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分类讨论思想
一．思想指导：
1.分类思想是解题的一种常用的数学思想方法，它有利于培养和发展学 生思维的条理性，慎密性，灵活性，使学生学会完整的考虑问题，化整为零的解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏接的情况，分类讨论的思想方法广泛存在于初中数学的各个知识点中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类;由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。解决这类问题时，首先要弄清楚有没有分类的必要；其次要把握分类的标准要统一，做到不重复、不遗漏，同时要注意知识之间的综合运用。同学们在解题时应仔细的分析题意，挖掘题目中的题设和结论中可能出现的不同情况，然后采用分类的思想方法加以解决。

2.分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、 （直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分 类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确 定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。

二.举例说明
1.与概念有关的分类
（1）已知一个等腰三角形有一个角为50°，则顶角是 °.
已知一个等腰三角形的两边分别是2,3.则这个三角形的周长是 .

（2）.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤ 6，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，求这个函数的解析式。

（3）. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。

（4）已知直直角三角形的两边分别是6cm和8cm，求这个直角三角形的面积

(5).已知x+ y=25,x+y=7,求x-y的值.

(6).若│a-b│=b-a,且│a│=3，│b│=2，则（a+b）= .

(7).某影碟出租店开设两种租碟方式:一种是零星租碟,每张收费1元;另一种是会员卡租碟,办卡费为每月12元,租碟费每张0.4元.小明经常来该店租碟,若每月租碟数量为x张.
①写出零星租碟方式应付金额y(元)与租碟数量x(张)之间的函数关系式.
②写出会员卡租碟方式应付金额y(元)与租碟数量x(张)之间的函数关系式.
③小明选取那种租碟方式更合算?
(8)某公园的门票价格规定如下:
购票人数
1至50人
51至100人
100人以上
每人门票价
5元
4.5元
4元

甲乙两班共有103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游园,若两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元.
① 若两个班联合起来,作为一个团体购票,则可以节约多少钱?
② 两班各有多少学生?
2.图形位置的分类
(1).在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是 。
(2).已知⊙O和⊙O相切，两圆的圆心距为9cm, ⊙O的半径为4cm,则⊙O 的半径为
(3)．△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC= cm,则角A的度数是 。
(4)．在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
(5)．如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?

(6).如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1.,点D是BC上的一个动点(不与B，C重合),在AC上取一点E,使°∠ADE=45°
①求证: △ABD∽△DCE
②设BD=x, AE=y.求y与x之间的函数关系 式.③当△ADE是等腰三角形时,求 AE的长.
(7)、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？

3.与相似三角形有关的分类
(1).在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜x＜6），那么：
①当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
②求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；

③当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形 与ABC相似？

(2)．已知如图，点A与点B的坐标分别是（4，0），（0，2）
①求直线的解析式。
②过点C（2，0）的直线（与x轴不重合）与△AOB的另一边相交于点P，若截得的三角形与△AOB相似，是求点P的坐标。

(3).已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ的 左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞１）与ｘ轴交于点Ｄ。
①求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
②在直线ｘ＝ｍ（ｍ＞１）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限），使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ
为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相似，求点Ｐ的坐标。

(4). 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C=900 ,BC=16,DC=12AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。
①设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
②当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求∠BQP的正切值
③当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
④是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。