漫谈数学中的抽象思维与形象思维.doc

漫谈数学中的抽象思维与形象思维
数学的本质是什么？
是抽象！可以说没有抽象就没有数学。为什么？
1＋1＝2，这就是从自然界与人类生活中抽象出来的。一个苹果加一个苹果是两个，同样一个桌子加一个桌子是两个。其实宇宙的凡是属于同一种的物质都可以这样相加，这就体现了数学应用的广泛性的原因在于数学的抽象性。没有来源于具体生活的抽象的数学理论，就不可能有这么多广泛的应用。再例如：两组数据，既可以表示财务管理中的收入与支出的对比关系，也可以表示两国间经济来往的密切程度指数；既可以某个星球与某个星球的距离与引力的关系，也可以表示河水冲刷鹅卵石时间与鹅卵石的形状的关系等等。可以说用两组数据就可以把宇宙间万事万物的任意两个事物的联系得到很好的刻画。但如果数学的研究对象是具体的事物，就只能研究该事物，在该事物成立的数学性质应用到其他事物则未必成立，那么它就有局限性。这样数学就不会是放之四海而皆准的真理。
何为抽象？
这里的抽是动词“拿出”的意思。像是什么？像就是形象，就是指具体的事物。抽象的意思就是从具体万事万物中把具有共同的数学性质挑出来形成理论。例如三角形有面积，圆也有面积。“面积”就是万事万物的数学性质。再例如“长度”也是万事万物的数学性质等等吧。
数学中的很多抽象的概念，我们生活中存在吗？
当我们说1＋1＝2时，现实生活中存在1吗？存在2吗？显然这是不存在的，1与2就是数学家造成的数学符号而已。难道仅仅是符号吗？显然不全是！最重要的是这是生活的抽象！！既然1＋1＝2是生活的抽象，那么我们所说的水平面与直线也是生活的抽象出来的数学元素。现实生活中有直线吗？有人说有：例如绳子，其实哪不是直线，要知道直线不仅仅是无限长，而且必须一点弯都没有。现实生活中存在吗？数学中所说的直线有具体的材质吗？显然是没有的。试想一下，为什么数学中的直线没有说材质？因为数学是生活的抽象，是万事万物的抽象，材质应该是什么东西都行的。水平面也更是如此。水平面在宇宙中存在吗？不存在，为什么？很多具体的事物是不满足数学对平面的定义的。水平面与直线是一样的是生活的抽象，当然来源于生活。我们也可以反过来想一想：如果数学所说平面是指具体的桌面，地面的话，它的应用还会如此广泛吗？？数学这个东西，虽然来源于自然界与人类生活的实践活动，但它的很多概念都是生活的抽象，在生活中是不存在的。可以说数学为什么应用广泛，就是因为他的抽象性就决定了它应用的广泛性。因此我说数学是研究宇宙中万事万物的数学性质的一门科学。
何为数学性质？
例如数量关系，形状，大小，位置，变化率等等。
数学的魅力何在？
在于抽象！我们说数学是万事万物的抽象，只有这样它才可能是刻画万事万物的数学性质，才能是解决万事万物的难题。当一个数学家解决一个抽象的理论问题时，其实他是解决了宇宙中类似的无穷多个这样的问题。所以说数学家解决的理论问题是一类问题，是一大堆问题，而不是仅仅一个具体的问题的。为什么说数学比较难呢？
就是数学具有很强的抽象性。
在这之中最主要的是符号的抽象性。尤其是目前很多的数学家都在深入研究学习数学符号——但这些符号都很枯燥的。另一个原因是学习数学者一般年龄都比较小，抽象思维能力很有限——见识很有限——缺少很多理论的生活背影。
数学家为什么是万能的呢？
因为数学家对某个问题不仅看到一片落叶，也看到了整棵树；不仅看到了整棵树，也看到了整个森林。不仅如此，数学家还看到了地球上的万物，甚至宇宙中的万物。数学家看到这些靠的是什么？是抽象思维。自然看到的都是万物的数学性质。
为什么说数学理论是放之四海而皆准的真理？
就是因为数学家把万事万物都抽象出来的共同的数学属性。我们常说“万物皆同一理”，我们常说“万流归宗”，其实这些只有数学家可以看到做到。只有数学家们才有开阔的视野，博大的胸怀。数学家看待问题往往是高屋建瓴，他们不是看到一就说一，看到二就说二的。他们看到的都是宇宙的普遍的规律。在数学定理中有很多的推论，什么意思？数学中的推论比定理（其实推论也是定理）更有着广泛的应用。这一推论，把数学定理的应用范围扩大了。数学是个广阔的天地，无论在什么地方都大有作为。
数学教育学中还有一个概念就是形象思维。何为形象思维？
在我国古代的文学作品中，我们会说《三国演义》，《水浒传》等等吧为我们塑造了不朽的人物艺术形象。例如我们在电视中看到阴险狡诈的形象就知道他是曹操。更有意思的是我们小的时候好问大人：“这个人是好人是坏人？”而且我们有时也凭长相的好坏来以貌取人的说他是好人或坏人。作为一个具有良好的形象思维的孩子，他首先一看到图形就对这个图形很熟悉——对图形高度的敏感性。换句话说他一眼就知道这是个什么图形。这就是很重要的形象思维。形象二字很有趣。形，我解释为形体，像就是样子。合在一块就是模样的意思。二十年未见的老朋友，在街上行走，一眼让我发现了——这就是老朋友给我留下的印象太深了——也说明我的形象思维能力好。
在哲学上形象思维与抽像思维是一对矛盾。我们的数学家很会处理这对矛盾。在实践活动中接触的都是具体的实物——显然是很形象的，但在实践活动中获得的数学理论却是抽象的。随后当应用于生活时却又是具体的——因为针对某一个具体的问题如何解决时我们不能再抽象了，否则问题就无法解决。这就要求数学家或数学工作者不仅要有较高的抽象思维的能力，而且还要有良好的形象思维的能力。形象思维与抽象思维在哲学上虽然是一对矛盾，但他们也是相互影响相互促进的关系。我们常说“见多识广”，什么意思？只有见到的具体事物多了，才可能把很多的具体事物抽象成数学理论（如果就一个例子我们一般很难抽象出什么真理），才可能是认识广泛。这就是说形象思维可以促进抽象思维的发展与建立。抽象思维是形象思维的高级阶段。但这种抽象思维的结果是对是错呢？如何检验这种抽象思维的正确性，这就需要回到现实中去用形象思维来检验。
因此培养学生的抽象思维与形象思维是统一的。在具体些说就是你培养了学生的抽象思维，他的形象思维也会得到提高，反之也是对的。
形象思维与抽象思维对学习研究数学重要吗？
太重要了。今举两例。数学界的哥白尼是俄国的罗巴切夫斯基，他是非欧几何（又称双曲几何学或罗巴切夫几何学或罗氏几何学）的创始人之一。多说两句。欧几里得几何的第五公设在从古希腊以来直到十九世纪都是很多的数学研究者所质疑的课题。这么一种质疑竟然近两千年都没有解决。两千年来不知道有多少的数学史上的英雄好汉穷竭一生的精力都没有把这个问题画个句号。到了十九世纪，欧洲的数学元首高斯首先解决这个问题，这么一个伟大的数学家很谨慎，不敢公开发表自己的非欧几何的成果。用他自己的话来说就是害怕“黄蜂的围攻”。他的好朋友的儿子鲍耶发现了非欧几何。父亲拿着儿子的论文找高斯。高斯一看给自己几年前搞出来的结果一样。这位父亲想让高斯夸奖自己儿子几句。谁料到高斯打开抽屉拿出自己当年的手稿让鲍耶的父亲看。随后高斯说出经典的语句：“夸奖你的儿子就等于夸奖我自己。”鲍耶之父很生气的走了。像高斯这样伟大的数学家都不敢公开发表自己的非欧几何的成果。可见当时人们对欧几里得几何学是多么的根深蒂固，欧氏几何在人们心目中的地位是如此的不可撼动！但是俄国的罗巴切夫斯基却表现的很勇敢，很积极。他自己发现了这种非欧几何学之后就开始到处宣传自己的新几何学，包括演讲与发表文章。罗巴切夫斯基当时是喀山大学校长，从他发现非欧几何到他去世大概有三四十年，他都在宣传自己的非欧几何，到处宣传鼓吹。他亲自拜访过高斯，得到高斯的支持。很可惜，他为自己的真理到处宣传但却遭到很多人的不理解，冷遇。为什么？
因为他自己拿不出例子来说明他的几何学是存在的。历史就是这样的无情又公道。在他去世后不久，有三位数学家分别给出了罗巴切夫斯基几何的模型。（在这里我还要反驳中国的一个成语叫：盖棺论定。大意是说评价一个人只有他去世之后才能评价——把他的棺材盖上才能评价。实际上这是不对的。当然对于凡夫俗子是可以的。罗巴切夫斯基就是死后几年后更伟大。还有很多例如数学家阿贝尔，伽罗华，迪萨格，尤其是后两位，死后至少半个世纪以后才开始在人类心目中伟大）这三位数学家一位是意大利的，另两位是法国的克莱因与庞加莱。后两位都是那个时代最伟大的数学家。这三位数学家仅仅给出了模型——还不是例子。有了这个模型，渐渐的罗巴切夫斯基几何学才被大家所认识所接受。模型是什么概念？这个模型是给罗巴切夫斯基几何的在什么地方是对的或成立——要知道罗氏几何学在地球上是不对的——但在伪球面上是对的。也就是说伪球面为罗氏几何学提供了一个具体的施展武功的平台。这个例子说明了数学的抽象到很难被人理解——即使是数学家也是如此。罗巴切夫斯基他是靠逻辑推理推出来的——但拿不出实验田来说明自己的理论是正确的，所以他宣传了这么多年，还是有很多人不理解。这说明罗巴切夫斯基的抽象思维很好，但由于种种原因他没有拿出具体的例子来说明他的理论，这说明形象思维的重要性。如果他能像克莱因与庞加莱一样给出例子或模型，也许得到更多人的理解。可见作为一个好的数学家，不仅要有良好的抽象思维，也应该具有很好的形象思维。抽象思维形成数学理论，形象思维会让更多的人认识理解这种数学理论——这对我们今天的数学教育学是有益的。
另一例子是20世纪最伟大的数学家希尔伯特提倡强调几何直观在数学教育中的重要性。这么伟大的数学家都认识到形象思维的重要性。不仅如此，这位数学大师还亲自写过一本《几何直观》的名著。目前在我们的中小学教程中也有专门培养学生的几何直观的内容。几何直观是什么？其实就中国古代的成竹在胸。脑子里装有图像，或具有较强的空间想象能力。几何直观显然强调的是具体的形象思维。几何直观最好从小开始培养。
如何培养孩子的抽象思维与形象思维？
首先要有符号意识，要让学生认识到数学符合对数学发展的重要性。数学符号的发展对数学的发展起到很巨大的推动作用。举例来说，牛顿与莱布尼茨都是微积分的发现者。但牛顿不关注符号的重要性，只管应用。其结果造成在他之后英国的数学远远落后于欧洲大陆国家的数学水平。而莱布尼茨这位哲学数学家，引进了一些数学符号，我们今天还在用。大陆的数学家在莱布尼茨引进的符号中收益，更好的发展与继承了了莱布尼茨的工作，从而是十八世纪，十九世纪乃至至今天英国的数学没有赶上法国与德国的数学水平。中国古代数学落后一个很重要的原因是缺少数学符号意识。中国复杂的汉字让中国古代数学发展碰到了天花板。
其次要多实践多活动。在实际的教学中，我们常采用直观教学。把一些事物拿出来放在学生面前让他们观赏或领着他们都工厂里参观一些实物。
最后一点要培养孩子的想象力。自然主要包括空间想象能力。我们生活的是三维空间。二维空间与一维空间就不用说了。至于四维空间我们是看不到的。但如果研究他需要什么？需要想象！需要推理！数学直观的的目的就是数学能力与兴趣的培养.