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高三数学复习专题
圆锥曲线
高考要求
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质，了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程、简单几何性质，掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质，能解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。
一.椭圆
1.基础知识
椭圆的定义,图形,标准方程,几何性质(范围\中心\顶点\对称性\焦点\离心率)
2.基本例题
例1 求椭圆的标准方程
(1) 焦点在X轴上,离心率为,且过点P(-5,4);
(2) 经过两点A(0,2),B;
注:待定系数法,先定型,再定量

例2 (1) 已知椭圆的离心率，则的值等于
(2) 已知椭圆（＞＞0）的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 ．

(3)已知椭圆的焦点分别为,A,B是以O为圆心,以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且是等边三角形,则椭圆的离心率为

注:以离心率为核心,综合椭圆的各几何性质

例3 (天津2012) 设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.
（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，证明直线的斜率满足.

例4 已知椭圆的焦点分别为,斜率为k的直线l过左焦点且与椭圆的交点为A,B,与y轴的交点为C,若B为线段的中点,且求椭圆离心率的取值范围.

例5 2011辽宁
已知椭圆的中心在原点O,长轴左右端点M,N在X轴上, 椭圆的短轴为MN,且椭圆,的离心率都为,直线与椭圆交于两点, 与椭圆交于两点,这四个点按纵坐标从大到小依次是A,B,C,D.
(1) 当时,求的值;
(2) 当变化时,是否存在直线l,使得并说明理由.

一. 直线与椭圆位置关系
基础内容
(1) 判断直线与椭圆位置关系;
(2) 求弦长问题
(3) 进一步理解数形结合的思想
基本例题
例1 判断直线与椭圆的位置关系.
变式: 若直线与椭圆恒有公共点,则实数m的取值范围是

例2. 已知椭圆,过右焦点F的直线交椭圆于P,Q两点(不同于椭圆的左顶点A)
(1) 当时,求直线PQ的方程;
(2) 判断能否为等边三角形,并说明理由;
(3) 求面积的最大值及此时的直线方程.
(4) 若,求直线的方程.

例3 点P到两点的距离之和等于4.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)设直线与曲线C交于两点A,B,k为何值时,?此时的长为多少?

引申: A,B是椭圆上的两个动点，且满足，求证：原点Ｏ到直线AB的距离为定值.

例4 已知点C(-1,0)及椭圆,过点C的动直线与椭圆交于A,B两点,在Ｘ轴上是否存在点Ｍ，使为常数？若存在，求出点Ｍ的坐标，若不存在，说明理由．

三．椭圆的综合问题
基本要求
理解数形结合思想,能解决椭圆的综合问题
基本例题
例1 已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.
注 (1)求轨迹方程;(2)中点弦问题的解法.

引申: 点M是椭圆的弦AB的中点,求证直线AB与OM的斜率之积为定值.

注:椭圆中的定值问题

例2(浙江2012) 如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点P（２,１）的距离为，不过原点Ｏ的直线ｌ与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且线段ＡＢ被直线ＯＰ平分。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程。

注: (1)中点弦的结论和方法;(2)弦长问题;(3)面积的最值问题

例3. 若直线l:y=kx+m与相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M,明直线l过定点,并求出该定点的坐标.
注:椭圆中的定点问题.
引申:并求面积的最大值.

例4: 已知点A(1,),E,F是椭圆上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,求证:直线EF的斜率是定值,并求出这个定值.
注:椭圆中的定值问题.

练习:已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足
(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

四．双曲线
基本要求
双曲线的方程\定义\离心率和渐近线是考查的重点.学习时注意控制难度.
基本例题
例１.求双曲线的标准方程
(1) 以椭圆的焦点为焦点,且过点;
(2) 与双曲线共渐近线,且过点;
(3) 过点
注 (1)考查双曲线的定义\方程\几何性质. (2)待定系数法:先定型,再定量.

例2 (1) 已知双曲线的渐近线方程为,则双曲线的离心率为
(2) 设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率是

注:熟悉双曲线中基本量的一些运算

例3 浙江省高考题
（１）　过双曲线（a＞0,b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A） （B） （C） （D）
（２）设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点P，满足，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）

（３）如图，F1,F2分别是双曲线C：（a,b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M。若|MF2|=|F1F2| ，则C的离心率是
A. B C. D.

例3 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.

例4 是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为。
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值。

五.抛物线
基本要求:
掌握抛物线的定义,方程,几何性质,直线与抛物线的位置关系,弦长问题
基本例题:
例1 (1)求下列抛物线的焦点坐标与准线方程:
① ②
(2)求满足下列条件的抛物线的标准方程:
①过点(-3,2); ②焦点在直线上.

例2 点M与点的距离比它到直线的距离小1.
(1) 求动点M的轨迹方程;
(2) 已知直线与动点M的轨迹交于A,B两点,,求的值.

例3 已知抛物线,过点P(1,1)的直线l的斜率,当为何值时,直线l与抛物线相交?相切?相离?

例4 已知点F是抛物线的焦点,点P(m,n)是抛物线下方的任意一点,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B.
(1) 用表示直线A,B的方程;
(2) 当直线经过点F,且时,求实数的值.