老河口市高级中学高三年级理科数学第二次综合检测题.doc

老河口市高级中学高三年级理科数学第二次综合检测题
（2015.9.18）
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,,则( )
A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.φ

2.已知复数(为虚数单位),则等于(　　)
A. B. C. D.

3.设A,B是两个集合,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.在等差数列中,已知,则=(　 )
A.10 B.18 C.20 D.28
5.设,函数,则( )
A. B.4 C. D.6

6.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB的长为( )

A. B. C. D.
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
7.直线与圆相交于A,B两点,则弦|AB|=( )
A. B. C. D.

8.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4

9.点A,B,C,D均在同一球面上,且AB,AC,AD两两垂直,且AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.

10.函数的图像是( )

11.已知分别是椭圆的左,右焦点,现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过的直线是圆的切线,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.

12.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立.则( )
A. B.
C. D.

第II卷
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知向量,,若存在实数,使得,则实数为____.

14.已知变量满足约束条件,则的最大值是_______.
15.若 ，
则.(用数字作答)

16.数列中,,且对所有,满足,则_____.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)
如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,.
⑴求△ACD的面积;
⑵若,求AB的长.

18.(本小题满分12分)
某班50位学生2015届中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,
[80,90）,[90，100].
⑴求图中x的值;
⑵从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.

19.(本小题满分12分)
已知正方体的棱长为2,是AC的中点,E是线段上一点,且.
⑴求证:⊥AC;
⑵若平面CDE⊥平面,求的值,并求二面角E-CD-A的余弦值.

20.(本小题满分12分)
如图,已知点是离心率为的椭圆C:()上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B,D两点,且A,B,D三点互不重合.
⑴求椭圆C的方程;
⑵求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.

21.(本小题满分12分)
设函数(为常数).
⑴若函数在区间[1,+∞)上是单凋递增函数,求实数的取值范围;
⑵若函数有两个极值点,且,求证:.

23.(本小题满分10分)
已知,不等式的解集为M.
⑴求M;
⑵当时,证明:.

桂林市第十八中学2013级高三第一次月考答案
一.选择题
题号
1
2
3
4
5

6
7
8
9
10

11
12
答案
D
A
C
C
C
B
D
C
B
B
A
A
解析:
6.由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC,且底面△ABC为等腰三角形,在△ABC中AC=4，AC边上的高为,
故BC=4,在Rt△SBC中,由SC=4,可得,故选B.
9.三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直,所以把它扩展为长方体,它也外接于球,对角线的长为球的直径,,它的外接球半径是,外接球的表面积是.
10.函数的定义域为或,可排除选项A,D;又函数在其单调区间内都是增函数,排除C,
即只有选项B正确,故选B.
11.如图,易知,,,故,所以有,可解得离心率.

12.由得,构造函数,
则,故单调递增,有.

二.填空题[来源:Zxxk.Com]
题号
13
14
15
16
答案

9
(理)2004
(文)

解析:
16.由,得,两式相除得.
三.解答题
17.解：⑴因为∠D=2∠B,,所以.
因为,所以,所以△ACD的面积.
⑵在△ACD中,,所以.
因为,,所以 ,得AB=4.
18.解：⑴由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018.
(理)⑵由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0,1,2;
;;,
∴.
ξ
0
1
2
P

(文)由题意知道成绩在[50,60)的学生有3个,分别设为;成绩在[60,70)的学生有5个,分别设为.随机选取两人有,
,,,,
,, 28种情况.
2人成绩都在[60,70)的有,,,10种情况.
故概率为.

19.解:⑴∵,,∴⊥面.
∵面,∴⊥.
(理)⑵∵AC⊥平面,∴AC⊥DE,要使平面CDE⊥平面,只需DE⊥平面,即需DE⊥,
(∵DE⊥AC,∴DE⊥平面,由,则,∴在Rt△中,,
∴,∴,∴,∴,∴.
以DA,DC,分别为x,y,z轴建立直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),.
,设平面EDC的法向量为,则有,得,
得,令,得.又平面CDA的法向量为,设E-CD-A的平面角为,
故.
(文)由,则,∴在Rt△中,,∴,∴,
∴,∴,∴.
,易知,,
故.
21.解：(理)⑴即在[1,+∞)上恒成立,
即在区间[1,+∞)上恒成立.
∵在区间[1,+∞)上的最大值为﹣4,∴.
(文)⑴当时,,,∴单调递增.
⑵在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根,
即方程在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根.
记,则有,解得.
∴,,,.
∴.
令,,只须证.
,(观察,猜测)
令,下证
,令,得,.列表得:

-
0
+

↓
极小
↑

,,所以,所以,所以在上单调递减,所以,故,故.

20.解：⑴由题意,可得,代入得,又,
解得,,所以椭圆C的方程.
⑵证明:设直线BD的方程为,又A,B,D三点不重合,∴,设,,
则由得,所以,
∴所以.,,设直线AB,AD的斜率分别为,,
则;
所以,即直线AB,AD的斜率之和为定值.

22.⑴由得,得直角坐标方程为,
即;
⑵将的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,化简得,点E对应的参数,设点A,B对应的参数分别为,则,,所以,
23.解:⑴解不等式:,或或,
得或或,得,即.
⑵需证明:,
只需证明,
即需证明.
证明:,故,,所以,所以原不等式成立.