p l e me n t a t i o n I J 1 I n t e rna t i o n a l J o u rna l o f S o l i d s a n d S t ruc t u r e s ， 2 0 0 3 ， 4 0 ： 7 5 1 3 7 5 3 7 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 第 3 期 胡少伟 ， 等 ： 钢筋混凝土三点 弯曲梁裂缝 扩展过程模拟 1 7 8 S T O L A R S K A M， C HO P P D L ，MO E S N ，e t a 1 Mo d e l i n g c r a c k g r o w t h b y l e v e l s e t s i n t h e e x t e n d e d f i n i t e e l e m e n t m e t h o d J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e ri c a l Me t h o d s i n E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 1 ， 5 1 ( 8 ) ： 9 4 3 9 6 0 1 9 I S U K U MA R NS R O L O V I r z D J 。 B A K E R T J B ri t t l e f r a c t u r e i n p o l y c r y s t all i n e mi c r o s t r u c t u r e s w i t h t h e e x t e n d e d fi n i t e d e m e n t me t h o d l J 1 I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l fo r N u m e ri c al Me t h o d s i n E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 3 ， 5 6 ： 2 0 1 5 2 0 3 7 1 0 L I U X Y， X I A O Q z， K A R I HA L O O B L X F E M f o r d i r e c t e v a l u a t i o n o f mi x e d m o d e S I F s i n h o m o g e n e o u s a n d b i ma t e ri a l s J I n t e rna t i o n al J o u rna l for N u me ri c a l M e t h o d s i n E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 4 ， 5 9 ( 8 ) ：1 1 0 3 1 1 1 8 1 1 X I A O Q z， K A R I H A L O O B L I m p r o v i n g t h e a c c u r a c y o f X F E M c r a c k t i p fi e l d u s i n g h i g h e r o r d e r q u a d r a t u r e a n d s t a t i c a l l y a d m i s s i b l e s t r e s s r e c o v e r y J I n t e rna t i o n al J o u rna l fo r N u m e ri c al Me t h o d s i n E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 6 ， 6 6 ( 9 ) ：1 3 7 8 1 4 1 0 1 2 余天堂 含裂纹体的数值模拟 J 岩石力学与工程学报， 2 0 0 5 ( 2 4 ) ： 4 4 3 4 4 4 3 9 ( Y U T i a n - t a n g N u m e ri c a l s i m u l a t i o n o f a b o d y w i t h c r a c k s J C h i n e s e J o u rna l o f R o c k Me c h a n i c s a n d E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 5 ( 2 4 ) ： 4 4 3 4 443 9 ( i n C h i n e s e ) ) 1 3 方修君， 金峰 基于 A B A Q U S平台的扩展有限元法 J 工程力学 ， 2 0 0 7 ，2 4 ( 7 ) ：6 1 0 ( F A N G X i u - j u n ，J I N F e n g E x t e n d e d fi n i t e e l e me n t me t h o d b a s e d o n A B A Q U S J E n g i n e e ri n g Me c h a n i c s ， 2 0 0 7 ， 2 4 ( 7 ) ： 6 1 0 ( i n C h i n e s e ) ) 1 4 董玉文 ， 任青 文 重力坝水力劈裂分析 的扩展 有限元法 J 水利学 报 ， 2 0 1 1 ， 4 2 ( 1 1 ) ： 1 3 6 1 1 3 6 7 ( D O N GY u w e n ， R E N Q i n g w e n A n e x t e n d e d f i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r m o d e l i n g h y d r a u l i c f r a c t u ri n g i n gra v i t y d a m J J o u r n a l o f H y d r a u l i c E n g i n e e ri n g ， 2 0 1 1 ， 4 2 ( 1 1 ) ：1 3 6 1 1 3 6 7 ( i n C h i n e s e ) ) 1 5 F L E MI N G M，C HU Y A，MO R A N B，e t a 1 E n ri c h e d e l e m e n t f r e e G a l e r k i n me t h o d s f o r c r a c k t i p fi e l d s J I n t e rna t i o n a l J o u rna l for Nu me r i c a l Me t h o d s i n E n g i n e e rin g ，1 9 9 7，4 0 ( 8 )：1 4 8 3 1 5 04 An e x t e nd e d f i ni t e e l e m e nt m e t ho d f o r mo d e l i ng c r a c k pr o p a g a t i o n o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e t hr e e po i nt be n di n g b e a m s HU S ha o we i ， MI Zh e ng x i a n g ( N a n j i n g H y d r a u l i c R e s e a r c h I n s t i t u t e ， N a n j i n g 2 1 0 0 2 9 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ：Th e d i s p l a c e me n t mo de o t h e i mp r o v e d e x t e n d e d fi ni t e e l e me n t me t h o d c a n r e fle c t t h e t r ue c r a