高一数学教案第一册集合.doc

[高一数学教案2]

§1。2 子集、全集、补集

【教学目的】
1.了解集合的包含、相等关系的意义；
2.理解子集、真子集、补集的概念；
3.了解全集的意义；
4.深刻理解用集合语言叙述数学命题，能熟练地进行集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）之间的转换，及利用集合的相等关系化简集合的表达式。
【重点难点】
重点是子集、补集的概念，难点是分清元素与子集、属于与包含的关系，及理解用集合语言叙述数学命题，并能准确的把它译成相应的集合的三种语言。
【教学过程】
一、 问题引入
集合中元素与集合间的关系是属于或不属于关系，那么集合与集合间有那些关系呢？用什么方式去刻画集合与集合间的关系呢？——用元素与集合间的关系来刻画集合与集合间的关系。
观察集合A=｛平行四边形｝与B=｛四边形｝，思考A中元素与集合B的关系如何？

二、子集概念
1。定义：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作 AB（或BA）
这时也说集合A是集合B的子集。规定空集是任何集合的子集，即 。 显然，AA。
2。相等集合：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，则称集合A等于B，记作A=B。即 若AB，且BA，则A =B。

3。真子集：对于两个集合A与B，如果A，且A，那么称A是B的真子集，记作A B.
4。讨论举例
例1。用子集的定义判断以下集合间的关系，并用适当的符号表示出来，画出其维恩图：
（1）A=｛平行四边形｝，B=｛四边形｝，C=｛矩形｝、D=｛正方形｝、E=｛菱形｝；
（2）A=｛x| x=2k, kZ｝,B=｛x| x=2k－1,kZ｝;
(3) A=｛整式｝，B=｛方程｝，C=｛整式方程｝；D=｛分式方程｝；
（4）N，Z，Q，R；
（5）A=｛x | x = n＋,n｝,B=｛x | x = n,n｝.
解：（1）E、C，且C、E AB。如图（1）。
（2）AB，且BA。如图（2）。
（3）AB，且BA。C、DB。如图（3）。
（4）NZQR。如图（4）。
（5）A=B。如图（5）。

点评：注意区分符号、、的意义；学会运用维恩图直观地表示集合间的关系。
例2。化简下列集合：
（1） A=；
（2） A=｛x | 2x＋3<4x－1｝.
点评：用集合相等的概念可以将集合进行变形、化简。
例3. 已知Ａ＝｛1,1＋d,1＋2d｝，B=｛1，q，｝,若Ａ＝Ｂ，求p，q 的值。
分析：由Ａ＝Ｂ知，Ａ与Ｂ含有相同的元素。于是可以建立p与q的方程。
解：Ａ＝Ｂ，
　 (Ⅰ) 或 (Ⅱ)
解 (Ⅰ) 得 d=0. 但d=0 时,1+d=1+2d===1与集合中元素的互异性相矛盾。
解（Ⅱ）得 d=－　或d=0(舍去)。当d=－时，q=－
d=－， q=－
点评：注意用列举法所表示的集合中，隐含着性质：元素a、b、c、……互异、无序，本题正是利用无序性分类讨论列方程，根据互异性检验所求结论的 .
例4。已知集合A=，B=,若AB，求的取值范围。
分析：先化简集合B，再根据题设列出控制的条件组求解。
解：方程的两根为。于是，
（1）当时，B==。
AB，
2；

（2）当=0时，B=，不可能有AB；
（3）当时，B=。
AB，
此不等式组无解。
综合得，2。
点评：借助数轴来表示集合间的包含关系，直观简明，但要注意端点的取舍情况。
5、有关子集个数问题
例5。（1）写出集合｛a、b、c｝的所有子集，并指出其子集、真子集、非空真子集的个数；
(2) 集合｛1、2、3…、n｝的子集、真子集、非空真子集分别有多少个？
(3) 求集合｛1、2、3、4｝的所有子集的所有元素之和。
　点评：一般地，集合｛1、2、3…、n｝的子集、真子集、非空真子集的个数分别为、－1、－2.
所有子集的所有元素之和为　(1＋2＋3＋2…＋n)。
例6。证明：（1）若AB，BC，则AC。
（2）集合X=，Y= ，则X=Y。
分析：分别按子集、相等集的定义来证明。
（1）要证明AC，需要证明A中任何一个元素都是C中的元素。——阅读教材的证明。
（2）证明：设x0 X,则x0 =2n0 +1, n0 Z.
①若n0 为偶数，可设n0 = 2 m, m Z，则
x0 = 2 ·2 m + 1 = 4m + 1,
x0 Y ；
②若n0 为奇数，可设n0 = 2 m －1 , m Z，则
x0 =4 m －1,
x0 Y 。
不论x0 是奇数还是偶数，都有x0 Y 。
X Y。
另一方面，又设y0 Y , 则 y0 =4 k0 ＋1 ,或y0 =4k0 －1 , k0 Z。
y0= 4 k0 ＋1 = 2（2 k0）＋ 1 ，
或 y0 =4k0 －1 = 2（2 k0 － 1）＋ 1，
2 k0 、2 k0 － 1 Z，
y0 X。
Y X。
由①、② 得 X=Y。
点评：判定集合间的关系，一般应依据定义进行，但其判定的过程归结为判定元素与集合的关系。
三、全集与补集
1．引例——数集的扩充
①将自然数集N扩充到整数集Z，其补充的数集为负整数集——如何表示整数集？——；——这里涉及三个集合：负整数集、N及Z，前两个集合都是Z的子集。称负整数集为Z中子集N的补集。
②类似地，由Z扩充到Q也需要补充数集：；
③同样的，由Q扩充到R，也需要补充数集：无限不循环小数即无理数集
。
1． 集：
一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合 ，叫S中子集A的补集（或余集）。记作CSA。
即 CSA=。
注意：①补集概念涉及3个集合，其中A是S的一个子集，即 AB.
②性质：CSS=，CS =S，CS（CSA）=A。
③CZN={ }== 。
CRQ=={无理数} ={无限不循环小数}。
请举出一个补集的例子。
1． 全集 —— 相对概念—— 阅读教材P9全集概念—— 如数集的扩充中全集的相对性。
2． 巩固练习
例7．设U={三角形}，{锐角三角形}，{钝角三角形}，{直角三角形}，{斜三角形}，求：CUA，CUB，CUC，CUD。
例8.已知集合A=，，
（1）若,求a 的取值范围；
（2）若CUACUB, 求a 的取值范围.
分析：紧扣子集、全集、补集的定义，利用数形结合解出a的范围。
解：（1）因为, A是B的子集，如图（1）得
(2) 因为CUA=，CUB=，CUACUB，
所以CUA是CUB 的真子集。如图（2）得 a< 3.
点评：这类问题应注意数形结合，以及端点的取舍情况。
四、归纳小结：
1.要准确把握子集、真子集、相等集、补集等相关概念；
2.要理解符号 ：，，= ，CUA等的含义；
3.要注意集合语言转译的准确性。
五、思考与练习
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